動態經濟學數學建模及穩定化控制分析

蔡佐威　黃立宏

摘 要 通過考慮需求函數和供給函數受到不連續因素的影響以及引進切換型的控制策略，建立由右端不連續微分方程刻畫的非線性價格調整模型.利用微分包含理論和Lyapunov穩定性方法分析不連續價格調整模型的有限時間穩定化控制問題，并給出數值模擬實例進行驗證說明.最后，結合動態經濟學數學建模提出數學建模教學改革的幾點建議.

關鍵詞 應用數學；有限時間穩定化；Lyapunov函數法；動態經濟學；數學建模

中圖分類號 O193； O231； F22 文獻標識碼 A

Abstract By considering the influence of discontinuous factors on demand function and supply function and introducing the control strategy of switching type， a nonlinear price adjustment model described by discontinuous differential equation is established. By using differential inclusion theory and Lyapunov stability method， the finite time stabilization control problem of the discontinuous price adjustment model is analyzed. Moreover， the numerical simulation examples are given to verify the results. Finally， combining the mathematical modeling of dynamic economics， several suggestions on the teaching reform of mathematical modeling is put forward.

Key words applied mathematics； finite-time stabilization； Lyapunov function method； dynamic economics； mathematical modeling

1 引 言

數學建模無論在科學技術研究還是在國民經濟建設中都起著尤為重要的作用.數學建模主要是利用數學語言對社會經濟活動中的實際問題和現象進行描述，并通過對尋找變量之間的關系建立出由函數或方程刻畫的數學模型.經濟學家認為經濟變量是動態的，會隨著時間的變化而改變，所以對經濟系統進行數學建模和動態分析是非常必要的.對經濟

系統模型進行動態分析最早可追溯到20世紀30年代末，Samuelson （1939）[1]利用動態分析理論對經濟周期模型進行了研究，并且指出如果經濟學的研究者沒有掌握一定的動態分析理論，將會影響對現代經濟學的理解.Romer （1986）[2]對經濟動態增長問題進行了研究，并掀起了動態經濟學的研究高潮.目前動態經濟學已經成為經濟學中一個重要的研究方向，并滲透到了宏觀經濟學和微觀經濟學的許多領域，動態經濟學的課程也在歐美很多高校進行了開設.此外，經濟學與控制論是密切相關的，Sengupta和Fanchon（1997）[3]建立了LQG問題中的分離定理與控制論有密切的關系.在經濟系統模型引入政策變量和決策變量等控制變量對經濟的宏觀調控能起到積極的指導作用，例如政府的支出、利率的調整、貨幣的發行、消費策略等都可作為經濟控制變量.關于經濟學數學建模和動力學分析需要用到一些新穎的工具和方法，例如，Akira （2001）[4]探討了非線性規劃、不確定性和最優控制理論等經濟學分析方法；王翼和王歆明（2006）[5]利用Matlab工具研究動態經濟學問題；Filippov （1988）[6]闡述了微分包含理論；Clarke （1983）[7]介紹了非光滑分析方法；Forti等 （2006）[8]推廣了Lyapunov函數法.近年，關于經濟學數學建模和動力學分析有一些很好的結論.陳燕燕 （2017）[9]建立了基于金融混沌系統的線性控制模型，并實現了對系統的穩定性控制.徐玉華等 （2017）[10]利用動力學原理建立經濟學模型，并研究了均衡解的穩定性.總之，在高校研究生或大學生的數學建模課程學習與實踐中，動態經濟學建模與動態分析是非常熱門的研究方向之一.對動態經濟學進行數學建模和動態分析無論對高校學生邏輯推理、空間想象和科學計算等數學思維能力的培養，還是對推動科學技術和經濟的發展都起著尤為重要的指導作用.

2 動態經濟學數學建模分析

2.1 動態經濟學數學建模過程

動態經濟學的數學建模不但會運用到數學理論知識和方法，例如常微分方程、泛函微分方程、線性代數、概率論、Lyapunov穩定性方法等，還會用到經濟學原理、現代控制理論和計算機軟件編程等相關專業的知識.眾所周知，產品的價格由市場供求來決定，當產品供大于求時，產品的價格將會下降，而當產品供不應求時，產品價格就會上漲.這種產品價格的變化過程可近似由微分方程系統來描述.因為經濟系統是動態的，經濟變量隨著時間的變化而改變.當產品價格的變化與供求差額成正比時，可得到如下由常微分方程描述的n種產品的非線性價格調整模型：

3 結 論

通過考慮需求函數和供給函數受到不連續因素的影響并引進切換型的控制策略，對非線性價格調

整模型進行了數學建模與有限時間穩定化控制分析.數學建模本身就與經濟發展和科學技術的進步密切聯系.在數學建模的研究和教學過程中應利用經典的數學理論與方法進行科學研究并解決經濟生活中存在的問題.通過分析，對動態經濟學的研究和高校人才培養及數學建模教學改革有如下幾點建議：（1）數學建模應緊密聯系當前的社會經濟需求，特別是與前沿的經濟科學問題緊密聯系.（2）加強數學建模教學過程中的專業性建設，提高高等學校專任教師及科研人員的綜合素質，特別是加大對高層次跨學科人才的培養.（3）在高校研究生與本科生相關專業的人才培養過程中，應開展動態經濟學的數學建模和動態分析研究.

參考文獻

[1] Samuelson P A. Interactions Between The Multiplier Analysis and The Principle of Acceleration [J]. The Review of Economics and Statistics， 1939（21）： 75-78.

[2] Romer P M. Increasing Returns and Long-run Growth [J]. Journal of Political Economy， 1986， 94（5）： 1002-1037.

[3] Sengupta J K， Fanchon P. Control Theory Methods in Economics [M]. New York： Kluwer Academic Publishers， 1997.

[4] Akira Takayama. 經濟學中的分析方法[M]. 北京： 中國人民大學出版社， 2001.

[5] 王翼， 王歆明. Matlab在動態經濟學中的應用[M]. 北京： 機械工業出版社， 2006.

[6] Filippov A F. Differential Equations with Discontinuous Right-hand Side [M]. Boston， Kluwer Academic， 1988.

[7] Clarke F H. Optimization and Nonsmooth Analysis [M]. New York： Wiley， 1983.

[8] Forti M， Grazzini M， Nistri P， et al. Generalized Lyapunov Approach for Convergence of Neural Networks with Discontinuous or Non-Lipschitz Activations [J]. Physica D， 2006， 214： 88-89.

[9] 陳燕燕. 一類金融混沌系統的線性控制模型[J]. 經濟數學， 2017， 34（4）： 48-52.

[10]徐玉華， 克忠義， 杜明娟， 白雪寒. 基于動力學視角的經濟時間序列分析[J]. 經濟數學， 2017， 34（4）： 85-88.