噪聲對一種三粒子量子探針態的影響?

趙軍龍 張譯丹 楊名

(安徽大學物理與材料科學學院,合肥 230601)

(2018年1月5日收到;2018年3月26日收到修改稿)

量子度量學是研究量子測量與統計推斷的一門學科,主要利用量子手段來提高參數估計的精度,在量子信息處理與測量中起到關鍵作用.量子參數估計的一般過程包含四個步驟:探針態的制備、參數化過程、對參數化后的輸出態進行測量以及根據測量結果估計待測參數.其中探針態的選取對測量精度起著至關重要的作用.然而在實際的量子探針態的制備過程中,初始探針態會受到環境噪聲的影響.目前人們已經研究了W態與Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)態的量子Fisher信息(QFI)在典型噪聲通道下的變化行為.由于W態與GHZ態有著不同的糾纏性質,對于W態與GHZ態的疊加態的QFI動力學研究具有重要的實際意義.故此,本文主要研究典型噪聲通道對這兩種狀態的疊加態的QFI動力學行為的影響,得出了QFI隨噪聲參數的變化行為.結果表明,疊加態中W態組分可明顯對抗相位阻尼噪聲對探針態的QFI的影響,而其中的GHZ態組分可明顯對抗振幅阻尼噪聲的影響,從而為在實際環境中選取高精度的參數估計過程提供參考.

1 引 言

量子度量學是關于量子參數估計的一門學科,主要利用量子手段進行高分辨率與高敏感度測量[1].在傳統的參數估計中,可以達到的測量精度受到散粒噪聲極限的限制,為了進一步提高參數估計的精度,需要引入量子技術,也就是利用粒子的量子性質來提高參數估計的精度.常見的量子特性包括量子自旋壓縮[2],量子糾纏[3,4],量子態純度[5]和量子失諧[6]等.

一般的參數估計過程包括四個步驟:探針態的制備、參數化過程、對參數化后的輸出態進行測量以及根據測量結果估計待測參數.針對上述四個步驟,Giovannetti等[7]進行了研究并得出結論:探針態的量子性質可以明顯提高參數估計的精度,而在測量端采用量子手段并不能明顯提高參數估計的精度.也就是說,對于參數估計精度的大小,探針態的性質起到決定性的作用.

雖然同一個探針態在不同的參數化過程中對參數的敏感度不同,但是Hyllus等[3]提出了不依賴于具體參數化過程的最大量子Fisher信息的概念,定義了自旋參數化過程對于自旋角度θ的敏感度,并遍歷所有可能的參數化過程(自旋方向),使得探針態的量子Fisher信息(QFI)取最大值,即將自旋角度敏感性最大的方向上的Fisher信息作為探針態的QFI[8?11].當一個N粒子量子態作為探針態時,如果各粒子之間都是獨立的,即沒有糾纏,此時可達到的最大QFI為N,此極限稱為散粒噪聲極限.如果這N個粒子處于理想的最大糾纏態,則最大QFI可以達到N2,此極限稱為Heisenberg極限[7,12].當環境噪聲的影響考慮在內時,人們研究了量子增強的度量極限以及達到該極限的條件[13,14].更進一步的研究表明,在非線性參數化過程中還可以突破Heisenberg極限[15],這里不做研究.

由于多粒子糾纏結構的復雜性,多粒子態通常可以分為多個不能通過局域操作和經典通信進行互相轉換的類別,如Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)態[16],W態[17]和Cluster態[18]等.由于W態與GHZ態具有不同的糾纏性質,在典型的噪聲通道下研究W態與GHZ態度量學性質的演化規律具有非常重要的現實意義.目前,人們已經研究了噪聲對GHZ態[19]和W態[8]的量子度量學功能的影響,以及W態與GHZ態的疊加態中的疊加系數對QFI的影響[20?22].但W態與GHZ態的疊加態以及統計混合態的量子度量學功能(QFI)是否會受到噪聲的影響尚未可知,雖然有人研究了W態與GHZ態的相干疊加態的度量學功能對不同噪聲的免疫能力[23,24],但是并沒有給出這種現象的物理原因.故此,本文主要聚焦噪聲對三粒子W態與GHZ態的相干疊加態的QFI的影響,并尋找產生這種現象的物理根源,結果表明:疊加態中W態組分可明顯對抗相位阻尼噪聲對探針態的QFI的影響,而其中的GHZ態組分可明顯對抗振幅阻尼噪聲,從而為在實際環境中選取高精度的參數估計過程提供參考.

