淺談數學中導數的學習策略

金炳泉

摘 要：導數是高中數學非常重要的一部分內容，是高考時容易出題的考點，在總成績中占的分值很大。由于相關的知識點較多，難度相對較大，所以在解決導數問題時，許多同學有些解題策略不當。本文對導數的幾何意義，導數在研究函數中的應用，如單調性、極值以及最值等問題進行了分析，總結了相應的學習方法和策略。

關鍵詞：高中數學；導數；解題策略；函數

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）19-0239-02

導數是高中數學（人民教育出版社B版）選修2-2第一章《導數及其應用》的內容，既是對所學習的函數的應用，又為后續學習定積分和微積分的基本知識打下基礎。而且導數這部分知識是高考時容易出題的考點，在總成績中占的分值很大，這就決定了導數知識在高中數學學習過程中是非常重要的。并且因為相關的知識點比較多，學習難度相對較大，所以在解決導數問題時，許多同學有些解題策略不當。在導數這一部分中，主要考點有導數的幾何意義、導數在研究函數中的應用，考查運算能力和邏輯推理能力，主要包括：利用曲線上一點的切線的斜率是該點處導函數值，結合給定條件求出切線方程（導函數的函數值等語言函數的圖像在該點處的切線的斜率）；通常利用導數研究函數的單調性、極值、最大值和最小值。

學習這部分內容最忌諱的就是盲目地實行題海戰術，因此，我對此部分相應的學習方法和策略進行了總結。

1 加深對導數幾何意義的理解

加深對導數的幾何意義的理解，主要是明確切點是聯系切線和曲線的紐帶。在求切線問題上，要注意“過”某一點求切線和“在”某一點求切線的解法不同。例如，設曲線方程為，則過某一點M（）（非切點）的切線方程的求法：（1）設點代入：設切點為P（），則；（2）列斜率：切線斜率P（），則；（3）解方程：化簡上述方程，得到關于的一元方程，求解；（4）求切線：確定的一元方程，利用點斜式得到切線方程。

2 利用導數判斷函數的單調性

單調性是函數的核心性質。“原函數看單調，導函數看符號”。運用導數研究函數的單調性，是把函數單調性的判斷轉化為其導函數的符號的判定，再轉化為導函數的零點的研究。

2.1 導數的正負性和函數的單調性之間的關系

（1）利用導數來解決函數的單調區間時，寫成開區間就可以，并一定要寫定義域。（2）關于解導數的不等式問題，可以采取令或令來解，解題之前先觀察一下，導數是不是恒正或恒負的，若是恒正或恒負，就沒必要再進行討論。（3）如若遇到不太好解的不等式，令，然后再列表分析導數的正負性，這也算是一個很好的方法。

2.2 利用導數研究函數單調性的基本步驟

（1）確定函數的定義域，尤其注意其隱含定義域，如含的函數（的定義域是）；（2）求導數，并整理；（3）判定，求導數的零點；（4）列表，定號；（5）寫出函數的單調性，如果一個函數具有相同單調性的單調區間不止一個，則這些單調區間中間不能用“”連接，而只能用“逗號”或“和”隔開。

2.3 研究已知函數的單調性，求參數的范圍

（1）在利用導數求單調增區間時，可以令來解決問題的；但已知函數在區間D上為增函數時，應得到在區間D上恒成立，而不是；（2）對于為二次型函數時，要關注二次項系數是否為0的討論；若這個二次型導數能夠因式分解，則采用數形結合的方式討論更為簡單；（3）若參數是孤立存在的，可以嘗試參變量分離方法求解。

2.4 導數中的分類討論

關于導數中的分類問題，許多同學表示聽不懂，搞不清面對老師的講解，有些發懵。

其實，導數的分類討論還是有規律可循的。它主要分兩種情況：（1）是特殊函數的導數，自帶無負性的光環，如，，這三種情況碰到含參數的問題，是極易出錯的。（2）是導數為二次型的，需要比較兩根的大小，開口方向，定義預設卡等等。

例如：函數的單調區間

解題思路：首先確定函數的定義域（），求的導數為，當時，導數大于零在R上恒成立，函數一定時單調遞增的，當時，畫導數圖形的草圖，在（）單調遞增，在（）單調遞減，列出表格呈現出來，最后要綜上作答。

