基于粒子群優化算法的透射濾光片設計

高 健，王慶康，王丹燕

(上海交通大學 薄膜與微細技術教育部重點實驗室,上海 200240)

引 言

周期性納米結構濾光片對入射光的吸收率較小，其中心光譜位置、帶寬等性能參量均可由結構參量進行調節，且易于集成，已成為彩色濾光片重要的研究和應用方向之一[1]。研究表明，當光柵周期遠小于入射光波長時，只產生0 級衍射光波，而其它較高級次的衍射光均為倏逝波，這類光柵稱為亞波長光柵。通過調整亞波長光柵的取向、周期、深度等，對光選擇性透射(反射/吸收)，在光顯示、光伏、光傳感、光檢測和無油墨印刷等領域的應用引起了廣泛關注[2]。如果在液晶顯示屏(liquid crystal display，LCD)中采用納米光柵結構濾光片替代顏料型彩色濾光片，應滿足以下要求：光能利用率高，透射帶寬適中，旁帶透射率低。中國專利“混合型偏振片及其制造方法和具有其的顯示裝置”中提出了一種埋入式單層金屬光柵彩色濾光片[3]，該彩色濾光片由位于基底上多個區域的不同周期、不同占空比、不同高度的金屬光柵組成。

隨著納米加工技術的發展，導模共振濾光片以其設計結構簡單、衍射效率高、半峰全寬(帶寬)窄等優點引起了越來越多的關注。但大部分研究都是基于介質光柵的導模共振特性得到反射濾光片，基于表面等離子體效應的金屬光柵的研究較少[3-5]。當光入射到金屬光柵表面時，由于光子與金屬表面自由電子的電荷密度波耦合成表面等離子體(surface plasmons，SP)在特定的光波長內表現出透射增強現象，這種現象稱為表面等離子體效應。

目前，想要得到特定波長的濾光片，設計光柵結構，大多采用嚴格耦合波分析、模式法和時域有限差分等方法數值分析光柵周期、占空比、厚度等參量變化對透射譜線的影響，進而得到參量的優化范圍[6]。本文中提出利用粒子群優化(particle swarm optimization,PSO)算法與嚴格耦合波分析(rigorous coupled wave analysis,RCWA)方法結合，在給定濾光波長要求的情況下，逆優化結構參量。粒子群優化是一種由一群鳥類和昆蟲群的社會行為啟發的進化計算技術。 最初由KENNEDY和EBERHART提出 ，近年來主要應用于電磁場優化問題[7-8]。由于在各種問題中實現方便并且具有強大的優化能力，PSO算法越來越引起研究人員的注意。

本文中把光柵結構的參量作為優化的粒子，在一定范圍內不斷改變粒子的速度和位置，設定目標函數計算適應值F，對每組優化粒子進行評估，最終找到全局最優解。

1 理論分析

本文中研究一種基底-高折射率光柵-金屬光柵的透射式濾光片結構，如圖1所示。金屬光柵層材料為Al，折射率為nm，色散曲線依照Drude模型[9-11]。高折射率介質光柵層折射率nd=2.4，基底層折射率ns=1.5，Λ代表光柵的周期，光柵的寬度W=Λf，f為光柵的占空比，金屬光柵層的厚度為dm，介質光柵的厚度為dd。當TM光從光柵表面垂直入射，金屬表面發生等離子體共振。在金屬和基底之間增加高折射率介質光柵層，滿足波導共振激發條件，發生導模共振。由于這兩種效應的共同作用，在特定波長發生透射增強。

Fig.1 Schematic of subwavelength metal-medium filter with grating structure

2013年，ZHOU[2]提出當結構中的金屬光柵厚度dm=0.06μm，介質光柵厚度dd=0.08μm，占空比f=0.75，周期Λ=0.4μm時，光譜峰值位置波長為0.65μm，透射效率為67%。為了提高光柵結構濾光片對波長為0.65μm紅光的透射效率，縮小帶寬，本文中提出利用PSO算法，逆優化結構參量。

在PSO中，群體的每個粒子被認為是N維搜索空間中的一個無質量的點，粒子僅具有兩個屬性：位置X和速度v, 位置代表粒子移動的方向，速度代表粒子移動的快慢。每個粒子在搜索空間中尋找最優解，將其記為當前個體極值Pm，并將個體極值與整個粒子群里的其他粒子共享，找到最優的那個個體極值作為整個粒子群的當前全局最優解G，粒子群中的所有粒子根據自己找到的當前個體極值Pm和整個粒子群共享的當前全局最優解G來調整自己的速度和位置，直到輸出全局最優解[12-14]。速度和位置的迭代公式為：

vm,k+1=ωvm,k+c1rand1()(Pm-Xm,k)+

c2rand2()(G-Xm,k)

(1)

Xm,k+1=Xm,k+vm,k+1Δt

(2)

