基于4MAT理論優化數學教學

摘 要：由麥卡錫博士的團隊創立的“4MAT理論”的核心是設計出一種遵循大腦運作的自然規律和學習科學本質的教學模式，使其適用于不同學習風格的學習者，實現因材施教的高質量教學。任何學習都要經歷“為什么——是什么——應怎樣——該是否”組成的學習循環圈。教師可以通過“創設情境——形成概念——探討新知——融會貫通”四個環節來完成教學。函數零點存在性定理是進一步理解函數性質的重要內容。下面以函數零點存在性定理的教學為例，嘗試基于4MAT理論探尋一種適合不同學習風格者的教學設計，以期發展學生的數學核心素養。

關鍵詞：4MAT；優化數學；“函數零點存在性定理”

一、 教學設計過程

（一） 創設情境，回答“為什么”問題

教學開始時，教師不直接講授新知，而是創設問題情境讓學生討論。

問題1 函數f（x）=lnx+2x-6是否有零點？

上節課學過“函數圖象與x軸有交點等價于函數有零點”，大部分學生會想到畫圖象，但又很難畫出函數圖象。教師追問：我們知道函數y=x2-2x-3存在零點，它的圖象有什么特征？

設計依據與意圖：根據4MAT理論，此環節關注學生的直接體驗。通過讓學生動手畫圖并觀察，激發其對新舊知識聯系的好奇心，使學生了解為什么學習新知。

（二） 形成概念，回答“是什么”問題

通過觀察圖象，讓學生嘗試將函數圖象的特征用數學語言表達出來。啟發學生將零點所在區間縮小，觀察小區間內的函數圖象。引導學生發現零點所在區間的端點函數值都是一正一負，得到猜想：若函數在區間[a，b]上，有f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）上有零點。這個猜想是否正確？

驗證猜想最好的方法是反例法，函數f（x）=1x在區間[-1，1]上有f（-1）·f（1）<0，但在（-1，1）上沒有零點。追問：反比例函數與二次函數有什么區別？在猜想中補充“圖象連續”，猜想是否成立？經過驗證，完善后的猜想正是本節課要學習的函數零點存在性定理。需要注意的是：函數在區間[a，b]上，f（a）·f（b）<0是函數有零點的充分不必要條件，例如，函數y=x2雖然存在零點，但并不滿足定理。

設計依據與意圖：根據4MAT理論，此環節關注學生的抽象感知和反思加工。學生觀察圖象，并嘗試用數學語言表達新知，可以發展學生的數學抽象素養。教師在講解新知的過程中，滲透從特殊到一般的數學思想，并保持與學生的互動，使學生逐漸形成概念。

（三） 探討新知，回答“應怎樣”問題

雖然學生不會繪制問題1中的函數圖象，但只需在其定義域（0，+∞）上找到一個閉區間，使區間端點的函數值異號，根據函數零點存在性定理可得出函數存在零點。

問題2 函數f（x）的圖象是連續曲線，根據下表判斷函數在區間[1，6]上有幾個零點？

x123456

f（x）228-610-4-11

由這個問題學生會發現零點存在性定理只能判斷函數在某個區間內存在零點，但不能判斷零點的個數，通過幾何畫板作圖，發現如果函數f（x）在區間上具有單調性，函數在此區間上存在唯一零點。也就是說，要在零點存在性定理的基礎上結合函數的性質，才能判斷出函數存在幾個零點。

設計依據與意圖：根據4MAT理論，此環節關注問題的解決。教師提出貼合學生知識基礎的問題，使學生在演練新知的同時進一步理解新知。

（四） 融會貫通，回答“該是否”問題

通過前三個環節，學生已經對新知有了自己的獨特理解。教師要給學生提供實踐和檢驗新知的機會。

問題3 函數f（x）=lnx+2x-6在區間（2，3）上有零點，如何找到這個零點？

利用幾何畫板作圖，發現函數在區間（2，3）內存在唯一零點。引導學生利用環節2中縮小區間的想法，嘗試將區間進一步縮小，遵循原則：將零點所在區間一分為二，使區間兩端點值逐漸逼近零點（利用二分法求解方程的近似解）。此時零點存在性定理不再是新知，它成為學習“二分法”的基礎，學習者開始將新知化為工具并用到新的學習中，正如學習循環圈所說，學習的最終結果是又回到了起點。

設計依據與意圖：根據4MAT理論，此環節關注挑戰和拓展。在學生掌握新知后，引導其拓寬視野，積極思考“假如……，那該會怎樣？”。具有挑戰性的應用可以使學生更好地掌握知識和創造性地應用知識。

二、 結論

本節課需要師生的高度配合，一方面為了更好地啟發引導，整節課以學生為主體，學生也要大膽表述自己的想法和質疑；另一方面教師要根據學生的能力水平和思維方式存在的差異，提出具有層次性的問題，不斷滲透數形結合以及從特殊到一般等數學思想，力求發展學生的數學抽象等核心素養。

參考文獻：

[1]陳彩虹，莊承婷，譯，[美]伯尼斯·麥卡錫，丹尼斯·麥卡錫.自然學習設計：面向不同學習風格者差異施教[M].福州：福建教育出版社，2012.

[2]章建躍.“方程的根與函數的零點”的教學[J].中國數學教育，2012：16-18.

作者簡介：

崔加奇，廣西壯族自治區桂林市，廣西師范大學。