2 量子Fisher信息

假設待估計的參數為系統中某一變量 θ,則θ的估計精度極限可由量子Cramér-Rao不等式決定[25,26]:

其中Nm為實驗重復次數;F為量子Fisher信息,其數值越大,測量精度越高;?代表θ的標準差.量子Fisher信息是經典Fisher信息在量子領域的自然拓展[27],表征量子態對參數的敏感度,其定義為[25,26,28]

其中ρθ表示含有未知參數的參數化量子態,L為對稱對數導數(SLD)算符,

考慮一個自旋系統,ρθ表示由初始量子態繞某一自旋方向J旋轉θ角n度所得狀態,此時自旋系統的量子Fisher信息為[8,9,29]

在(4)式中選取Jn=nxJx+nyJy+nzJz,n=(nx,ny,nz),分別代表繞x軸,y軸,z軸旋轉的自旋Hamilton量.為了尋找使F最大的n,可構建一個矩陣C,其矩陣元定義為

當ρ為純態時,(6)式可以簡化為

上述F(ρ,Jn)表示探針態ρ繞自旋n方向旋轉過程中,對旋轉角度θ的敏感度.很顯然QFI依賴于旋轉軸的方向n,故遍歷所有可能的旋轉方向可以得到探針態ρ的最大QFI[3,8,9]:

其中λmax是矩陣C的最大本征值.

下面主要利用W態與GHZ態疊加態的最大量子Fisher信息(Fmax)的動力學行為來研究噪聲對該疊加態的量子度量學功能的影響.

3 W態與GHZ態的疊加態在噪聲通道下的QFI動力學

3.1 W態與GHZ態相干疊加態的最大QFI

在自旋系統中,GHZ態與W態的最大QFI分別為N2與3N?2[8,27],則相應的三粒子系統QFI,分別為9和7.如果制備一個GHZ態與W態的相干疊加態,其QFI將會是怎樣的呢？設該相干疊加態的形式如下[32]:

其中

根據(6)式—(8)式可計算出該狀態的Fmax隨著α的變化情況,如圖1所示.

圖1 W態與GHZ態的相干疊加態的QFI隨著疊加系數α的變化Fig.1.The QFI of superposition of W state and GHZ state as a function of α.

通過上面的研究可以得出:W態與GHZ態進行相干疊加時,最大QFI隨著疊加系數的減小而從GHZ態的Fmax最終減小到W態的Fmax,但減小過程不是預想中的單調過程,而是一個非單調過程.說明兩個糾纏特性不同的多粒子糾纏態的疊加可以使該量子系統狀態的糾纏特性更加豐富,進而使其量子度量學特性更加豐富.

3.2 三粒子W態與GHZ態的疊加態在噪聲通道下的QFI動力學

環境噪聲對量子態的影響有多種形式,這里選取三種典型的噪聲作為研究對象:退極化、振幅阻尼與相位阻尼.首先討論退極化噪聲對該疊加態度量學功能的影響.

對于qubit系統,退極化通道的Kraus算子為:

由(11)式可以計算得到該疊加態的QFI隨退極化系數p的變化,如圖2所示.

圖2 在退極化通道下W態與GHZ態的相干疊加態的最大QFI動力學Fig.2.Dynamics of QFI for the superposition of W state and GHZ state under depolarization damping channels.

從圖2可以看出,在退極化通道下,隨著退極化過程的演進,該疊加態的Fmax呈現出減小的趨勢,最后趨于零.其物理原因不難理解,即在退極化噪聲通道中,隨著消相干過程的推進,量子態的純度不斷降低,QFI也隨之降低,最后達到最大混合態的QFI,即為零.

對于qubit系統,振幅阻尼通道的Kraus算子為

其中p=1?s,s=exp(?γ1t/2),γ1稱為阻尼率.

當p=1時,噪聲演化后的終態為

即為分離態.W態與GHZ態的相干疊加態在振幅阻尼通道下的最大QFI動力學行為如圖3所示.

圖3 W態與GHZ態的相干疊加態在振幅阻尼通道下的最大QFI動力學Fig.3.The dynamics of QFI for the superposition of W state and GHZ state under amplitude damping channels.

從圖3可以看出,在振幅阻尼通道下,隨著衰減的演進,QFI呈現出先減小到最小(但不為零),然后增加到3,也就是散粒噪聲極限.這里,該疊加態的最大QFI并不是隨著振幅阻尼最終衰減到零,而是最終達到散粒噪聲極限.出現該反常QFI動力學行為的物理根源在于:振幅衰減會使得該純的疊加態演化為混合糾纏態,而混合態的QFI可以低于散粒噪聲極限;隨著振幅衰減的演進,量子系統將損失掉所有能量,最終處于穩定基態上,即純的三粒子直積態.而三粒子直積態的QFI即為散粒噪聲極限3.另外,從圖中可以看出,疊加參數α越小,振幅阻尼衰減對該疊加態的QFI影響越小,即從量子度量學角度來說,GHZ態組分比W態組分具有更好的抗振幅阻尼噪聲效果.

