基于OWA算子的三角模糊數多屬性組合決策方法

林友諒，李 武，秦小麗

（1.湖南理工學院a.經濟與管理學院；b.信息科學與工程學院，湖南 岳陽 414006；2.宿遷學院 商學院，江蘇 宿遷 223800）

0 引言

對于給出信息為三角模糊數的多屬性決策問題，學者們依據不同的假設提出了很多研究方法[1-6]。受運作機理差異影響，不同決策方法可能導致差異性的結果。由于決策過程外部條件和自身知識水平制約，決策者通常難于選擇恰當的決策方法，因此，為提高決策的準確性，利用文獻[7]提出的“組合”思想進行決策非常重要。“組合”研究可分為基于評價值[8,9]和基于評價序[10]的研究，一般認為，評價值較序值有更大的信息量，因而較多學者利用評價值進行“組合”研究，而運用評價序進行“組合”研究的文獻相對較少。對于三角模糊數決策問題，因為去模糊化方法或者決策原理的差異，各種方法得出的評價值會有較大差異甚至不具有可比性，從而更需要研究基于評價序的組合評價方法。現有關于序數組合決策的研究方法主要有序號總和法、均值法、borda法、copeland法等，尚未見文獻利用有序加權平均(OWA)算子[11]研究組合評價或組合決策問題。而OWA算子關注決策過程中集結位置的重要性[1,2,12,13]，可集結各類決策信息，已被廣泛應用于決策分析、模糊系統等領域，在信息集成方面有其特有優勢,應該可以利用OWA算子來研究組合決策問題。OWA算子應用的關鍵問題在于如何確定位置的權重，對于組合研究問題，適宜采用“基于離散正態分布思想”[13]的賦權方法，而新的賦權公式的提出也很有意義。

基于此，本文提出兩種新的賦權公式，并基于OWA算子研究組合決策方法,利用多種決策方法對多屬性決策問題進行初次求解,然后對決策序值利用OWA算子進行集結，進而確定方案最終排序，為解決屬性值為三角模糊數的多屬性決策問題提供一種新的思路。

1 問題描述

對于一個三角模糊數多屬性決策問題,設有m個方案，A={A1,A2,…,Am}，n個決策屬性，C={C1,C2,…,Cn}，屬性權重ω={ω1,ω2,…,ωn}，滿足ωj∈ [0,1]，且記第i個方案Ai對第j個屬性Cj的屬性值為aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，[m×n為屬性矩陣，其中aij為三角模糊數。決策者有l種可選的決策方法,L={L1,L2,…,Ll}，需要求出所有備選方案的最終排序結果。

2 基于OWA算子的序數組合決策方法

2.1 決策階段

如表1所示，以上問題的解決可分三個階段，去模糊化，多屬性決策，結果組合。

表1 三角模糊數多屬性組合決策過程

幾何距離法也是常用的方法，有：

梯級平均綜合表示法去模糊化后的值：

多屬性決策：該階段利用屬性權重與屬性評價值集結出各方案的綜合值。主要有加權和法（SAW），加權積法（WP）和TOPSIS法等多種決策方法。對于效益性指標,設屬性權重為ω={ω1,ω2,…,ωn}，屬性評價值為rij,則多屬性方法計算如下。

加權和法計算方法如式（4）,其原理是先將屬性權重與屬性評價值分別相乘,再求和匯總得出綜合值Vi,Vi越大,方案 Ai越優。

加權積法計算方法如式（5）所示，其原理是先對屬性值按屬性權重求冪,再求積得出綜合值Vi，Vi越大，方案Ai越優。

TOPSIS法先按式（6）分別確定正、負理想解,再按式（7）求出方案 Ai與理想解的距離和ˉ,再按式（8）計算出綜合值Vi。Vi越大,方案Ai越優。

組合決策階段：前面兩個階段選擇的方法不同，可能產生不同的排序結果，該階段將各種方法的排序結果進行組合，基于OWA算子，確定方案最終排序。

2.2 OWA算子

定義1[1-3]：設f:Rn→R 為n元函數,若 f(a1，a2，...，an)=，其中bj是a1,a2,…,an中按從大到小的順序排列的第j個大的數，W=(w1,w2,…,wn)T是與f關聯的加權向，則稱函數f是n維有序加權平均算子，簡記為OWA算子。

OWA算子的特點在于需對數據ai從大到小排序再進行加權集結，權重wj只與元素ai所在的位置存在聯系。當W=(1,0,…,0)T時，OWA算子簡化為max算子；W=(0,0,…,1)T時，OWA算子簡化為min算子；當W=(1/n,1/n,…,1/n)T時，OWA算子簡化為簡單算術平均算子。當W=(0,1/(n-2),1/(n-2),…,1/(n-2),1/(n-2),0)T時，OWA算子簡化為剔除極值的算術平均算子。賦權規則的多樣化使得OWA算子具有廣泛性，文獻[13]對已有的OWA算子的賦權方法進行綜述，并從正態分布特征出發提出“基于離散正態分布思想”的新的賦權方法。

