離散分紅下障礙期權(quán)的間接級數(shù)展開定價方法

楊舒荃　賈兆麗　崔龍慶　楊錦濤

摘 要 人們投資股票市場的最大動力，除了從股票本身的升值中獲利，還包括收益分紅.提出了帶有離散分紅的障礙期權(quán)的一種新型的近似方法，以向上敲出看漲障礙期權(quán)為例，固定分紅的次數(shù)，通過泰勒級數(shù)展開得到關(guān)于關(guān)鍵變量的仿射函數(shù)，給出了一個只帶有一維積分的定價公式，提高了計算速度.該方法還可以用于回望期權(quán)等其它衍生品的定價，對在市場上進行期權(quán)交易有一定指導(dǎo)意義.

關(guān)鍵詞 金融學(xué)；障礙期權(quán)；泰勒展開；離散分紅；偏正態(tài)分布

中圖分類號 O211.63 文獻標(biāo)識碼 A

Abstract The incentive for people to invest in stock market is receiving dividend payments， in addition to gaining appreciation of the stock value itself. A new approach has been presented for pricing barrier options with discrete dividend payments， which take up-and-out call option as an example and fix the amount of the discrete dividend. An affine function of key variables is obtained through Taylor series expansion. A new approximation formula with only one-dimensional integrals involved has been derived. The method improves computing speed and can be applied to pricing other derivatives， such as look-back options and so on， which has instructional significance for trading options in real markets.

Key words finance； barrier options； Taylor expansion； discrete dividend； skewed normal distribution

1 引 言

隨著人們對股票市場的熱情與日俱增，越來越多的人開始追求股票價值以外的分紅收益.支付分紅的期權(quán)定價通常包括連續(xù)分紅和離散分紅兩種模型，實際交易中大多支付離散分紅，且這種分紅會使股價在除息日出現(xiàn)一定程度的跳躍，影響期權(quán)的價格.Frishling（2002）[1]指出帶有離散分紅的定價模型主要包括提存模型、正向模型和分段對數(shù)正態(tài)模型，其中只有第3種模型能較真實地反映實際的價格.Zhu和He（2018）[2]表明分紅與除息日標(biāo)的資產(chǎn)成比例時，帶有離散分紅的歐式期權(quán)價格與分紅支付日期無關(guān)，并得到固定分紅次數(shù)下歐式看漲期權(quán)的近似公式.還有許多學(xué)者[3，4]對帶有離散分紅的歐式期權(quán)進行了研究，但對離散分紅下障礙期權(quán)的研究甚少.

障礙期權(quán)是金融市場中最活躍的奇異期權(quán)之一[5]，它的最終收益不僅依賴于標(biāo)的資產(chǎn)到期日的價格，還與標(biāo)的資產(chǎn)價格在整個有效期內(nèi)是否達到障礙水平有關(guān).Dai和Chiu（2013）[6]利用分段對數(shù)正態(tài)分布模型，假設(shè)除息日股價的下降，遵循在兩個相鄰除息日之間的幾何布朗運動，得到支付離散分紅下障礙期權(quán)的近似定價公式.然而，該公式包含多重積分的計算，實際操作中相對復(fù)雜.提出了障礙期權(quán)的一種新型定價方法，以向上敲出看漲障礙期權(quán)為例，通過泰勒級數(shù)展開得到關(guān)于指定變量的仿射函數(shù)，利用偏正態(tài)分布的性質(zhì)，給出了一次分紅甚至多次分紅下只帶有一維積分的定價公式，提高了計算速度.

2 無分紅的障礙期權(quán)

障礙期權(quán)是依賴于標(biāo)的資產(chǎn)路徑的期權(quán)，可以分為2類：敲出障礙期權(quán)和敲入障礙期權(quán).前者當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格達到障礙水平時，期權(quán)失效，后者反之.兩者按標(biāo)的資產(chǎn)初始價格和障礙水平的高低，又可分為向上敲出、向下敲出和向上敲入、向下敲入.

4 數(shù)值分析

為體現(xiàn)近似公式的特點及優(yōu)勢，比較了原始重積分公式計算下的精確期權(quán)價格與新型定價公式下的近似期權(quán)價格.考慮一個帶有紅利支付的向上敲出看漲障礙期權(quán)，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的敲定價格K和障礙水平B分別為100和150，無風(fēng)險利率為3%，期權(quán)期T為1年.

