高對(duì)比度目標(biāo)的電磁逆散射超分辨成像?

范啟蒙 尹成友

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院,脈沖功率激光國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,合肥 230037)

(2018年2月2日收到;2018年3月15日收到修改稿)

提出了一種適用于高對(duì)比度目標(biāo)的超分辨成像方法,通過(guò)結(jié)合對(duì)比度源反演方法與基于軌道角動(dòng)量的超分辨技術(shù),實(shí)現(xiàn)對(duì)高對(duì)比度目標(biāo)的超分辨成像.首先采用基于軌道角動(dòng)量的成像方法求解出對(duì)比度函數(shù),將其作為對(duì)比度源反演方法的迭代初值,雖然初值結(jié)果與實(shí)際目標(biāo)相差較大,但是由于初值中已經(jīng)包含了關(guān)于目標(biāo)的倏逝波信息,再利用這個(gè)初值開(kāi)始迭代便可以得到超分辨重建結(jié)果,這種方法具有一定的抗噪聲能力.本文研究表明,為了實(shí)現(xiàn)超分辨成像,一方面需要將目標(biāo)對(duì)應(yīng)的倏逝波信息轉(zhuǎn)化到測(cè)量數(shù)據(jù)中,另一方面還要保證成像算法能夠充分利用這些信息.本文所引申出的關(guān)于超分辨信息的概念對(duì)于逆散射超分辨成像的研究具有一定的借鑒意義.

1 引 言

逆散射模型的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛,如無(wú)損探傷、地物探測(cè)、遙感、醫(yī)學(xué)成像等.在逆散射問(wèn)題中,利用已知的入射場(chǎng)照射目標(biāo)區(qū)域,結(jié)合散射場(chǎng)數(shù)據(jù)對(duì)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行重建.逆散射屬于逆問(wèn)題的一種,逆問(wèn)題固有的非適定性給問(wèn)題求解帶來(lái)了極大困難[1].傳統(tǒng)雷達(dá)成像的一般化數(shù)學(xué)模型也屬于逆問(wèn)題[2],在雷達(dá)成像領(lǐng)域常采用反射系數(shù)描述目標(biāo),建立線性逆問(wèn)題模型,最后僅能獲得二維平面圖像,屬于定性成像范疇;而在醫(yī)學(xué)成像及其他一些領(lǐng)域,需要掌握目標(biāo)的介電常數(shù)、電導(dǎo)率等特性參量[3,4],屬于定量成像范疇,此時(shí)需要考慮目標(biāo)內(nèi)部的電磁相互作用,問(wèn)題模型通常由狀態(tài)方程和數(shù)據(jù)方程描述,兩個(gè)方程互相耦合帶來(lái)的非線性給問(wèn)題求解造成了更大困難.

求解非線性逆散射問(wèn)題主要有兩類(lèi)方法,一類(lèi)是將非線性問(wèn)題線性化,這種模型只適用于弱散射物體,不能計(jì)算高對(duì)比度目標(biāo),傳統(tǒng)的玻恩近似[5](Born approximation,BA)是一種典型的線性化方法,此外,玻恩迭代方法(Born iterative method,BIM)采用迭代策略進(jìn)一步擴(kuò)大了BA方法的適用范圍[6];另一類(lèi)方法是看作優(yōu)化問(wèn)題處理,常用的非線性優(yōu)化方法有修正梯度方法[7](modified gradient method,MGM)、對(duì)比度源反演(contrast source inversion,CSI)方法[8]等.其中,CSI方法因其簡(jiǎn)潔高效得到了廣泛應(yīng)用并衍生出了其他相關(guān)算法[9,10].非線性方法理論上可以求解高對(duì)比度目標(biāo),但相比于線性化方法,此類(lèi)方法迭代時(shí)間長(zhǎng),算法流程相對(duì)復(fù)雜,并且需要合理選擇迭代初值,融入先驗(yàn)信息也比較困難.通常情況下,為了獲得更好的重建效果還需要加入正則化項(xiàng).最近,利用目標(biāo)的稀疏先驗(yàn)信息結(jié)合壓縮感知(compressive sensing,CS)理論的稀疏正則化方法為求解逆散射問(wèn)題提供了新的思路[11,12].