受文獻[13]的啟發，本文給出兩種新穎的賦權的方法，分別如式（9）和式（10）：

易證明基于式（9）和式（10）賦權的OWA算子具有對稱性且服從離散正態分布，基于式（9）賦權的OWA算子的權重先遞增，然后遞減，而基于式（10）賦權的OWA算子的權重先遞減，然后遞增。證明略。

決策過程可能存在某些特有決策方法使得其排序結果不同于其他方法。由于這些特有方法的差異性，組合決策過程若決策者有盡量減弱特有方法影響的偏好，可以選擇基于式（9）賦權的OWA算子對各方法的排序結果進行組合。若決策者有盡量加強特有方法影響的偏好，即更希望了解特有方法所造成的影響，可以選擇基于式（10）賦權的OWA算子。

2.3 決策方法步驟

由于不同方法可能得出差異結果，在決策具體應用中，決策者應對多種方法的結果進行組合，以三種去模糊化方法和三種多屬性方法進行組合決策為例，決策方法步驟如下：

第一步：獲得屬性的權重ω，以及各屬性下的評價值矩陣Rj。

第二步：先將屬性權重和評價值分別采用面心法、幾何距離法、梯級平均綜合表示法去模糊化處理，然后利用屬性權重和評價值分別采用加權和法、加權積法、TOPSIS法集結出各方案的綜合評價值。

第三步：將各方法的綜合評價值轉化為序數。

第四步：對各方法的評價序采用OWA算子進行集結。先對每個備選方案的序數進行大小比較，再根據決策者的偏好選擇本文提出的基于式（9）賦權的OWA算子或基于式（10）賦權的OWA算子進行信息集結，最后對集結值進行排序，確定方案的最終排序。

3 實例分析

為更好的闡述本文方法及驗證有效性，采用文獻[5]的算例進行計算，比較和分析，按文獻[7]方法的規范化結果見下頁表2。假設屬性重要性權重為w=(0.169,0.165,0.164,0.167,0.164,0.171)T。

步驟1：獲得如上屬性權重和表2的評價值。

步驟2：采用不同的決策方法確定各方案的綜合評價值，表3（見下頁）第一行為去模糊化方法，第二行為多屬性決策方法，采用COA+SAW計算出方案的評價值分別為2.018，2.036，1.991，1.970，1.999。

表2 規范化決策矩陣×(10-1)

步驟3：將表3各方法的綜合評價值轉化為序數。表3中方法依序與表4的方法對應，表3的COA+SAW對應表4中的法1。

表3 各方法下的方案綜合評價值

表4 各方法下的序數

步驟4：n=9,利用式（9）可以計算出權重系數為(0.055,0.097,0.127,0.145,0.152,0.145.0.127,0.097,0.055),用OWA算子求出方案綜合值(2,1,3.72,5,3.28),方案排序 X2＞X1＞ X5＞X3＞X4。利用式（10）可以計算出權重系數為(0.196,0.110,0.084,0.073,0.070,0.073,0.084,0.110,0.196),用OWA算子求出方案綜合值(2,1,3.61,5,3.39),方案排序仍為 X2＞X1＞ X5＞X3＞ X4。

如表4所示，本文采用基于式（9）和式（10）賦權OWA算子的組合結果與文[12]的均值法的結果相同,說明本文方法有效。但是，若考慮屬性權重的不確定，可選擇的方法可能更多，對于文[12]指出的序數為{1,3,3,6}和{1,2,5,5}或其他類似的數，它們均值相等，方差相等，按以前的均值法無法區分出方案的差異，而采用基于式（9）的OWA算子，則可以計算出應賦權(0.2,0.3,0.3,0.2)，OWA式(9){1,3,3,6}=3.2,OWA式(9){1,2,5,5}=3.3；若采用基于式（10）的OWA算子，OWA式(10){1,3,3,6}=3.3,OWA式(10){1,2,5,5}=3.2。根據決策者的偏好采用本文方法即可區分方案的優劣，這也說明本文方法的可行性和有效性。

4 結論

本文對屬性值以三角模糊數形式給出的多屬性決策問題進行研究，考慮三角模糊數去模糊化和多屬性決策都有多種方法，而決策者又無法選擇合適方法的情況，提出一種基于OWA算子的組合決策方法。本文提出的方法一方面綜合多種決策方法的意見，可以較好地避免決策方法選擇有誤的問題；另一方面按離散正態分布思想提出OWA算子的兩種新的賦權方法,決策者根據自己的偏好選擇合適的賦權方法,再對各方法排序結果進行組合,既符合實際，又豐富了OWA算子。當然，該方法算法簡單，也只從是增強還是減弱特有方法影響的角度對決策問題進行分析，對于組合決策問題及決策者的偏好特征的差異，仍值得深入探討。