基于分數階PID控制器的地鐵列車優化控制研究

張 馳，譚南林，周 挺，劉敏杰，單 輝

(1.北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京 100044；2.常州市軌道交通發展有限公司，江蘇 常州 213022)

地鐵列車作為軌道交通的重要通行方式，運輸能力大、運行速度快，承擔了大部分的乘客運輸任務。隨著我國城市化建設的快速發展，對其運力也提出了更高的要求。列車自動駕駛ATO系統利用車載固化信息和地面通信實現對列車牽引、制動的控制，可使列車處于更佳的運行狀態，提供更優的區間運行模式，提高旅客舒適度、行車密度和準點率。列車控制算法是ATO系統的核心技術， 深入研究此項技術對我國開發具有自主知識產權的城市軌道交通列車控制系統具有重要意義。

目前，針對ATO系統的研究主要集中在列車運動模型建模和響應追蹤控制器兩個方面。在列車運動模型建模上，文獻[1]根據動力學原理建立模型，但這種模型忽略了控制力產生的動態過程。文獻[2]提出了面向控制的列車制動模型。文獻[3-6]以此模型為基礎進行自動駕駛、精確停車和ATP限速下ATO控制算法研究，但未考慮到列車牽引制動特性，使模型在列車高速狀態下誤差增大。為此，本文以該模型為基礎，進一步引入列車牽引制動特性以降低誤差。

另外，地鐵列車在運行時受到的阻力負載隨著線路的情況、運營的情況和車輛的工況而變化。文獻[2]中的模型未定義基本阻力，影響了模型的精度。針對該問題，列車模型參數識別大多采用最小二乘法。如文獻[7-8]應用最小二乘法獲得磁懸浮列車對應模型參數。最小二乘法可以快速收斂到真值，但對有色噪聲會產生偏差。文獻[9]采用極大似然法對高速列車的非線性模型參數進行識別，而極大似然法可能存在局部收斂，且需要先驗知識。

在響應控制器方面，出現了多種不同的控制方法。文獻[10]中的PID控制算法具有良好的控制精度，但是不能兼顧系統響應的快速性和穩定性。文獻[11]中的模糊控制具有較好的魯棒性和快速性，但控制精度不高，且控制參數和控制規則的調整耗時耗力，不利于工程中的實施。文獻[12]中的神經網絡控制算法復雜，缺乏實時性。

近年來，分數階微積分理論和應用研究成為熱點研究課題，它不僅是很好的建模工具，而且還可以從數學上精確證明系統的正確性。文獻[13]提出分數階PIλDμ控制器，并比較了分數階PIλDμ與傳統整數階PID控制器在控制分數階系統和整數階系統時的性能差別，體現了分數階控制器的潛在優勢。文獻[14-15]討論了分數階PIλDμ控制器在運動控制中的應用，通過積分誤差尋優的方法設定分數階PIλDμ控制器的參數。文獻[16]對分數階PIλDμ型控制器的應用進行了深入研究，使分數階PIλDμ型控制器在工程領域可以得到很好的應用。對于實際情況中的受控對象，文獻[17]提出可以根據期望的幅值裕量Am和相位裕量φm來設計分數階PIλDμ控制器。文獻[18]基于Routh-Hurwitz穩定性判據，研究了分數階混沌系統在平衡點處的反饋控制問題。并且分數階PIλDμ在文獻[19]中應用到智能車控制，在文獻[20]應用到導彈控制。

本文以地鐵列車為研究對象，建立更為完善的列車運動模型，從實際數據中用遺傳算法校準得出列車的基本阻力參數。針對目標曲線跟蹤控制問題，依據分數階PIλDμ控制算法對列車ATO建立了一套更加優化的自動駕駛控制算法。通過系統仿真以及與實際列車的運行數據進行比較，結果表明該算法能夠使ATO系統達到更優的速度控制效果。