分辨率是衡量重建質(zhì)量的重要指標(biāo),由于電磁波的衍射特性,實(shí)際能夠達(dá)到的分辨率受衍射極限的約束,如果能夠突破衍射極限就是超分辨,關(guān)于突破電磁衍射極限的研究最近得到了廣泛關(guān)注[13,14].為了實(shí)現(xiàn)超分辨,需要獲取目標(biāo)的倏逝波信息,這些信息可以通過(guò)近場(chǎng)測(cè)量得到[15,16],但這種方法對(duì)于實(shí)際逆散射問(wèn)題并不現(xiàn)實(shí),因此,利用遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)超分辨引起了學(xué)者們廣泛的研究興趣[17?19].事實(shí)上,只要在算法中融入了倏逝波信息,即使利用遠(yuǎn)場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)依然能夠?qū)崿F(xiàn)超分辨[20],因此非線性方法自然地具有一定的超分辨能力.根據(jù)電磁場(chǎng)理論,遠(yuǎn)場(chǎng)只能測(cè)量傳輸波,而超分辨信息蘊(yùn)含在倏逝波中,之所以能夠利用傳輸波實(shí)現(xiàn)超分辨成像,是因?yàn)槌?jí)振蕩理論[21?23]指出對(duì)于一個(gè)帶限信號(hào),在足夠小的范圍內(nèi)可以存在任意高頻的振蕩,這為傳輸波中包含倏逝波信息提供了理論支撐.最近,軌道角動(dòng)量理論[24,25](orbital angular momentum,OAM)被用于成像領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)超分辨,但僅限于雷達(dá)成像[26,27]或者低對(duì)比度的電磁逆散射成像問(wèn)題[28],對(duì)于高對(duì)比度目標(biāo)的超分辨成像問(wèn)題尚沒(méi)有相關(guān)研究.

本文針對(duì)高對(duì)比度目標(biāo)的超分辨成像問(wèn)題開(kāi)展研究,通過(guò)融合CSI方法與OAM超分辨技術(shù)提出了一種新的超分辨成像方法.首先利用軌道角動(dòng)量衍射層析成像[28](orbital-angular-momentumdiffraction-tomography,OAM-DT)方法得到包含超分辨信息的對(duì)比度函數(shù)初值,再基于這個(gè)初值開(kāi)始CSI迭代,實(shí)現(xiàn)了高對(duì)比度目標(biāo)的超分辨成像,重建結(jié)果的分辨率要優(yōu)于CSI方法的分辨率,此外還彌補(bǔ)了OAM-DT算法只能用于低對(duì)比度目標(biāo)的不足.

2 逆散射模型

二維逆散射問(wèn)題的幾何模型如圖1所示,D表示成像區(qū)域,由目標(biāo)與背景媒質(zhì)組成,整個(gè)成像區(qū)域的對(duì)比度函數(shù)未知,背景媒質(zhì)可能是自由空間,也可能是其他成分.發(fā)射天線與接收天線按一定規(guī)律分布在成像區(qū)域周?chē)膱A環(huán)Γ上,在圖1中黑色實(shí)心圓既代表發(fā)射天線,又代表接收天線.人工設(shè)置激勵(lì)源照射成像區(qū)域,利用接收點(diǎn)測(cè)量得到的散射場(chǎng)數(shù)據(jù)對(duì)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行重建.設(shè)電磁場(chǎng)的時(shí)諧因子為exp(jωt),對(duì)于線源照射或TM平面波照射的情況,電場(chǎng)所滿足的波動(dòng)方程可以表示為

其中 Ez表示z向電場(chǎng),Jz表示z向電流密度,ω表示工作角頻率,表示真空中的波數(shù),μ0,ε0分別表示真空中的磁導(dǎo)率和介電常數(shù).本文研究二維標(biāo)量問(wèn)題,為簡(jiǎn)便起見(jiàn),在下文的表示中省去下標(biāo)“z”.(1)式可以轉(zhuǎn)化成積分方程

通常將(2)式與(4)式分別稱作狀態(tài)方程與數(shù)據(jù)方程.為了方便表述,將(2)式與(4)式寫(xiě)成算子形式:

算子GD是成像域D到D的映射,算子GΓ是成像域D到測(cè)量域Γ的映射.通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn),狀態(tài)方程與數(shù)據(jù)方程互相耦合表現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性,這給逆散射問(wèn)題的求解帶來(lái)了很大困難.