式中，ω是慣性權重，設定為從0.9～0.4遞減，c1和c2設為1.49，Δt為時間步長，設為1，參量設置參見參考文獻[15]，rand()為MATLAB自帶函數，返回一個0～1之間的隨機數，當前個體極值Pm={p1m,p2m,…,pnm}，n=20,G=Pm，Pm和G迭代規則為：如果F(Xm,k+1)比F(Pm)小，則Pm由Xm,k+1取代。如果F(Pm)比F(G)小，則G被Pm取代。直到迭代結束。

對于通過PSO設計的金屬光柵濾光片，本文中選擇透射波長0.65μm的紅光，選擇4個參量作為優化參量：光柵厚度dm，介質層厚度dd，光柵周期Λ和占空比f。因此，粒子群數組為X={Λ，dm，dd，f}。設定目標函數，求適應值F公式如下[16]：

(3)

式中，Rt是不同波長入射光期望達到的透射效率，為了實現紅光透射效率高、旁帶低的要求，這里設定波長為0.65μm的透射效率達到最大值，此時最大值為1，帶寬控制在小于50nm，設定波長為0.625μm和0.675μm時透射效率為0.3，其它波長對應透射效率設為0,以減小旁帶。Rd是把PSO中的優化參量代入RCWA程序計算所得到的透射效率，M是所取波長點的數量。粒子的F為兩者的方差，反映了優化的程度，F越小，Rt越接近Rd，就越符合優化的結果。

2 建模與仿真

在MATLAB中進行仿真，仿真流程見圖2。在PSO程序模塊中，首先分配粒子群中待定參量的初始數量，仿真過程中設定為20。參量的范圍為：0μm<Λ<0.650μm; 0μm

Fig.2 Flow chart of particle swarm optimization algorithm

3 優化結果與分析

針對透射波長0.65μm的紅光濾光片，圖3為PSO適應值隨迭代次數變化的曲線。得到優化參量為：Λ=0.300μm，dm=0.035μm，dd=0.400μm，f=0.77，根據得到的最優參量模擬其對應結構透射效率隨波長的變化曲線Rd(λ)與設定的透射效率曲線Rt(λ)的比較,如圖4所示。設置虛線為目標曲線，實線為PSO優化結構的仿真曲線，點線為參考文獻[2]中ZHOU提出的結構透射光譜。

Fig.3 Relationship between fitness function and the iteration number

Fig.4 Relationship between transmission spectra of grating structure[2]，the optimal structure and the target and wavelength

根據PSO算法得出的適應值隨迭代次數變化圖，以及最優結構透射效率隨波長變化曲線與設定曲線對比的圖形分析可知，迭代過程中適應值逐漸收斂，大約在2000次后趨于穩定，迭代6000次后得到適應值僅為0.0728，優化了結構參量，優化參量對應的光柵結構對紅光透射率達到了80.27%，旁帶效率控制在15%以內，半峰全寬(full width at half maximum，FWHM)僅為30nm。與ZHOU提出的結構透射光譜對比可知，此優化結構提高了透射效率，縮小了帶寬。

在最優參量的基礎上，通過改變單一參量，得到周期Λ、占空比f、金屬光柵高度dm和介質光柵高度dd變化對透射效率的影響。圖5a中為當f=0.77，dm=0.035μm，dd=0.400μm，周期Λ分別為0.280μm,0.290μm,0.300μm,0.310μm,0.320μm時光柵結構對不同波長光的透射效率曲線。圖5b～圖5d中為固定其它參量，分別改變f,dm，dd時透射效率隨波長變化的曲線。

Fig.5 Relationship between transmission and wavelength for different grating structure parameters

由分析可知，圖5a中,當固定其它參量改變周期Λ時，隨著Λ的變大，曲線紅移，透射效率減小，周期小于最優值時，旁帶大于20%，不能應用于整個可見光波段，周期大于最優值時，透射效率下降明顯。圖5b中，當固定其它參量改變金屬光柵厚度dm時，同樣出現厚度小于最優值時，旁帶超過20%，大于最優值時，透射效率顯著下降。圖5c中，隨著介質光柵厚度dd的增大，旁帶透射效率也增大，厚度小于最優值時效率較低。圖5d中，隨著占空比f的增大，曲線紅移，在取最優值時旁帶效率和透射效率與取其它值相比更優。因此，由PSO算法得出的最優結構實現了特定波長光的高效率透射。

4 結 論

將粒子群優化(PSO)算法應用到求解高效率透射光柵結構的結構參量上，利用MATLAB進行仿真，通過設定目標函數控制透射效率、旁帶效率和帶寬，不斷迭代，比較適應值，使得仿真曲線與設定曲線的差值最小，實現了對光柵周期、占空比、光柵厚度、介質厚度的優化，優化結構對應的透射效率曲線在波長為0.65μm時達到最大，旁帶效率小于15%，半峰全寬僅為30nm。在得到優化參量的基礎上，分析了改變各個參量對透射效率的影響。研究表明，該亞波長金屬-介質光柵濾光片結構實現了對波長為0.65μm紅光的高效率透射。