1 優化列車運動模型

1.1 列車運動模型

在地鐵工程設計中，把運行中的列車看作是全部質量集中于重心的平移運動和某些部分進行回轉運動(車輪、電機)的剛體運動。地鐵列車的運動由ATO系統通過牽引制動系統實現控制，但ATO系統不能直接操縱列車動力執行機構，如電機、內燃機等。因此，構建列車運動模型時必須考慮傳輸延時和響應時間。

參照文獻[2]中的列車運動模型，如圖1所示。

圖1 列車運動模型

A(t)=F(u(t))=f×u(t)+e

(1)

式中：f和e為F(·)的系數。

然而，值得注意的是，A(t)和u(t)兩者之間并不是理想的線性關系，現有模型沒有考慮列車在不同速度及不同工況下牽引制動能力的非線性特征。牽引和制動特性曲線的確定受到以下條件的限制：車重和黏著系數，最大線路功率和電機顛覆轉矩。以南京地鐵一號線A型列車為例，載客質量及列車質量見表1，表1中定員載荷為6人/m2，超載為9人/m2，乘客每人質量按60 kg計算，上述參數依照《地鐵車輛通用技術條件》進行設定。

表1 載客質量及列車質量 t

各工況的列車牽引特性曲線和制動特性曲線如圖2、圖3所示。

圖2 列車牽引特性曲線

圖3 列車制動特性曲線

從列車牽引特性曲線和列車制動特性曲線可以看出，大部分情況下，兩者都是在低速區間為常數值，高速區間有所降低。為了簡化計算，將列車牽引特性和列車制動特性都設定為分段函數，并根據曲線特征分別簡化成一次或者二次函數。在AW0工況下牽引力為

F(v)=

(2)

在AW2和AW3工況下牽引力為

F(v)=

(3)

在AW0工況下制動力為

F(v)=264 kN

(4)

在AW2和AW3工況下制動力為

(5)

1.2 列車基本阻力辨識

列車基本阻力計算是列車牽引計算中的一個重要組成部分，其計算結果的合理性、準確性對列車的運動學仿真具有重要意義。從實際線路中得到的基本阻力系數信息，對建立運行時間模型、能耗模型有很大的幫助。

列車在實際運行過程中所受到的阻力可以分為基本阻力和附加阻力。列車運行時影響基本阻力的因素極為復雜，包括軸承類型、潤滑油性質、輪對轉速、車輪半徑和車輪踏面形狀等。因此，通常使用大量實驗綜合出經驗公式進行計算。參照戴維斯公式，單位基本阻力ω0(N/kN)等于列車運行速度的一元二次方程，即

ω0=a+bv+cv2

(6)

式(6)中的系數a、b、c需要辨識。系數的值對某一列車是確定的，但是隨著機車運營年限的增加，列車的機械阻力和氣動阻力會發生改變，列車輪對與軌道的摩擦所形成的阻力也會發生變化。如果此時基本阻力運算的系數還使用初始設定的經驗常數，對于模型的仿真計算將會引起較大誤差。

針對這一狀況及需求，本文采用現場采集的實際運行數據對基本阻力系數進行辨識。由于獲取的數據量不足，不適用訓練學習的算法進行辨識。考慮到雖然現有車載記錄儀可以獲得地鐵列車實際運行過程中的牽引力、制動力、速度等數據，但是精度不高，速度只能精確到千米每小時，行程只能精確到米。若采用最小二乘法算法進行參數辨識會出現過擬合現象，易受噪聲影響，放大誤差。因此，本文選用遺傳算法對阻力參數進行辨識。

遺傳算法具有計算時間少、魯棒性高、收斂性好等優點。時間乘以誤差絕對值積分(ITAE)的性能指標是具有很好工程實用性和選擇性的控制系統性能評價指標。對基本阻力參數辨識應用遺傳算法時，個體的適應度是記錄儀采集到的速度值v(t)和距離值s(t)兩者的ITAE性能指標的乘積，并對一定誤差范圍之內的值進行剔除，以減少采集精度對結果的影響。選取的適應度函數為

