基于均勻化理論分析磁流變彈性體(MR)磁致剪切模量

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(1.塔里木大學 機械電氣化工程學院，新疆 阿拉爾 843300； 2.蘭州大學 土木工程與力學學院，甘肅 蘭州 730000)

1 前 言

磁流變彈性體(MR彈性體)是一種新型智能材料，在外磁場作用下力學性能會顯著增強[1]，對這類效應開展研究已成為關注的重點[2]。在對磁流變彈性體各項性能的研究中，磁流變彈性體的剪切力學性能，特別是垂直于鐵磁顆粒形成鏈方向的剪切方向的力學性能，一直都是研究的焦點[3]。

磁流變彈性體磁致剪切模量的理論預測，通常選用磁偶極子理論[4-5]。磁偶極子理論，即在外加磁場作用下，將每一個磁化的鐵磁顆粒都當做一個單獨的磁偶極子來處理；之后計算在外磁場作用下鐵磁顆粒間的相互作用能和磁能密度，進一步處理后就可得到外場作用下同一條鏈上鐵磁顆粒間的相互作用[6-8]。Furst與Gast[9]在計算磁場強度時，充分考慮了同一條鏈上鐵磁顆粒間的相互作用，使得計算得到的磁場強度大為精確，最后通過能量變分求得磁致剪切模量。Shen等人[10]在此基礎上，進一步完善了此磁偶極子耦合模型，較為精細地預測了磁致剪切模量。以上這些人都是在磁偶極子模型的基礎上進行的研究。但磁偶極子模型在推導過程中，沒有考慮基體材料性能、基體變形能與顆粒磁能間相互作用等因素；且對于顆粒間距很小的情況，磁偶極子模型也沒有考慮到顆粒非線性磁化、磁偶極子與外場的關系等問題[11]。

故此，需在研究磁流變彈性體的磁致剪切模量之前，先對在外加磁場作用下磁流變彈性體內磁場的分布進行深入研究。對磁流變彈性體內磁場的求解可選取多種算法，其中運用最廣泛的就是均勻化理論。基于均勻化理論的主要算法有：Maxwell推測法[12]、Rayleigh-Lam推測法[13-14]、Hashin-Shtrikman邊界法等[15]。Yin等[16-17]在Mura[18]等人的細觀力學研究基礎上，運用均勻化理論計算磁流變彈性體內顆粒與基體上的平均的磁場分布。運用這種方法計算出來的磁場，在考慮鐵磁顆粒間相互作用的基礎上，進一步得到顆粒與基體之間磁場的相互影響，對研究磁流變彈性體內的磁致力學性能有重要意義。但由于在求解過程中進行了一定程度的簡化與近似，故所得到的磁場分布與實際情況存在一定的差距。

本研究運用均勻化理論計算在外加磁場作用下磁流變彈性體內顆粒與基體的磁場分布，并求解磁流變彈性體內的各種能量密度，之后再分析含有鏈狀結構的磁流變彈性體的磁致剪切模量。最后將計算結果與偶極子方法在相同條件下得到的結果進行對比，并將兩者間的差異進行分析、總結。

2 基于均勻化理論計算基體與顆粒磁場相互作用下的磁致剪切模量

2.1 基于均勻化理論計算磁流變彈性體內基體和顆粒相互作用下的磁場分布

(1)

(2)

(3)

將(1)、(2)、(3)三式聯立，可得磁流變彈性體內的顆粒平均場與基體平均場分別為：

(4)

(5)

(6)

則β變為β′：

圖1 (a)加剪力前、(b)加剪力后磁流變彈性體內鐵磁顆粒鏈的變化Fig.1 Variation of ferromagnetic particle chains in magnetorheological elastomers before shear stress imposed (a) and after shear stress imposed (b)

圖2 磁流變彈性體內剪應變與鐵磁顆粒的關系圖Fig.2 Relationship between shear strain and ferromagnetic particle in magnetorheological elastomer

(7)

此時整體的磁場分布為：

(8)

(9)

2.2 基于均勻化理論計算磁流變彈性體內的磁致剪切模量

在單一方向均勻磁化作用下，可忽略磁疇內的交換能與磁晶各向異性能。由于選取的材料不是磁致伸縮材料，故認為磁致伸縮效應的影響遠小于磁致剪切效應的影響，從而又可以忽略磁晶應變能。此時顆粒內總的磁能密度為靜磁能，設為ωα：

(10)

(11)

設磁流變彈性體內整體的平均磁能密度為ω，則有：

(12)

設磁流變彈性體內整體的平均磁致剪切模量為ΔG。在均勻材料內，假設只有剪應變，則磁致剪切模量可表示為磁能密度對剪應變的二階導。故平均磁致剪切模量ΔG為：

(13)

