例談解析幾何中的垂直模型

章浩偉

近幾年全國卷在解析幾何內容的考查上難度適中，著重于運用代數方法解決幾何問題，運用幾何性質建立代數關系，凸顯數形結合的魅力。對大多數學生而言，他們有信心做解析幾何試題，卻常常陷于不知從何入手，或者大量運算無功而返的困境。筆者認為，根據已知條件的特點，建立解題思路模型，能有效幫助學生走出這一困境。以下，將結合一個具體問題，談談解析幾何中的垂直模型。

一、問題提出

題目：如圖1，已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=1和兩點A（-m，0），B（m，0）（m>0），若圓C上存在點P，使得∠APB=90°，求m的最大值。

二、解法探究

解法一：

要滿足∠APB=90°，只需點P的坐標滿足：AP→·BP→=0，

利用圓的參數方程，可設點P（3+cosθ，4+sinθ），

由AP→·BP→=0，得： （3+cosθ）2-m2+（4+sinθ）2=0，

化簡整理為： m2=26+8sinθ+6cosθ=26+10sin（θ+φ），其中sinφ=35，cosφ=45，

依題意，圓C上存在點P，使得∠APB=90°，等價于上述方程有解，

因此，當sin（θ+φ）=1時，m的最大值為6；

點評：解法一運用向量研究垂直關系，這是解析幾何問題的常見思路，好處在于通過向量可以把點的坐標引入到研究問題中，而涉及到點的坐標，學生們就有了很多解決問題的代數方法。在求解過程中，通過向量的數量積等于1建立了m與點p坐標的關系，從而將點的存在性問題轉化為方程有解的問題，實現了幾何問題代數化，完成了求解。

解法二：

由示意圖可知，直線AP的斜率存在，則直線BP的斜率也存在，

要滿足∠APB=90°，只需直線AP，BP的斜率滿足：kAP·kBP=-1，

代入點的坐標到斜率關系中，可得：（4+sinθ）2（3+cosθ）2-m2=-1，

余下求解過程同解法一；

點評：解法二運用斜率研究垂直關系，解題思路與解題過程與解法一一致。相比于向量，斜率具有更強的幾何直觀性，但解題時需要對斜率是否存在做單獨考慮，通常不作為首選的解題策略。

解法三：

因為∠APB=90°，可用勾股定理研究，只需點P滿足：|AP|2+|BP|2=|AB|2，

利用兩點距離公式表示出距離，也可以得到：m2=26+8sinθ+6cosθ，

余下求解過程同解法一；

點評：解法三通過勾股定理建立方程，其本質仍然是引入坐標研究問題，在本題中該方法的運算量較大，但也是一種解決垂直問題的方法，尤其是已知條件涉及了長度大小的時候。

解法四：

如圖2所示，因為∠APB=90°，從幾何性質出發，可知點P在以AB為直徑的圓上（除A、B點外），

因此，只需要滿足以AB為直徑的圓（記作圓M）與圓C有公共點即可，而此時，m的值即為圓M的半徑；由圖2可知，當圓C內切于圓M時，m取到最大值，滿足： m=|OC|+RC=5+1=6；

點評：解法四賦予了垂直關系幾何意義，即“若PA⊥PB，則P在以AB為直徑的圓上”，從而將問題轉化為圓C與以AB為直徑的圓是否有公共點，而此時m的取值，就是以AB為直徑的圓的半徑，從而將整個問題幾何化。再分析圖形特征可知，兩圓內切時，m取到最大值。

解法五：

如圖3，因為∠APB=90°，連接OP，

由直角三角形性質可得：|OP|=12|AB|=m，

因此，求m的最大值，等價于求圓C上的點P到原點的最大距離，

可知： mmax=|OP|max=|OC|+RC=5+1=6；

點評：解法五利用了直角三角形“斜邊的中線等于斜邊的一半”的性質，當PA⊥PB時，點P到原點的距離即為m的取值，從而將求m的最大值轉化為求圓上的點P到原點的距離的最大值，可知最大值為圓心到原點的距離加上半徑，完成求解。解法四和解法五都是將代數條件幾何化，以形解數，頗為巧妙。

三、教學啟示

一題多解是數學題的特色，也凸顯了數學學科的獨有魅力。然而，學生在解題時，往往局限于一種自己習慣的解法，甚至有時候都不清楚為什么這個題目就要用這樣的方法來做。當學生習慣的解題方法行不通時，他們便一籌莫展。這一現象在解析幾何試題的解題過程中尤為明顯，學生頭腦中裝著一些方法和結論，如果是熟悉的題目，可以拿來就用，一旦題目比較陌生，就不知道用什么和怎么用了。這時候，歸納解題模型，將解題方法和常用結論建立關聯，能有效幫助學生解決上述困擾。

本文所述的例子，圍繞著 的取值如何能保證圓C上存在點P滿足“PA⊥PB”展開探究，把垂直問題與向量關系，斜率關系，長度的勾股定理關系，三個代數關系，以及滿足垂直關系的點的軌跡為圓，直角三角形下斜邊的中線等于斜邊的一半兩個幾何結論建立聯系，構建了一個解析幾何問題中的“垂直模型”，只要題目所給條件滿足其一，其余均可作為解題思路來分析問題。由此，當學生在解題過程中遇見了垂直關系時，就可以從這五個方向入手考慮問題，選擇自己認為的最便捷的方法。在教學實踐中，我發現學生在掌握了垂直模型后，類似涉及垂直關系的題目，他們做起來很有自信，準確率也高，有些題目還能結合已知條件的特點，在五種入手方法上有所創新。

解無定法，貴在得法。通過探索大量解題方法背后的關聯，構建具體問題背景下的解題模型，能夠幫助學生打開解題思路，走出解題困境，鍛煉他們靈活運用各種解題方法解決問題的能力。

【參考文獻】

[1]孫世林.一道高考題的解法探究、變式及反思[J].中學數學教學參考：上旬，2017（3）：48-50.

[2]白春元.對一道解析幾何題解法的反思[J].中學數學教學參考：上旬，2017（1-2）：35-37.

（作者單位：廈門雙十中學漳州分校）