目標(biāo)重建結(jié)果的分辨率與測(cè)量數(shù)據(jù)所包含的譜信息有關(guān),對(duì)于二維問(wèn)題,如果測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)維度的譜范圍是kx∈[?kxm,kxm],ky∈[?kym,kym],則在空域兩個(gè)維度上所能達(dá)到的分辨率為

圖1 二維逆散射模型Fig.1.Geometry configuration of 2-dimensional(2D)inverse scattering problem.

進(jìn)行遠(yuǎn)場(chǎng)測(cè)量時(shí),由于不能得到目標(biāo)的倏逝波信息,測(cè)量數(shù)據(jù)的譜范圍限定在[?k0,k0],對(duì)應(yīng)所能達(dá)到的分辨率就是Rayleigh極限,為了實(shí)現(xiàn)更高的分辨率,就需要拓展測(cè)量數(shù)據(jù)的譜范圍.觀察(4)式發(fā)現(xiàn),散射場(chǎng)Es是χ與格林函數(shù)G0和總場(chǎng)E復(fù)雜作用的結(jié)果,為了將χ更多的譜信息轉(zhuǎn)化到Es中,一方面可以通過(guò)改變測(cè)量場(chǎng)景來(lái)修正格林函數(shù),這就是復(fù)雜信道的超分辨機(jī)理[29];另一方面,如果在計(jì)算散射體內(nèi)部總場(chǎng)時(shí)不做近似,就會(huì)自然地考慮目標(biāo)內(nèi)部或相鄰目標(biāo)之間的電磁相互作用,從而在算法中融入了倏逝波信息,所以非線性成像方法都具有一定的超分辨能力,或者在BA條件下通過(guò)設(shè)計(jì)入射場(chǎng)將倏逝波信息轉(zhuǎn)化到傳輸波內(nèi),從而實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)場(chǎng)超分辨成像,基于OAM的超分辨算法便是這種思想.

3 OAM-CSI超分辨算法

利用隱含超級(jí)振蕩的OAM入射場(chǎng)可以實(shí)現(xiàn)超分辨成像,但目前只應(yīng)用于弱散射目標(biāo);非線性方法除了可以處理高對(duì)比度目標(biāo)外,由于考慮了目標(biāo)內(nèi)部的相互耦合,自然地具有一定超分辨能力.下面結(jié)合CSI方法與OAM入射場(chǎng),實(shí)現(xiàn)對(duì)高對(duì)比度目標(biāo)的超分辨成像,重建結(jié)果的分辨率要優(yōu)于CSI方法.

3.1 OAM電磁波的產(chǎn)生方法

在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)理論中,電磁波不僅攜帶線性動(dòng)量,還攜帶角動(dòng)量.角動(dòng)量可以分為旋轉(zhuǎn)角動(dòng)量(spin angular momentum,SAM)和軌道角動(dòng)量.在射頻領(lǐng)域,可以采用不同的方法產(chǎn)生攜帶OAM的電磁波[30,31],但通常都是在三維場(chǎng)景下,本文采用均勻圓環(huán)陣產(chǎn)生二維OAM電磁波,如圖1所示,N個(gè)線源在圓環(huán)Γ上等間距分布,令相鄰線源之間的相位差為δφ=2πl(wèi)/N,其中l(wèi)為拓?fù)潆姾蓴?shù),一般又稱作模式數(shù),此時(shí)入射場(chǎng)是多個(gè)柱面波的疊加

其中?表示極坐標(biāo)中的方位角,ρn,φn分別表示第n個(gè)線源的位置與調(diào)制相位.本文采用的均勻圓環(huán)陣由30個(gè)線源組成,圓環(huán)陣以原點(diǎn)為圓心,半徑為3λ.圖2給出了l=3,5,7時(shí)OAM電磁波的幅度分布與相位分布,可以發(fā)現(xiàn) OAM電磁波的幅度分布呈現(xiàn)出“甜甜圈”結(jié)構(gòu),并且能量空洞隨著l的增大而增大,相位分布則成周期旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu),與三維OAM電磁波不同的是二維情況下不存在距離擴(kuò)散現(xiàn)象.在下面的分析中可以看到,OAM電磁波獨(dú)特的場(chǎng)結(jié)構(gòu)可以用來(lái)做超分辨入射場(chǎng).