(7)

2 基本阻力系數及分數階PIλDμ算法

分數階PID控制器引入了積分階次λ和微分階次μ兩個可調參數，從而使得控制器參數的整定范圍變大，控制器能夠更靈活地控制受控對象，可以期望得到更好的控制效果。由文獻[13]提出的傳遞函數為

(8)

本文參照的分數階微積分Riemann Liouville(RL)定義為

(9)

分數階PIλDμ型控制器具有對被控系統的參數變化不敏感的特點。本文采用的列車運動模型加入了列車牽引制動特性這一非線性特征，且列車運動本身還具有時滯性、非線性的特點，所以傳統方法并不能準確反映列車的動力學特性，而適用于分數階PIλDμ型控制器來進行控制。分數階PIλDμ型控制器對非線性控制對象有很強的抑制力，可以較好地實現對非線性環節的控制。通過調整比例系數、積分系數、微分系數、積分階次和微分階次這5個參數，可以使系統得到更加快速精確的控制效果，取得比常規控制器更優的動態性能和魯棒性。在對分數階微積分的實際應用中，由于計算量大，限制了此算法的應用，所以，基于Oustaloup算法這一數字實現，在幅頻特性及相頻特性均具有很好的近似。最終設計的分數階PID框圖如圖4所示，在比例積分微分環節之后加入了分數階積分和分數階微分環節。

圖4 分數階PID仿真框圖

Oustaloup濾波器為

(10)

其中

3 實驗及結果

3.1 模型建立

建模計算所依據的數據是通過現場采集的南京地鐵一號線A型車行車數據。行車記錄儀對南京地鐵一號線采集到的部分實際數據如圖5所示。

圖5 行車記錄儀獲得的部分實際數據

A型車的列車編組為：=Tc*Mp*M=M*Mp*Tc=。其中：*為半永久式牽引桿；=為全自動車鉤；Tc為有司機室的拖車；Mp為有司機室帶受電弓的動車；M為無司機室的動車。列車長度為140 m，總牽引力為368 kN，最高運行速度為80 km/h。根據前述的列車運動模型，對南京地鐵一號線的列車運動模型用MATLAB軟件進行仿真，加入列車牽引制動特性曲線。仿真研究的重點是列車AW2荷載狀態的技術指標。將記錄儀采集到的AW2工況下一段數據運用最小二乘法計算，得到的基本阻力結果為

ω0=2.955+0.014v+0.002 2v2

同樣，使用遺傳算法對基本阻力系數進行計算，適應度為速度值和距離值兩者的ITAE性能指標的乘積，并對基本阻力參數取值范圍加以限定，以減少迭代次數，適應度變化曲線和種群均值變化曲線如圖6、圖7所示。

圖6 適應度變化曲線

圖7 種群均值變化曲線

由圖7可以看出使用遺傳算法在迭代5次之后可得到滿足精度的適應度，依此將列車運行仿真模型中的基本阻力模塊設置為

ω0=5.1+0.039 1v+0.001 1v2

依據以上計算得出的參數，對兩種算法進行對比，見表2。

表2 最小二乘法和遺傳算法的對比

由表2可以看出，遺傳算法得到的結果與經驗值更為貼近，可以作為實際列車的阻力修正參數。使用其他AW2工況區間數據進行驗證，測得的ITAE性能指標均在誤差范圍內。對AW0工況區間數據進行處理，基本阻力結果為

