有關實數完備性的進一步研究

摘 要：文章研究總結了實數完備性中的四個定理，并給出了它們之間的等價關系，再結合之前對其他基本定理的證明，可以得到實數完備性的定理是等價的，這對刻畫實數完備性具有一定的借鑒意義。

關鍵詞：完備性；等價刻畫；循環證明

一、 引言

實數具有很好的性質，它是完備的，聚點定理（致密性定理），區間套定理，柯西收斂準則，有限覆蓋定理，確界定理，單調有界定理，為實數完備性的六個基本定理。事實上，它們是等價的，結合之前的證明，本文給出了四個定理的證明方法，因而用循環證明的方法給出了六個定理之間的證明。

首先，簡單敘述本文提及的實數完備性基本定理：

（一） 柯西收斂準則

事實上，柯西收斂準則為數列an收斂的刻畫提供了理論依據：對任意給定的ε>0，如果有正整數N，當n，m>N時有|an-am|<ε。

（二） 確界原理

如果S為非空數集，它有上界，那么S一定有上確界；如果S有下界，那么S一定有下確界。

（三） 單調有界定理

單調有界數列（在實數系中）一定有極限。

（四） 區間套定理

假設an，bn為區間套，那么存在唯一的點ξ（為實數），滿足ξ∈an，bn，n=1，2…即an≤ξ≤bn，n=1，2，…

二、 實數完備性基本定理的等價性證明

結合之前的證明，本文只需按照下列順序給予剩下三個定理的證明：首先，本文以單調有界定理證明區間套定理，證明確界原理（采用柯西收斂準則），最后對單調有界定理進行證明（采用確界原理）。下面，給出證明的方法。

（一） 確界原理的證明（采用柯西收斂準則證明）

如果數集S是非空有上界的，又注意到實數具有阿基米德性，因此任意一個正整數n，都有對應的λn，它是S的上界，但λn-1n不是S的上界。因此存在α′∈S，使α′≥λn-1n，對每一個正整數m，λm為S的上界，故有λm≥α′，因而可得λn-λm<1n，同理λm-λn<1m，即|λm-λn|

因而，對任意的ε>0，存在N>0，使得當m，n>N時，有|λm-λn|<ε

由柯西收斂準則可得λn收斂，設收斂于λ，下證λ為S的上確界。

對任何α∈S和正整數n，有α<λn，可知λ是S的一個上界。又對任意的δ>0，1n→0（n→

SymboleB@ ），可得對充分大的n，1n<2δ，λn>λ-δ2，又λn-1n不是S的上界，故存在α′∈S，使得α′>λn-1n。因而可得，λ為S的上確界。

同理可得，假設S為一個非空有上界數集，那么它一定有下確界。

（二） 單調有界定理的證明（采用確界原理證明）

因為對單調遞增數列和單調遞減數列的證明原理相同，所以本文假設an為有上界的遞增數列。數列an 滿足確界原理，所以存在上確界，將它記為a=supan。下證a即是an的極限。注意到，任給ε>0，根據上確界的定義。數列an 中存在某一項aN，滿足a-ε

a-ε

另一方面，由于a是an 的上界，所以對任意a。都滿足an≤a

a-ε

這就證明了limn→

an=a。采用相似的方法我們可以證明，如果an 是有下界的數列，且單調遞減，那么它一定有極限，并且它的下確界就是極限。

（三） 區間套定理的證明（采用單調有界定理證明）

假設an，bn為區間套，下面證明存在唯一一點ξ（實數），使得ξ∈an，bn，n=1，2…即an≤ξ≤bn，n=1，2，…

顯然，an 單調遞增并且有界，滿足單調有界定理的條件，an有極限ξ，并成立

an≤ξ，n=1，2，…（1）

同理可以證明，若數列bn單調遞減并且有界，那么它存在極限，再根據區間套定理，有下式成立

limn→

結合在另一篇文章中的證明，本文用循環法證明了實數完備性的六個基本定理是等價的，六個基本定理從不同的角度刻畫了實數的性質，在實際應用的過程中，根據需要的結果來選擇基本定理可以簡化證明和計算。

作者簡介：

孫眉，浙江省金華市，浙江師范大學數理信息工程學院。