圖2 l=3,5,7時(shí)的OAM電磁波的幅度分布(第一行)與相位分布(第二行)Fig.2.Distribution of amplitudes(top row)and phases(bottom row)of OAM-carrying fields.From left to right,they correspond to l=3,5,7.

3.2 高對(duì)比度目標(biāo)的超分辨成像算法

文獻(xiàn)[28]假設(shè)OAM電磁波的幅度在成像區(qū)域內(nèi)均勻分布,這只是一種理想情況,實(shí)際中很難實(shí)現(xiàn),并且文獻(xiàn)[28]中基于BA的OAM-DT算法只適用于低對(duì)比度目標(biāo).為了實(shí)現(xiàn)對(duì)高對(duì)比度目標(biāo)的超分辨成像,不妨仍然先采用OAM-DT算法的結(jié)果作為初值,此時(shí)(4)式可以寫(xiě)成

根據(jù)圖2,可以將入射場(chǎng)近似寫(xiě)成Ei(ρ,?)≈A(ρ)ejlφ,A(ρ)表示幅度分布,那么(9)式可以寫(xiě)成

事實(shí)上,如果成像區(qū)域較小,幾乎完全落在OAM電磁波的能量空洞內(nèi),則仍能夠近似認(rèn)為成像區(qū)域內(nèi)的入射場(chǎng)幅度是均勻分布的,假設(shè)成像區(qū)域內(nèi)入射場(chǎng)的幅度近似為A0,則(10)式可以近似表示為

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)χ的精確重建,散射場(chǎng)數(shù)據(jù)應(yīng)包含盡可能多的χ的譜信息.定義函數(shù)f(x,y)的二維Fourier變換為

將(11)式轉(zhuǎn)化到譜域考察,可以寫(xiě)成

“～”為對(duì)應(yīng)的譜域表示,“?”表示卷積運(yùn)算,其中

在譜域來(lái)看,散射場(chǎng)的譜是入射場(chǎng)的譜與對(duì)比度函數(shù)的譜混頻的結(jié)果,假設(shè)入射場(chǎng)包含譜域分量kin,則遠(yuǎn)場(chǎng)可測(cè)量得到的目標(biāo)譜信息k的范圍應(yīng)滿足|kin?k|6 k0,對(duì)應(yīng)傳輸波的范圍,為了得到更多的關(guān)于目標(biāo)的譜信息,應(yīng)使kin的范圍盡可能大.事實(shí)上,OAM電磁波中只有部分區(qū)域的相位面按照ejlφ分布,對(duì)應(yīng)超級(jí)振蕩區(qū)域,這一局部區(qū)域的空間譜范圍遠(yuǎn)超過(guò)k0,而入射場(chǎng)總的譜范圍依然小于k0.將成像區(qū)域放置于超級(jí)振蕩區(qū)域便能夠?qū)?duì)比度函數(shù)的倏逝波信息轉(zhuǎn)化到散射場(chǎng)中,從而實(shí)現(xiàn)超分辨.

將(9)式離散化可以整理成矩陣形式

記(16)式為

采用Tikhonov正則化方法求解χ,

其中H表示平滑矩陣,如果χ是N×1維向量,則0階平滑矩陣為N階單位陣,“*”表示共軛轉(zhuǎn)置,α是正則化參數(shù),α的選取會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生重要影響,本文通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)確定.