ω0=1.095+0.364v+0.001 3v2

用遺傳算法得到的參數來完善模型，輸入實際的牽引制動檔位和附加阻力值，將仿真得到的速度結果與實際運行所采集到的速度值進行比對，結果如圖8、圖9所示。

圖8 列車運動模型下AW2工況的仿真速度曲線

圖9 列車運動模型下AW0工況的仿真速度曲線

由圖8、圖9可以看出，優化后的列車運動模型在各種工況下都能夠很好地與實際采集到的數據相吻合，僅在低速時有一定的誤差。依據此算法模型，可以從實際線路速度狀態信息中得出更為準確的列車基本阻力實際系數值。

3.2 分數階PID控制算法結果

基于上述優化的列車運動模型，研究列車的自動控制算法。現階段大部分列車自動駕駛系統的控制算法采用的是傳統PID控制或自適應PID控制。為此，本文分別使用傳統PID控制方法和分數階PID控制方法對列車速度進行控制。由于最終控制目標為多目標，且部分目標不易量化處理，所以使用傳統經驗及遞進方式更改控制參數，分別得到兩種控制方式的最優解，在最優解下的階躍響應如圖10所示。

圖10 傳統PID和分數階PID階躍響應

從圖10可以看出，在25.8 s之前兩條曲線重合，此時兩者都是以最大牽引力加速。由于存在區間限速，兩者都不可以存在超調量。分數階PID能夠更快地達到控制目標，與此同時，傳統PID的穩態誤差為0.03 km/h，分數階PID的穩態誤差為0.015 km/h，分數階PID穩態誤差更小，整體在階躍響應中優于傳統PID。傳統PID控制參數和分數階PID控制參數見表3。

表3 控制器參數

以列車的運行速度作為新建運動模型輸入量，使用傳統PID控制算法和分數階PID控制算法分別進行響應追蹤。考慮到ITAE能夠較好地抑制長時間存在的誤差，瞬態響應的振蕩性小，且對參數具有良好的選擇性和敏感性，將速度的ITAE性能指標作為控制指標。得到結果如圖11所示，可以看出采用分數階PID控制算法對設定速度的控制品質優于傳統PID。

圖11 兩種算法的ITAE指標

為了進一步進行比較，采用線路的列車限速曲線作為控制目標，應用分數階PID控制算法進行控制，與實際的列車運行曲線相對比，分數階PID控制結果速度更快，用時更短，速度曲線如圖12所示。

圖12 速度曲線

分數階PID控制算法通過調整參數，可以使其沒有超調量，在ATP設定的限速下運行，快速達到目標值，檔位切換平穩等多個目標同時得到滿足，檔位控制結果如圖13所示。

圖13 分數階PID檔位控制結果

對分數階PID控制算法參數進行整定，結果見表4。

表4 控制器參數

使用傳統PID控制算法時，無法找到同時滿足沒有超調量、速度無振蕩、時間盡量短、檔位切換平滑多目標的參數，滿足前3個目標的檔位控制結果如圖14所示。

圖14 傳統PID檔位控制結果

從檔位切換來看，傳統PID在精度提高的同時穩定性就會下降。而分數階PID在保證精度和速度沒有超調量的同時，降低了切換頻率，加速度變化較為平穩，從而減少了頓挫，提高了乘坐舒適度。分數階PID能夠克服變化帶來的不確定影響，從而提高系統的可靠性。

4 結束語

本文對傳統的列車運動模型進行改進，加入列車牽引制動特性，應用遺傳算法對不同線路條件、車輛工況下的基本阻力系數進行識別計算。新建立的模型誤差小，較現有的理想模型更貼近于實際的列車。在此基礎上，將分數階PID控制方法應用到上述列車運動模型中的ATO系統。仿真實驗結果表明，使用分數階PID控制方法進行列車速度控制時，能夠使速度跟隨更快，控制精度更高，同時減少了頓挫，提高了舒適度，總體性能優于傳統PID控制。

本文方法對列車的檔位控制仍有較大的提升空間，對列車基本阻力系數的辨識也可以使用不同的方法，如卡爾曼濾波。同時，分數階PID控制算法中參數的選定也是未來研究的方向。