對于qubit系統,相位阻尼通道的Kraus算子為:

當p=1時,

W態與GHZ態的相干疊加態在相位阻尼通道下的最大QFI動力學行為如圖4所示.從圖4中可以看出,在相位阻尼通道下,隨著消相干的演進,相干疊加態的Fmax呈現出下降趨勢,但最終趨于一個穩定的非零值.由(17)式可以看出,系統最終將演化為一個混合糾纏態,而不是糾纏為零的最大混合態,故最終的QFI穩定值非零.另外,從圖中可以看出,疊加參數α越小,相位阻尼衰減對該疊加態的QFI影響越大,即從量子度量學角度來說,W態組分比GHZ態組分具有更好的抗相位阻尼噪聲效果.

圖4 W態與GHZ態的相干疊加態在相位阻尼通道下的最大QFI動力學Fig.4.The dynamics of QFI for the superposition of W state and GHZ state under phase damping channels.

3.3 多粒子W態與GHZ態的疊加態在噪聲通道下的QFI動力學

3.2節研究了三粒子W態與GHZ態的疊加態在噪聲通道下的QFI動力學,結果表明:從量子度量學角度來說,W態組分比GHZ態組分具有更好的抗相位阻尼噪聲效果,而GHZ態組分比W態組分具有更好的抗振幅阻尼噪聲效果.但隨著粒子數的增多該結論是否依然成立尚未可知,故此選取粒子數為5的情況進行進一步研究,即

其中

(18)式中的量子態在振幅阻尼噪聲通道((12)式)與相位阻尼噪聲通道((15)式)下的最大QFI動力學行為分別如圖5(振幅阻尼)和圖6(相位阻尼)所示.

圖5 五粒子W態與GHZ態的相干疊加態在振幅阻尼通道下的最大QFI動力學Fig.5. Dynamics of QFI for the superposition of 5-particle W state and GHZ state under amplitude damping channels.

圖6 五粒子W態與GHZ態的相干疊加態在相位阻尼通道下的最大QFI動力學Fig.6. Dynamics of QFI for the superposition of 5-particle W state and GHZ state under phase damping channels.

通過圖5與圖6可以看出,從量子度量學角度來說,五粒子W態與GHZ態的相干疊加態中的W態組分比GHZ態組分具有更好的抗相位阻尼噪聲效果,而GHZ態組分比W態組分具有更好的抗振幅阻尼噪聲效果,即與三粒子系統中所得到的結論相同.

4 討 論

本文主要研究W態與GHZ態的相干疊加態的最大QFI隨噪聲的演化情況.由于這里重點討論量子參數估計過程中的第一個步驟,即探針態的制備,所以對參數估計過程的其他三個步驟進行了約定,即所有的探針態都經歷相同的參數化、測量以及估計過程.本文中選取自旋量子系統為研究對象,并選取系統的Hamiltonian量(即自旋的旋轉方向)使得探針態的QFI達到最大值.這里選用最大QFI來刻畫探針態的度量學功能主要基于以下兩點考慮:1)本文的討論重點是量子參數估計過程中的第一個步驟,即探針態的制備,故其他三個步驟必須進行約定;2)QFI可以衡量測量的理論精確程度,QFI越大,理論上的精確度越高.雖然在實際測量中由于各種原因無法達到理論上的精度極限,但理論精度是實際測量努力的方向,有了明確的理論精度,就可以千方百計提高實際的測量精度,使其不斷接近理論上的測量精度極限,這也正是對理論測量精度極限進行研究的意義所在.

同時,本文選取的三個噪聲通道也是常見的噪聲過程,即退極化、振幅阻尼與相位阻尼.這三個典型噪聲通道的演化規律具有代表性,且都有明確的Kraus算子表示.

本文中的結果以函數圖像的形式展示,便于對QFI的變化趨勢進行分析;同時,選取了不同疊加系數的相干疊加態進行研究,防止因所選取的疊加系數特殊而得不到普遍的規律.另外,由于噪聲通道對量子態的影響是一個漸進行為,只有當時間趨于無窮大時才會有穩定的結果,為了克服做圖中出現的時間無限大問題,選取隨著時間趨向無窮大而無限接近于1的參量p來替代時間參量.

5 結 論

本文主要研究噪聲對多粒子探針態的度量學功能QFI的影響,給出了W態與GHZ態相干疊加態在三種不同噪聲通道下的最大QFI的動力學行為.結果表明,最大QFI在退極化通道下隨著消相干的演進而衰減,最后減小為零;在振幅阻尼通道下隨著消相干的演進,最大QFI先衰減到最小,然后再增加到散粒噪聲極限;在相位阻尼通道下,與退極化通道相似,最大QFI也隨著消相干的演進而衰減,但是最終穩定值不為零.通過對比發現,噪聲對該疊加態的度量學功能的影響并不只是單純地使QFI減小,而是在不同的噪聲影響下呈現出不同的動力學行為.從量子度量學角度來說,W態組分比GHZ態組分具有更好的抗相位阻尼噪聲效果,而GHZ態組分比W態組分具有更好的抗振幅阻尼噪聲效果,從而為在實際環境中選取高精度的參數估計過程提供參考.