求得對(duì)比度函數(shù)初值后,便能夠按照CSI方法的流程開(kāi)始迭代.CSI方法在每一次迭代過(guò)程中可以分為兩個(gè)步驟,第一步通過(guò)定義對(duì)比度源w=χE,構(gòu)造Es與w的線性關(guān)系,迭代更新w;第二步根據(jù)w直接求解出χ.定義對(duì)比度源后,狀態(tài)方程與數(shù)據(jù)方程可以寫(xiě)成

代價(jià)函數(shù)定義為歸一化的狀態(tài)余差和測(cè)量余差之和

其中∥·∥Γ, ∥·∥D分別表示Hilbert空間L2(Γ),L2(D)上的范數(shù).記第n次迭代的狀態(tài)余差和測(cè)量余差分別為rn,?n

收斂指標(biāo)采用歸一化的散射場(chǎng)余差

第一步,設(shè)置對(duì)比度源初值w0;

第二步,計(jì)算散射場(chǎng)余差,判斷Err是否小于收斂門(mén)限,如果滿足收斂條件則停止迭代,否則進(jìn)入第三步;

第三步,由wn,En計(jì)算χn;

第四步,由rn,φn計(jì)算wn的更新方向vn+1與更新步長(zhǎng)αn+1并更新wn

之后回到第二步.

以(18)式中的結(jié)果作為對(duì)比度函數(shù)初值,記作χ0,利用χ0可以計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的對(duì)比度源初值,記作w0,χ,接下來(lái)便可以按照上述流程開(kāi)始迭代.

3.3 超分辨信息的利用

表面上看來(lái),(18)式只是為CSI迭代確定了一個(gè)對(duì)比度函數(shù)初值χ0,事實(shí)上,由于利用了BA,OAM入射場(chǎng)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)包含在(17)式的矩陣A中,根據(jù)上文分析,真實(shí)的對(duì)比度函數(shù)χ所對(duì)應(yīng)的倏逝波信息與OAM入射場(chǎng)做卷積,相應(yīng)的信息已經(jīng)包含在Es中,再利用正則化方法求解χ時(shí),相當(dāng)于用矩陣A “解卷積”,從而使倏逝波信息得以保留在初值χ0中,開(kāi)始CSI迭代后,自然也利用了這些信息,所以可以實(shí)現(xiàn)超分辨成像.也就是說(shuō)為了實(shí)現(xiàn)超分辨成像,不僅要能夠?qū)⒛繕?biāo)的倏逝波信息轉(zhuǎn)化到測(cè)量數(shù)據(jù)中,而且在成像算法中還應(yīng)該能夠“真正地”利用這些信息.如果在(9)式中將對(duì)比度源w看作待求未知數(shù),則(17)式經(jīng)過(guò)離散可以得到另一種形式

在(26)式中,w表示對(duì)比度源向量,B表示對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣,利用相同的正則化方法可以求解出w作為CSI方法的迭代初值(稱作“w初值法”),將這個(gè)初值記作w0,w.需要說(shuō)明的是,w0,w與w0,χ并不相同,原因在于,通過(guò)(26)式求解w時(shí),矩陣B只是格林函數(shù)弱形式近似的結(jié)果,并不包含OAM入射場(chǎng)對(duì)應(yīng)的項(xiàng),因此無(wú)法“解卷積”Es所含χ的倏逝波信息.也就是說(shuō),雖然Es中確實(shí)含有可以實(shí)現(xiàn)超分辨的倏逝波信息,但由于算法原因并未“真正地”利用這些信息.至于接下來(lái)通過(guò)CSI迭代能否實(shí)現(xiàn)更高分辨率的重建結(jié)果,則完全在于CSI算法本身所具有的將Es中的超分辨信息分離到χ上的能力.可以推斷,w初值法的結(jié)果與直接采用CSI方法的重建結(jié)果相近.

4 計(jì)算實(shí)例與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性,下面對(duì)典型目標(biāo)場(chǎng)景進(jìn)行重建,通過(guò)與CSI方法對(duì)比說(shuō)明本文方法對(duì)高對(duì)比度目標(biāo)的超分辨能力.在下面的計(jì)算實(shí)例中,經(jīng)典的CSI方法采用后向傳播(backpropagation)解作為初值:

其中GΓ?表示GΓ的伴隨算子.此外,傳統(tǒng)的成像方法對(duì)目標(biāo)照射時(shí)采用的都是序列照射法,即依次在目標(biāo)周?chē)O(shè)置照射源,其余測(cè)量點(diǎn)作為接收點(diǎn),是“單發(fā)多收”模式,這種設(shè)置對(duì)于二維問(wèn)題只能產(chǎn)生平面波或者柱面波對(duì)未知目標(biāo)進(jìn)行探測(cè).本文采用OAM電磁波對(duì)目標(biāo)進(jìn)行照射,需要在目標(biāo)周?chē)O(shè)置多個(gè)照射源同時(shí)對(duì)目標(biāo)照射,是“多發(fā)多收”模式.

