具有非期望產出的混聯網絡DEA模型

董杰　孫玉華

摘 要 數據包絡分析（DEA）是評價系統相對有效性的分析方法，網絡DEA模型在評價企業的經濟效益、管理效益等實際問題中有著廣泛的應用.在網絡DEA模型的基礎上考慮非期望產出要素，提出了具有非期望產出的混聯網絡DEA模型.研究了新模型的系統弱DEA有效與各子階段弱DEA有效之間的關系，找到了無效決策單元的無效階段，通過有針對性的改進能夠提高系統的整體效率.最后通過數值算例驗證了模型的可行性.

關鍵詞 應用數學；網絡DEA模型；數據包絡分析；非期望產出

中圖分類號 O221 文獻標識碼 A

Abstract Data Envelopment Analysis （DEA） is an analytical method to evaluate the relative validity of a system， the network DEA model has been widely applied in the evaluation of the practical problems of economic enterprises， management efficiency and the like. Based on the network DEA model， the undesirable output factors are considered， and a hybrid network DEA model with undesirable output is proposed. The relationship between the weak DEA efficiency of the new model and the weak DEA efficiency of each sub-stage is studied. The invalid stage of invalid decision-making unit is found， and the overall efficiency of the system can be improved through targeted improvement. Finally， a numerical example is given to verify the feasibility of the model.

Key words applied mathematics； network DEA model； data envelopment analysis； undesirable outputs

1 引 言

系統評價是通過建立模型、計算、分析，對系統的性質進行綜合評價，為決策提供科學的依據.其中，數據包絡分析DEA是根據多指標的投入產出數據對相同類型的決策單元DMU進行相對有效性或效率評價的一種方法.傳統的DEA模型考慮的是“黑箱”效率，忽略了系統內部子階段間的相互聯系，得到的結果不能滿足實際問題中對復雜系統進行評價并優化的要求，因而開始了對打開“黑箱”后的網絡DEA模型的研究.Fre和Grosskopf（2000）[1]首先對網絡DEA進行了研究，在活動分析的基礎上提出了基于生產系統的效率測度模型，此模型能夠適應子系統之間存在的鏈接關系.隨后Yang等（2000）[2]通過對k個并聯獨立子系統效率的評價提出了YMK模型，并得出了新模型下每個決策單元的整體效率等于其在C2R模型下所有子系統的效率值的最大值的結論.Tone和Tsutsu（2009）[3]考慮中間產品的鏈接活動，建立了矩陣型網絡SBMDEA模型，可以對決策單元的整體效率和部分效率進行評價.魏權齡和龐立永（2010）[4]提出一種鏈式網絡DEA模型并研究了DMU的網絡DEA有效性與各個階段的弱DEA有效性之間的關系.梁樑等（2010）[5]研究了一類簡單網絡生產系統的DEA效率并建立了網絡DEA效率評價模型，該方法能夠發現非有效決策單元.Matin和Azizi（2015）[6]提出了生產系統效率評價的一般混聯網絡DEA模型，證明了提出的新混聯模型在串聯、并聯模型中同樣適用，應用范圍更廣，但沒有對混聯模型的性質進行分析，提供的數值算例也僅限于串聯、并聯、兩階段模型，并沒有給出結構復雜的混聯模型的實例.

另一方面，在實際生產活動中，非期望產出常常會伴隨期望產出同時出現，尤其是在對碳排放、礦業廢水治理、生態文明建設、第三方物流供應商等的效率進行評價時，非期望產出顯得尤為重要，直接影響系統效率值的判斷和對決策單元的改進.邊馥萍等（2002）[7]提出了一個非徑向DEA模型，能根據實際情況有效地調整投入、期望產出和非期望產出分量的比例，使目標函數達到全局最優.何楓等（2014）[8]將方向距離函數擴展到傳統兩階段DEA模型中，構建了兩階段投入產出導向的Malmquist-Luenberger指數模型，解決了兩階段生產過程中存在的非期望最終產出問題.王美強和李勇軍（2016）[9]針對供應商同時具有雙重角色要素和非期望產出要素的情形，提出了一種解決問題的新思路.

