等價(jià)無窮小在考研數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

王曉梅 楊曉春

摘 要：無窮小量是極限中的一個(gè)重要概念。在求極限過程中，等價(jià)無窮小是常用的方法之一，正確使用等價(jià)無窮小可以大大簡化極限運(yùn)算。本文主要研究的是等價(jià)無窮小在考研數(shù)學(xué)求極限中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：等價(jià)無窮小；考研數(shù)學(xué)；極限

極限問題是整個(gè)微積分學(xué)的基礎(chǔ)，是高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念與核心內(nèi)容之一。在考研數(shù)學(xué)中，極限問題的分值大約是4～10分，而高數(shù)在考研數(shù)學(xué)的分值大約是84分，因此極限問題是不容忽視的一部分。通常，大家是利用一階等價(jià)無窮小解極限問題，然而，等價(jià)無窮小并不只有一階無窮小，如何獲取更多的等價(jià)無窮小并應(yīng)用到實(shí)例中是大家更想知道的。本文在第二部分給出了由泰勒公式得到的常見的高階無窮小及實(shí)例，并對(duì)此問題作了進(jìn)一步說明，希望對(duì)大家有所幫助。

一、 常見的等價(jià)無窮小

當(dāng)x→0時(shí)，有

a）1-cosx～x22b）ln（1+x）～x c）sinx～x， e）ex-1～x，f）n1+x-1=xn。

靈活地使用這些等價(jià)無窮小，我們可以快速地求解極限問題。

例1 （2016）已知函數(shù)f（x）滿足limx→01+f（x）sin2x-1e3x-1=2，則limx→0f（x）=

解：因?yàn)?/p>

limx→01+f（x）sin2x-1e3x-1=等價(jià)無窮小e，flimx→012f（x）sin2x3x=等價(jià)無窮小climx→0f（x）x3x=limx→0f（x）3=2

所以limx→0f（x）=6。

利用以上等價(jià)無窮小，可以處理一些相對(duì)簡單的極限問題，就limx→0sinx-tanxsin2x而言，直接做就會(huì)出錯(cuò)。一些書說加減不能用等價(jià)無窮小，只有乘除可以使用等價(jià)無窮小，這句話是正確的。若可以找到分子部分整體的等價(jià)無窮小，則這個(gè)問題就會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)槌顺龁栴}，就可以直接計(jì)算。下面本文將在第二部分給出高階等價(jià)無窮小，可以運(yùn)用它使一些加減式的問題轉(zhuǎn)化為乘除式的。

二、 泰勒公式及高階等價(jià)無窮小

（一） 泰勒公式

在各種試題中常用到以下泰勒公式。

ex=1+x+x22！+…+xnn！+ο（xn）；

sinx=x-x33！+x55！+…+（-1）m-1x2m-1（2m-1）！+ο（x2m）；

（二） 高階等價(jià)無窮小

通過移項(xiàng)可以把泰勒公式轉(zhuǎn)化為任意階的等價(jià)無窮小。如下：

當(dāng)x→0時(shí)，有

a）1-cosx-x22～x424 b）ln（1+x）-x～-x22 c）sinx-x～-x36 d）ex-1-x～x22

下面我們將運(yùn)用這些高階等價(jià)無窮小解歷年真題。

例2（2015）設(shè)函數(shù)f（x）=x+aln（1+x）+bxsinx，g（x）=c=kx3。若f（x）與g（x）在x→0時(shí)是等價(jià)無窮小，求a，b，k的值。

解：（法一）因?yàn)閘n（1+x）=x-x22+x33+ο（x3），sinx=x-x33！+ο（x3），則由

1=limx→0f（x）g（x）=limx→0x+aln（1+x）+bxsinxkx3

=taylorb，climx→0（1+a）x+（b-a2）x2+a3x3+ο（x3）kx3

得1+a=0

b-a2=0

a3k=1，所以有a=-1

b=-12

k=-13。

（法二）由已知可得：

1=limx→0f（x）g（x）=limx→0x+aln（1+x）+bxsinxkx3=洛必達(dá)limx→01+a1+x+bsinx+bxcosx3kx2

=limx→0x+b（1+x）sinx+bx（1+x）cosx3kx2（1+x）

=limx→0x+b（1+x）sinx+bx（1+x）cosx3kx2

=洛必達(dá)limx→01+bsinx+b（1+x）cosx+b（1+x）cosx+bxcosx-bx（1+x）sinx6kx

由limx→03kx2=0，limx→06kx=0可得

limx→0（1+a1+x+bsinx+bxcosx）=limx→0（1+a）=0，

limx→0[1+bsinx+2b（1+x）cosx+bxcosx-bx（1+x）sinx]=limx→0（1+2bcosx）=0

所以a=-1，b=-12；

代入a，b，得k=-13。

通過上面的例題及解法我們可以看出，高階等價(jià)無窮小運(yùn)算量較小，且計(jì)算方便；而其他的方法較為復(fù)雜，計(jì)算量較大。

三、 總結(jié)

等價(jià)無窮小在求解極限問題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用，但要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解。本文著重介紹了由泰勒公式獲取的高階等價(jià)無窮小并運(yùn)用它解決了一些相對(duì)復(fù)雜的極限問題。那么，如何獲取并使用高階等價(jià)無窮小是值得我們?nèi)パ芯浚妓鞯膯栴}。

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作者簡介：

王曉梅，楊曉春，遼寧省大連市，大連海事大學(xué)理學(xué)院。