如圖3(a)所示,目標(biāo)區(qū)域?yàn)棣恕力说木匦螀^(qū)域,區(qū)域中心與原點(diǎn)重合,剖分精度為λ/30.在目標(biāo)區(qū)域周?chē)栽c(diǎn)為圓心半徑為3λ的圓環(huán)上均勻設(shè)置30個(gè)線源激勵(lì),并且在相同的位置測(cè)量散射場(chǎng),OAM電磁波的照射模式l=0,±1,±2,···,±10,共有21個(gè)照射模式.此外,由于OAM電磁波照射只能提高角度分辨率,為了提高徑向分辨率,可以通過(guò)移動(dòng)OAM電磁波的渦旋中心來(lái)測(cè)量更多數(shù)據(jù),在下文算例中,渦旋中心都是沿直線x=0以0.5λ的步長(zhǎng)從y= ?λ移動(dòng)到y(tǒng)= λ.此外,仿真中所用標(biāo)準(zhǔn)散射場(chǎng)由CG-FFT方法求解產(chǎn)生.所有仿真在Dell T7810工作站上進(jìn)行.

圖3 雙方柱重建結(jié)果,χ=0.1 (a)原始分布;(b)本文方法;(c)CSI方法;(d)w初值法;(e)OAM-DT方法Fig.3.Reconstruction of two square columns,χ=0.1:(a)Origin profile;(b)proposed method;(c)CSI method;(d)w-initial method;(e)OAM-DT method.

實(shí)例1 兩個(gè)邊長(zhǎng)為λ/4的均勻方柱置于目標(biāo)區(qū)域的中心,相距λ/8.首先測(cè)試低對(duì)比度目標(biāo)的重建情況,兩個(gè)方柱χ=0.1,工作頻率設(shè)置為100 MHz.正則化參數(shù)取10?2,在CSI迭代過(guò)程中加入了對(duì)比度函數(shù)實(shí)部為正的先驗(yàn)信息,迭代128次結(jié)果如圖3(b)所示,圖3(c)是經(jīng)典CSI方法迭代128次的重建結(jié)果,對(duì)于CSI方法,每次照射測(cè)量30個(gè)數(shù)據(jù),圖3(d)是w初值法迭代128次的重建結(jié)果,在本例中,三種方法繼續(xù)迭代得到的結(jié)果均沒(méi)有明顯改善.比較圖3(b)、圖3(c)和圖3(d)可以看出,本文所提出的方法得到的重建結(jié)果分辨率更高,并且與目標(biāo)形狀輪廓的符合程度要優(yōu)于經(jīng)典CSI方法的重建結(jié)果,而w初值法的迭代結(jié)果與CSI方法的結(jié)果幾乎一致,驗(yàn)證了前文的推斷.在圖3(c)中仍然能夠分辨出兩個(gè)物體,這說(shuō)明CSI方法作為一種非線性成像算法具有一定的超分辨能力,但相比于利用OAM電磁波照射,CSI方法提供的倏逝波信息較少.圖4給出了沿y=0切面的對(duì)比度函數(shù)分布圖,可以更清晰地看出本文方法成像結(jié)果的中間凹口更低,說(shuō)明了其優(yōu)于CSI方法的超分辨能力.可以推斷,隨著OAM電磁波照射模式的增加,利用本文方法可以得到分辨率更高的重建結(jié)果.文獻(xiàn)[28]采用OAM-DT方法幾乎實(shí)現(xiàn)了低對(duì)比度目標(biāo)的完美重建,但是其采用的是理想OAM電磁波進(jìn)行照射,而本文設(shè)計(jì)出了二維情形下OAM電磁波的產(chǎn)生結(jié)構(gòu),照射波中不僅包含相位信息,還包含幅度信息.圖3(e)給出了利用OAM-DT方法求解出的初值分布,雖然成像結(jié)果不如其他方法,但是超分辨信息已經(jīng)隱含在結(jié)果中,繼續(xù)迭代可以得到超分辨重建結(jié)果.

