高三一輪復習專題

張杏宇

摘 要：導數與函數的身影，考查函數的單調性、極值、最值，求曲線的切線。

關鍵詞：導數；單調性；極值；最值；切線；應用

在最近幾年的高考中，導數與函數的身影頻現。以導數為工具，以函數為載體，考查函數的單調性、極值、最值等性質及其應用為目標，是最近幾年函數與導數綜合應用試題的特點和命題趨向。導數在高考中常見的內容和題型是簡單的函數求導和利用導數求曲線的切線，利用導數求函數的單調區間，應用導數求函數在區間上的最值和極值，借助函數圖像的研究，來考查學生分析問題、解決問題的能力，數形結合的思想，利用導數求解實際問題等。“導數法”現在已然成為高中數學研究函數的一個重要方式，函數問題涵蓋了高中數學很多的考點和思想方法。

一、用導數求函數的切線

例1.求曲線y=x3-3x2-2x，在點（-1，-2）處的切線方程。

分析：根據導數的幾何意義來進行求解。

解：y'=3x2-6x-2，當x=-1時y'=7，即所求切線的斜率為7。故所求切線的方程為y+2=7（x+1），即為：y=7x+5

思維點撥：函數y=f（x）在點x0處導數就是曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處切線的斜率。即曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處切線的斜率為f'（x0），故所求的切線方程為y-y0=f'（x0）（x-x0）。另外，注意，如果把“在”改成“過”，問題就不一樣了，在點P（x0，f（x0））處的切線是指以點P為切點，最多只有一條；而過點P（x0，f（x0））處的切線，并不一定是以P為切點的，要先設切點Q（x1，f（x1）），用點Q的坐標先表示出切線的方程，最后把P點的坐標代入，求解出Q點的坐標才可以。

二、用導數判斷和證明函數的單調性

例2.求函數y=x3-3x2-2的單調區間。

分析：求出導函數y'，令y'>0或y'<0，解出x的取值范圍即可。

解：y'=3x2-6x，令y'>0得3x2-6x>0，得x<0或x>2，由y'<0得3x2-6x<0，解得0

所有函數的單調增區間為（-∞，0）和（2，+∞），單調減區間為（0，2）。

思維點撥：利用導數，判斷函數單調性的步驟解析：（1）確定f（x）定義域；（2）求f'（x）；（3）解不等式f'（x）>0和f'（x）<0（在函數f（x）的定義域內）；（4）寫出f（x）的單調區間。

導數法是研究函數單調性問題的一個主要方法，求解單調性、參數范圍等問題，需要先求導函數再解不等式，這類問題常常轉化為含參數的不等式的恒成立、存在、有解問題的求解。由于大多函數的表達式中含有參數，所以在研究函數單調性時要注意函數的定義域以及對參數的討論。

三、利用導數求函數極值

例3.求函數f（x）=x3-3x2-9x+4的極值。

分析：求導數，列寫表格。

解：由f'（x）=3x2-6x-9=0解得x=-1或x=3。

列表得：

當x=-1時，y有極大值f（-1）=9，當x=3時，y有極小值f（3）=-23

思維點撥：求可導函數的極值的步驟解析：（1）確定函數的定義域；（2）求導函數f'（x）；（3）令f'（x）=0，得所有實數根；（4）列表，對每個實數根進行檢驗，并判斷在每個根（如x0）的左右側，導函數f'（x）的符號（正負）是如何變化的，如果f'（x）的符號由正到負的變化，則f（x0）為極大值；如果f'（x）的符號由負到正的變化，則f（x0）為極小值。需要注意的是：若f'（x）=0的根x=x0的左右側符號相同，則f（x0）就不是極值。

另外，關于函數零點的問題，函數的零點就是曲線與x軸的交點的橫坐標，就是方程的根，函數零點的個數常常與函數的圖像與x軸的交點個數一致，而復雜函數的圖像需要借助研究函數的單調性和極值等，來判斷函數的最值點相對于x軸的位置，包括函數的大致圖像。

四、用導數求函數的最值

例4.求函數f（x）=x3-3x2-9x+4在閉區間[-2，4]上的最值。

分析：求導，列出在區間上的表格。

解：由f'（x）=3x2-6x-9=0解得x=-1或x=3

列表得：

當x=-1時，y有最大值f（-1）=9，當x=3時，y有最小值f（3）=-23

思維點撥：求可導函數極值的步驟是：（1）確定函數定義域，求導數f'（x）；（2）求f'（x）=0的所有實數根；（3）和求極值一樣，列表，不同的是，要包含區間端點；（4）比較表中的數據，包括極值和區間端點的值，其中最大的就是函數f（x）的最大值，最小的就是函數f（x）的最小值。

五、證明不等式

例5.已知：x>1，求證：x2+lnx

分析：首先構建函數，對函數進行求導，并判斷函數的單調性。

證明：令f（x）=x3-（x2+lnx）

f'（x）=2x2-x-

因為x>1，所以f'（x）>0

所以f（x）在（1，+∞）上是增函數，

所以f（x）>f（1）=>0在（1，+∞）上恒成立，

因此x>1時， x2+lnx

思維點撥：利用導數法處理有關不等式證明問題是近年來高考中常用的一種行之有效的方法。其方法就是“由實際問題，構造函數模型，利用導數求解函數最值”。

要證不等式f（x）≥g（x）在區間D上恒成立，只需證不等式f（x）-g（x）≥0在區間D上恒成立；即證函數f（x）-g（x）在區間D上的最小值大于等于零。所以不等式的證明問題可以轉化為用導數求函數的最值問題。

導數作為一種高中數學解題工具來說，在解決函數問題時很便捷，尤其是解決函數的單調性、極值、最值以及切線問題。教師要教會學生將實際問題轉化為數學模型問題，培養學生運用導數知識和不等式知識去解決最優解問題的能力。 復習時，學生首先要“回歸”課本，融合所學的知識，扎實基礎，熟練掌握解題的通解通法，提高解題速度。同時，要知道大多高考試題在教材中都有原型，他們很大一部分是由教材中的習題、例題引申變化而來。因此，學生在一輪復習過程中要利用好課本，夯實基礎知識，為自己后面的二輪、三輪復習做鋪墊、做準備。

參考文獻：

[1]吳志義.函數單調性在解題中的應用[J].中國科教創新導刊，2007（20）.

[2]崔華.導數在中學數學中的應用：運用導數，巧妙體現[J].魅力中國，2009（11）.

編輯 謝尾合