圖1是支付一次分紅下期權(quán)價格的精確值和近似值之間的絕對誤差，假定當(dāng)前時刻t為0，波動率為50%，分紅支付D為10，精確值與近似值分別由引理1和定理1計算得到.從圖1看該近似值已經(jīng)比較接近精確值了，且隨著除息日逐漸臨近到期時刻，實值期權(quán)、虛值期權(quán)和平值期權(quán)的絕對誤差均呈現(xiàn)了單調(diào)遞增到達峰值又單調(diào)遞減的趨勢，在到期時刻絕對誤差最小.由于是將展開式代入正態(tài)分布函數(shù)得到的近似值，隨著除息日臨近到期時刻，分紅支付時刻td與當(dāng)前時刻t的差值增加，同時增加了總誤差，而總誤差增加到足夠大時相應(yīng)正態(tài)分布函數(shù)的偏斜也會改變，進而絕對誤差減小.此外，在初始時刻實值期權(quán)有相對較大的絕對誤差，到期時刻虛值期權(quán)有相對較大的絕對誤差.圖2假定在半年支付一次分紅D，三種期權(quán)價格的絕對誤差均隨著波動率的增加而減小，因為對于向上敲出看漲障礙期權(quán)而言，更高的波動率意味著更大可能的“敲出”（即變?yōu)闊o價值），所以期權(quán)價格減小，總誤差也變小.這里依然是在初始時刻實值期權(quán)有相對較大的絕對誤差，到期時刻虛值期權(quán)有相對較大的絕對誤差.最大的絕對誤差不超過10-2，同樣的結(jié)論也適用于兩次分紅.圖3是支付兩次分紅下精確值和近似值之間的絕對誤差，第一次分紅在1/3年支付，第二次分紅在2/3年支付，為計算簡便令D1=D2.隨著分紅支付的上升，三種期權(quán)價格的絕對誤差均下降，這是因為分紅的增加會導(dǎo)致期權(quán)價格減小，最終誤差變小，最大的絕對誤差為4.43×10-3.由此表明，該近似方法是行之有效的.

5 結(jié) 論

當(dāng)障礙水平為無窮大時，障礙期權(quán)可以近似看作標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)，所以標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的定價公式，可認(rèn)為是向上敲出看漲障礙期權(quán)公式的一個特例.假設(shè)障礙期權(quán)的分紅次數(shù)是固定的，提出了一種帶有離散分紅的障礙期權(quán)的新型定價公式.不同之處在于將積分里較難計算的對數(shù)，利用泰勒展開轉(zhuǎn)換為關(guān)于指定變量的仿射函數(shù)，進而簡化計算.該方法還可用于回望期權(quán)等其它衍生品的定價，豐富了奇異期權(quán)的定價理論，對指導(dǎo)期權(quán)交易有一定的現(xiàn)實意義.

參考文獻

[1] Volf Frishling. A discrete question [J]. Risk， 2002， 15（1）： 115-116.

[2] Song-Ping Zhu， Xin-Jiang He. An accurate approximation formula for pricing European options with discrete dividend payments [J]. IMA Journal of Management Mathematics， 2018， 29（2）： 175-188.

[3] Tian-Shyr Daia， Yuh-Dauh Lyuu. Accurate approximation formulas for stock options with discrete dividends [J]. Applied Economics Letters， 2009， 16（16）： 1657-1663.

[4] 劉韶躍， 楊向群. 分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境中標(biāo)的資產(chǎn)有紅利支付的歐式期權(quán)定價[J]. 經(jīng)濟數(shù)學(xué)， 2002， 19（4）： 35-39.

[5] 賈兆麗， 楊舒荃， 華鐸. 敲定時間為隨機變量的情況下奇異期權(quán)定價問題研究[J]. 經(jīng)濟數(shù)學(xué)， 2017， 34（2）： 79-83.

[6] Tian-Shyr Daia， Chun-Yuan Chiub. Pricing barrier stock options with discrete dividends by approximating analytical formulae [J]. Quantitative Finance， 2014， 14（8）： 1367-1382.

[7] Fischer Black， Myron Scholes， The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of Political Economy， 1973， 81（3）：637-654.

[8] Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II [M]. New York： Springer-Verlag， 2004： 243-250.

[9] A. Azzalini. A class of distributions which includes the normal ones [J]. Scandinavian Journal of Statistics， 1985， 12（2）： 171-178.