圖4 沿y=0的對(duì)比度函數(shù)分布,χ=0.1Fig.4.Reconstructed contrast profiles along a central cut y=0,χ=0.1.

圖5給出了本文方法與CSI方法收斂曲線的對(duì)比情況.觀察發(fā)現(xiàn),CSI方法對(duì)應(yīng)的收斂曲線呈單調(diào)下降趨勢(shì),與w初值法的收斂曲線基本一致,而本文方法對(duì)應(yīng)的收斂曲線則呈現(xiàn)出先上升后下降的趨勢(shì),這是由于在(18)式求χ的過(guò)程中充分利用了超分辨信息,所得到的對(duì)比度函數(shù)初值已經(jīng)對(duì)應(yīng)很小的散射場(chǎng)余差,可是考慮到逆問(wèn)題的非適定性,這個(gè)很小的散射場(chǎng)余差對(duì)應(yīng)的對(duì)比度函數(shù)可能與實(shí)際結(jié)果相差很大,但此時(shí)的對(duì)比度函數(shù)確實(shí)包含了超分辨信息.由于在CSI方法中每一步迭代都在不斷更新總場(chǎng),更新得到的總場(chǎng)幅值相對(duì)于OAM電磁波的能量空洞非常大,因此隨著迭代的進(jìn)行,更新得到的總場(chǎng)逐漸將能量空洞中的超分辨信息“淹沒(méi)”,在收斂曲線上表現(xiàn)出仍然按照經(jīng)典CSI方法的規(guī)律收斂,進(jìn)而造成了收斂曲線先上升后下降的現(xiàn)象.本文方法與CSI方法的收斂結(jié)果相差不大,但在成像結(jié)果上有明顯差別,這進(jìn)一步說(shuō)明了本文方法中蘊(yùn)含有更多的超分辨信息.

圖5 收斂曲線,χ=0.1Fig.5.Convergence curves,χ=0.1.

圖6 雙方柱重建結(jié)果,χ=4 (a)原始分布;(b)本文方法;(c)CSI方法;(d)w初值法Fig.6.Reconstruction of two square columns,χ=4:(a)Origin profile;(b)proposed method;(c)CSI method;(d)w-initial method.

實(shí)例2 令兩個(gè)方柱對(duì)比度函數(shù)χ=4,其余條件與實(shí)例1相同.圖6(a)是原始分布,圖6(b)是本文方法迭代128次的重建結(jié)果,圖6(c)是CSI方法迭代128次的重建結(jié)果,圖6(d)是w初值法迭代128次的重建結(jié)果,在本例中,三種方法繼續(xù)迭代得到的結(jié)果均沒(méi)有明顯改善.比較發(fā)現(xiàn),本文方法的重建結(jié)果無(wú)論在目標(biāo)輪廓成像上還是在分辨率方面都明顯優(yōu)于CSI方法.圖7給出了沿y=0切面的對(duì)比度函數(shù)分布圖,可以看出,本文方法的重建結(jié)果整體符合程度要優(yōu)于CSI方法,而采用w初值法得到的迭代結(jié)果與CSI方法的結(jié)果幾乎一致.

圖7 沿y=0的對(duì)比度函數(shù)分布,χ=4Fig.7.Reconstructed contrast profiles along a central cut y=0,χ=4.

在圖8所示的收斂曲線中,本文方法對(duì)應(yīng)的收斂曲線并未像實(shí)例1中先上升后下降,這是由于對(duì)于高對(duì)比度目標(biāo)一開(kāi)始采用BA得到的對(duì)比度函數(shù)初值本身就具有較大誤差,從圖8中可以看出利用正則化方法求解得到的對(duì)比度函數(shù)初值所對(duì)應(yīng)的散射場(chǎng)余差要遠(yuǎn)大于CSI方法迭代開(kāi)始時(shí)的散射場(chǎng)余差,所以利用這個(gè)初值開(kāi)始CSI迭代不會(huì)出現(xiàn)更大的余差.此外,CSI方法迭代128次后得到的散射場(chǎng)余差要小于本文方法對(duì)應(yīng)的散射場(chǎng)余差,但成像結(jié)果并不如本文方法,這說(shuō)明用散射場(chǎng)余差作為迭代收斂指標(biāo)并不能準(zhǔn)確體現(xiàn)整體成像性能.