通過在混聯網絡結構基礎上加入非期望產出因素，建立了具有非期望產出的混聯網絡DEA模型，此模型可以推廣到更一般的情形.隨后分析了混聯模型系統網絡弱DEA有效與子階段弱DEA有效之間的關系，可以找到系統在哪個階段是無效的，并據此對系統進行優化.

表2的第2～4列為系統的階段效率，第5列表示系統的整體效率.觀察結果可以發現只有當DMU三個子階段的效率值均為1時系統的整體效率才為1，也就是說，只有DMU三個子階段均為弱DEA有效時，系統整體才是弱DEA有效的.即使DMU有一個階段不是弱DEA有效的，系統都不能達到整體弱DEA有效.以DMU3為例，即使第三個階段效率為1，但系統的整體效率卻沒有達到1，這是由于第一、二個生產階段的效率較低導致整體無效.

另外，運用DEA方法對DMU進行效率評價不只是為了得到DMU各子階段和整體的效率值，關注更多的是效率計算后的評價部分，即對無效決策單元的改進.例如，對于DMU4，系統整體效率為0.8491，系統非弱DEA有效，由定理3知必存在無效的子生產階段，通過觀察發現，其第一、二階段的效率均為1，而第三階段僅為0.8333，無效.這樣，通過對第三階段各項投入產出指標進行調整，就可以提升混聯系統的整體效率.因此，提出的具有非期望產出的混聯網絡DEA模型可以通過DMU效率的計算，找到導致系統整體無效的根源，從而進行有目的性的改進.通過前沿面的“投影”分析確定各項投入產出指標的調整量，提升混聯系統的階段效率，進而提高系統的整體效率.

5 結 論

網絡DEA模型在越來越復雜的系統評價中發揮著重要作用，通過在混聯網絡系統基礎上加入非期望產出因素，建立了具有非期望產出的混聯網絡DEA模型，此模型可以推廣到更為一般的情形，應用范圍更廣，利用實例驗證了新模型的有效性.同時得出了混聯模型系統弱DEA有效與子階段弱DEA有效之間的關系，據此找到導致系統整體無效的根源，有助于對系統進行優化，提高整體效率.

參考文獻

[1] Rolf Fre， Shawna Grosskopf. Network DEA [J]. Socio-Economic Planning Sciences， 2000， 34（1）： 35-49.

[2] Yinsheng Yang， Benjiang Ma， Masayuki Koike. Efficiency≤≥measuring DEA model for production system with k independent subsystems [J]. Journal of the Operations Research Society of Japan， 2000， 43（3）： 343-354.

[3] Tone Kaoru， Miki Tsutsui. Network DEA： A slacks-based measure approach [J]. European Journal of Operational Research， 2009， 197（1）： 243-252.

[4] 魏權齡，龐立永.鏈式網絡DEA模型[J].數學的實踐與認識，2010，40（1）： 213-222.

[5] 畢功兵，梁樑，楊鋒.一種簡單網絡生產系統的DEA效率評價模型[J].系統工程理論與實踐，2010，30（3）： 496-500.

[6] Reza Kazemi Matin， Roza Azizi. A unified network-DEA model for performance measurement of production systems [J]. Measurement， 2015（60）： 186-193.

[7] 邊馥萍，楊愛萍.具有非期望輸出決策單元的有效性評價[J].系統工程，2002，20（6）：53-57.

[8] 何楓，祝麗云，徐曉寧.考慮非期望產出的兩階段生產過程全要素生產率評價研究[J].科技管理研究，2014，34（24）： 218-223.

[9] 王美強，李勇軍.具有雙重角色和非期望要素的供應商評價兩階段DEA模型[J].中國管理科學，2016，24（12）： 91-97.