《拉格朗日乘數法及其在實際問題中的應用舉例》微課教學設計

王艷艷　滕毓發

摘 要 首先通過實際問題引入條件極值，然后通過對引例的極值點的幾何特征進行了探究，得到在極值點處目標函數與約束函數的梯度平行，并在一般情形下進行了理論分析，基于梯度推導出拉格朗日函數，把條件極值轉化為無條件極值，最后利用拉格朗日乘數法解決實際問題。

關鍵詞 梯度 拉格朗日乘數法 條件極值

中圖分類號：O29 文獻標識碼：A

《拉格朗日乘數法及其在實際問題中的應用舉例》微課，筆者在2017年全國高等數學微課大賽中獲得了華東賽區一等獎，本次課以問題為牽引，學員為主體，重在啟發、引導學員發現、分析并解決問題，進而培養學員嚴謹、細致、創新的思維品質。現將教學過程呈現如下：

【應用引入】 如今網絡購物正以迅雷不及掩耳之勢影響著我們的生活，作為理性消費者，在條件許可的范圍內如何追求效用最大化；再比如在選擇材料設計空間探測器時，如何計算飛行器的最高溫度？我們都可以使用拉格朗日乘數法來解決。

引例：如果矩形的對角線為2，則矩形的最大面積為多少？

分析：求函數最大值。條件：點必須在對角形曲線上。

1問題提出

條件極值的一般形式：約束條件：

問題：如何求得極值？

2問題分析

引例：

首先畫出對角線方程的曲線，當點P沿四分之一圓周運動時，對應面積不同的取值，實際上這些雙曲線就是函數的等值線。通過觀察，我們可以發現：在圓周與等值線的交點處對應的函數值，顯然比切點處對應的函數值2要小，而比2大的等值線上的點卻不在圓周上。所以，切點對應的函數值就是面積的極大值，極值點就是切點！

在點等值線與圓周相切，從而等值線的法向量與圓周的法向量平行，也即它們梯度在極值點平行！那么這一結論是否適用于一般的條件極值問題呢？

考察在約束條件下，在點處取得極值的必要條件。

假設在點的鄰域內，和均有一階連續偏導數，也即他們對應的曲線都是光滑的，，由此可以確定一個連續且具有連續導數的函數，把它代入目標函數，問題轉化為求解這樣一個一元函數在點取得極值的必要條件。從而在處的導數等于0，而是復合函數，由鏈式求導法則

這個式子相當于這樣兩個向量的數量積等于0，它表示在極值點，f的梯度與約束條件的切向量垂直，的梯度也與切向量正交，所以f的梯度與的梯度平行，說明這個結論對于一般條件極值問題也是成立的！

那么如何求解函數的極值點呢？從這個結論出發，我們繼續進行探究：兩個向量平行的充分必要條件是什么呢？存在，使得的梯度等于乘以的梯度，為什么加一個負號呢？

我們把等式右邊移到等式左邊，再利用梯度算子的性質，式子可以寫成在的梯度等于0向量。如果前面比例常數是，這里就會出現，所以我們在前面加了一個負號。由此構造輔助函數： ，它在極值點的梯度等于0向量，那么極值點一定L對x的偏導數等于0，L對y的偏導數等于0的這兩個方程，同時也滿足=0，那么方程組解出的就是可能的極值點，也即駐點。

由此引出Lagrange乘數法，并介紹數學家拉格朗日的故事，激勵學員勇于克服困難。

最后介紹拉格朗日乘數法的一個應用：某衛星發射中心發射一空間探測器，探測器表面的方程為，由于空氣摩擦，發射后，其表面開始受熱，一小時后其表面溫度為。求此時探測器表面最熱的點。最后請學員總結拉格朗日乘數法解決問題的步驟，并給出思考題：某野外景區發生旅游者失蹤事故，根據旅游失蹤人員最后出現或與搜索人員練習的時間地點特征，以及旅游者移動速度，確定了五個區域，請問：如何在多種搜索資源限制下，求出找到失蹤人員的最大概率？

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學第六版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 張帆，劉穎.基于最優搜索理論的失蹤旅游者搜救模型研究[J].世界科技研究與發展，2008，30（02）：93-95.