圖8 χ=4的收斂曲線Fig.8.Convergence curves,χ=4.

圖9 4個(gè)方柱重建結(jié)果,χ=4 (a)原始分布;(b)本文方法;(c)CSI方法;(d)w初值法Fig.9.Reconstruction of four square columns,χ=4:(a)Origin profile;(b)proposed method;(c)CSI method;(d)w-initial method.

實(shí)例3 接下來(lái)增加目標(biāo)場(chǎng)景復(fù)雜度,在成像域中部放置四個(gè)尺寸為λ/4×λ/4的小方柱,相鄰方柱之間距離為λ/8,如圖9(a)所示.圖9(b)給出了本文重建結(jié)果,仿真設(shè)置與實(shí)例1相同,但是正則化參數(shù)選10?1,圖9(c)為CSI方法重建結(jié)果,圖9(d)為w初值法的迭代結(jié)果,正則化參數(shù)選取10?2,三種方法均迭代128次,繼續(xù)迭代結(jié)果沒(méi)有明顯改善.觀察對(duì)比發(fā)現(xiàn),本文方法的重建結(jié)果明顯優(yōu)于CSI重建結(jié)果,而w初值法的迭代結(jié)果與CSI方法的結(jié)果幾乎一致.這進(jìn)一步說(shuō)明了本文方法的有效性.

實(shí)例4 在實(shí)例2與實(shí)例3的基礎(chǔ)上,在測(cè)量數(shù)據(jù)中加入白噪聲以驗(yàn)證算法的魯棒性.圖10給出了雙方柱在信噪比分別為20,15,10和5 dB情況下分別采用本文方法與CSI方法的重建結(jié)果,仿真設(shè)置與實(shí)例2相同.圖11給出了四個(gè)方柱在信噪比分別為20,15,10和5 dB情況下采用本文方法與CSI方法的重建結(jié)果,仿真參數(shù)設(shè)置與實(shí)例3相同.從仿真結(jié)果可以看出,無(wú)論對(duì)于簡(jiǎn)單場(chǎng)景(雙方柱)還是復(fù)雜場(chǎng)景(四個(gè)方柱),在不同程度的噪聲影響下本文方法依然可以得到較好的成像結(jié)果,而且整體成像效果優(yōu)于CSI方法,說(shuō)明了本文方法具有一定的魯棒性.

圖10 不同信噪比下采用本文方法(a)—(d)與CSI方法(e)—(h)的雙方柱重建結(jié)果,χ=4Fig.10.Reconstruction of two square columns with proposed method(a)–(d)and CSI method(e)–(h)corrupted by Different SNR,χ=4.

圖11 信噪比為20,15,10和5 dB時(shí)采用本文方法 (a)—(d)與CSI方法(e)—(h)的四方柱重建結(jié)果,χ=4Fig.11.Reconstruction of four square columns with proposed method(a)–(d)and CSI method(e)–(h)corrupted by Different SNR,χ=4.

5 結(jié) 論

結(jié)合CSI方法與OAM-DT方法,提出了一種能夠?qū)Ω邔?duì)比度目標(biāo)實(shí)現(xiàn)超分辨的成像方法.首先利用OAM-DT方法求解對(duì)比度函數(shù)初值,得到的對(duì)比度函數(shù)初值包含有超分辨信息,再基于這個(gè)初值進(jìn)行CSI迭代.從仿真結(jié)果來(lái)看,本文方法在目標(biāo)輪廓成像和分辨率兩個(gè)方面均要優(yōu)于CSI方法,原因是OAM電磁波照射激發(fā)出了目標(biāo)更多的譜信息,并且這些譜信息在CSI迭代過(guò)程中得以保留.此外,本文方法還具有較好的抗噪性能.本文研究表明,對(duì)于最后成像結(jié)果起重要影響的是在算法中能否融合超分辨信息,并且在算法過(guò)程中保持這些信息.本文所引申出的超分辨信息的概念,對(duì)于逆散射超分辨成像的研究具有一定的借鑒意義.