(14)

(15)

(16)

3 均勻化方法、磁偶極子理論各自算結果與實驗數據的對比及分析

圖3 不同方法獲得的相對磁致剪切模量與顆粒體積分數的關系(a) 磁偶極子法; (b) 均勻化方法Fig.3 Curves of relative magnetic shear modulus and particle volume fraction obtained by different methods (a) magnetic dipole method; (b) homogenization method

圖3為在磁導率μ分別為μ=102、μ=103、μ=104、μ=105時，相對磁致剪切模量ΔG/μ0(H0)2與顆粒體積分數φ的關系圖，這是由于磁流變彈性體中的顆粒為鐵磁顆粒，而鐵磁體的磁導率一般在102～105之間。由圖3(a)可知，采用磁偶極子方法獲得的相對磁致剪切模量ΔG/μ0(H0)2隨著顆粒體積分數φ的增加而持續增加，且四種磁導率下對應的四條相對磁致剪切模量與顆粒體積分數φ的關系曲線重合為一條曲線。由圖3(b)可知，基于均勻化理論獲得的相對磁致剪切模量ΔG/μ0(H0)2隨著顆粒體積分數φ的增加呈現先增加后減小的趨勢，最后趨于穩定，且四種磁導率下對應的磁致剪切模量與顆粒體積分數φ的關系曲線的變化趨勢一致。

對比圖3(a)與圖3(b)可知，其共同之處為：在不同顆粒磁導率μ作用下，各曲線間的相對磁致剪切模量ΔG/μ0(H0)2變化不大；當顆粒體積分數φ≤30%時，兩者的相對磁致剪切模量都隨顆粒體積分數φ的增加而增大。兩者的不同之處：當顆粒體積分數φ≥30%時，磁偶極子方法獲得相對的磁致剪切模量持續增大，而均勻化方法獲得相對的磁致剪切模量出現拐點，具有最大值，且兩者在數值上相差較大。

圖4 不同方法獲得的磁致剪切模量與磁感應強度關系曲線Fig.4 Curves of magnetic shear modulus and magnetic flux density obtained by different methods: magnetic dipole method, homogenization method and experiment method

M.Lokander[20]使用丁腈橡膠作為基體，微米級不規則形狀的純鐵顆粒作為填充顆粒，在無場條件下，制備含不同體積分數純鐵顆粒的磁流變彈性體試樣。之后測試在磁飽和狀態(0.8T)下，含不同體積分數磁流變彈性體試樣的磁致剪切模量。依據實驗，在B=0.8T,μ=103，γ=0.1條件下，獲得ΔG%～φ的曲線圖(ΔG%為磁致剪切模量ΔG和基體剪切模量G的比值，試驗中認為基體剪切模量G為常數，取G=12MPa)。如圖5所示，磁偶極子方法所得ΔG%隨著顆粒體積分數φ的增大而持續增加，并在φ=30%之后大于實驗值，與實驗數據吻合較差；而基于均勻化方法所得ΔG%隨著顆粒體積分數φ的增大而增大，并在φ=30%處達到最大值，且與實驗數據較為接近。當φ≥30%時，ΔG%明顯小于實驗數據，這是由于顆粒體積分數φ≥30%時，不同鐵磁顆粒鏈之間的間距會減小，需要考慮不同顆粒鏈間相互作用的影響，而文中只考慮了同一條顆粒鏈間的作用。

圖5 不同方法獲得的磁致剪切模量與顆粒體積分數的關系曲線Fig.5 Curves of magnetic shear modulus and particle volume fraction obtained by different methods: magnetic dipole method, homogenization method and experiment method

磁流變彈性體的磁場分布，除鐵磁顆粒間的相互作用外，還需考慮顆粒與基體之間磁場的相互影響。本文基于均勻化理論計算磁流變彈性體的磁致剪切模量，并與磁偶極子模型在相同條件下計算出來的結果以及實驗數據進行對比。具體結論如下：

1.由圖3可知，磁流變彈性體中的填充物為鐵磁顆粒時，顆粒磁導率的變化對磁致剪切模量的影響不大。

2.當顆粒體積分數小于 30%時，均勻化方法與磁偶極子理論兩者得到的磁致剪切模量都隨顆粒體積分數的增加而增大，且兩者的結果與實驗數據都比較接近。

3.當顆粒體積分數增加到30%時，基于均勻化理論得到的磁致剪切模量出現最大值，其整體變化規律與實驗結果基本吻合，可以預測磁致剪切模量最大時的顆粒體積分數。

4.基于磁偶極子理論計算的磁致剪切模量隨顆粒體積分數的增加而持續增加，不會出現最大值，且當顆粒體積分數大于 30%時，與實驗結果吻合度較差。