有一些題的解題方法差不多，此類問題主要包含以下幾種，， （限于函數本身的定義域），他們的分類討論主要集中在導數本身的特征是大于零的。

利用導數研究函數單調性問題中的難點，即分類討論問題中的常用討論點：（1）導函數是否存在零點，如無零點，有不變號零點，有變號零點；（2）導數存在變號零點的情況下，應討論導函數的零點與定義域的關系，導函數零點的大小，參數對符號判定的影響，如系數。

2.5 導數中函數單調性的應用

（1）對于導數，很多人習慣上令，實際上，這種做法是不對的。應該優先判斷是否恒正或恒負，此時不需要令的。在確實有正有負的情況下，再令，這個思想對于含參數問題，還有定義域不是全體實數的問題，尤其重要。

例如：，，若恒成立，求m的取值范圍。

解題思路：首先根據題意≥，分離出m，即≥，只要求的最小值就可以了。此時令，求導得到，令，可以得出。列表，可以得到是減的，（）是增的，先減后增，最小值就可以得出，從而求得m的取值范圍為。

（2）在分析如何利用導數來證明不等式時，首先采用構造新函數思想，通過導數，分析函數的單調性，進而求出函數的最值，最后得出不等關系；其次要注意對數函數lnx，它的導數是1/x，定義域是{x|x>0}，如果證明的不等式當中含有lnx，可以通過等價轉化，將lnx孤立出來，比如不等式當中含有xlnx或lnx/x等，這種結構求完導后，lnx依然存在，對后面的分析帶來麻煩，不如將和lnx乘（除）在一起的部分等價轉化掉，使lnx獨立出來，往往得到的新的不等式比較好證明。

例如：已知函數，求證，若 。

解題思路：將不等式移項得到 ，即只需證明此不等式在時成立即可。設，則在上恒成立。所以在上是增函數，的最小值在處取得。所以當時，。所以時，，即原不等式成立。

3 利用導數研究函數的極值與最值

3.1 研究函數的極值

首先要明確極值和極值點的概念，清楚極值是個局部最值的意思，極值的定義是和導數無關的；在利用導數可以求函數極值，是因為一般研究的都是可導函數，對可導函數而言，導數的變號零點才是極值點產生的地方；需要注意極值解答題的書寫要規范，其中極值點是自變量的值，它是數，不是點；從函數來講，是為函數極值點的必要不充分條件，為函數極值點的充要條件是為導數的變號零點。

3.2 研究閉區間上函數求最值問題

對于極值的屬性，需進一步加以分析，不能盲目自大；閉區間上連續函數求最值問題，若是單調性發生轉變太多，可以采用先求閉區間端點函數值，以及使導數等于0點處的函數，比較出最值即可；若是函數單調性轉折次數不超過一次，最好還是采用單調性分析好一些。如函數先減再增，求閉區間上最大值問題（函數先增再減，求閉區間上最小值問題），可以采用作差比較法得出，不需要分很多類。需要說明的是給定函數的區間必須是閉區間，函數在開區間上雖然連續，但是不能保證有最大值和最小值；在閉區間上的每一點必須連續，即若在閉區間上有間斷點，也不能保證函數有最大值或最小值。在求可導函數的最值時，不需對各導數為0點進行討論其是最大值點還是最小值點，只需將導數為0點和端點處的函數值進行比較即可。

函數的極值與最值是運用導數研究函數性質。運用導數研究函數的極值與最值的關鍵是導函數零點的確定，特別是“變號零點”的確定，即“導函數定正負，變號零點找出路”，要關注如果導數的零點不能求出時，如何“設而不求”；同時由于極值（最值）的定義，在含參問題分類討論時，需要注意極值（最值）問題的分類討論標準的變化，如極大值（極小值）之間大小的變化。綜上所述，在學習過程中，要靈活應用上述方法。

4 結語

導數知識在高中數學中占有很重要的位置，不僅起到承上啟下的作用，并且在高考中占有很大的分值。在平時的學習中應重視導數部分的學習，注重總結歸納，找到有效的解題思路和學習方法。

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