基于極限思想對(duì)導(dǎo)數(shù)與定積分概念的認(rèn)識(shí)與思考

張子悅

摘 要：通過對(duì)高中數(shù)學(xué)所學(xué)導(dǎo)數(shù)和定積分的概念以及它們的實(shí)質(zhì)進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)盡管兩者在定義上不同，但是本質(zhì)上兩者都是基于極限的思想，兩者都屬于極限問題。這一認(rèn)知不僅有助于理解和掌握導(dǎo)數(shù)及定積分的概念、清楚它們的幾何意義，還將有助于通過建立概念之間的聯(lián)系，深化對(duì)導(dǎo)數(shù)和定積分知識(shí)的理解，提高分析和解決相關(guān)導(dǎo)數(shù)和定積分問題的能力，最后給出了一個(gè)應(yīng)用極限解決定積分問題的算例。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 定積分極限 幾何意義

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）05（a）-0165-03

微積分是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科[1]，它的應(yīng)用涉及到多個(gè)方面，對(duì)數(shù)學(xué)、物理、工程和經(jīng)濟(jì)等多個(gè)領(lǐng)域起到了極大的促進(jìn)作用。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，首次接觸到了導(dǎo)數(shù)和定積分，它們是整個(gè)高中階段數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。通過對(duì)導(dǎo)數(shù)和定積分概念的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)它們之間不僅有區(qū)別還存在一定的聯(lián)系。下面將通過對(duì)兩個(gè)概念的對(duì)比分析，深入認(rèn)識(shí)它們本質(zhì)上的異同。

1 導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義

在微積分中，導(dǎo)數(shù)是其重要的概念之一[2]，它可以用來解決許多領(lǐng)域的實(shí)際問題，如物理中的求解速度和加速度、數(shù)學(xué)中判定函數(shù)的單調(diào)性、幾何學(xué)中確定切點(diǎn)斜率等。

通過（1）式可知，導(dǎo)數(shù)從實(shí)質(zhì)上來講就是當(dāng)Δx無限逼近0時(shí)，函數(shù)的變化量與相應(yīng)自變量變化量比值的極限。因此，如果這個(gè)極限存在了，那么導(dǎo)數(shù)也就意義或者說也就存在了，反之導(dǎo)數(shù)不存在[2]，所以求導(dǎo)數(shù)追根究底就是求極限。

如圖1所示，對(duì)于函數(shù)y=f（x），當(dāng)從A點(diǎn)增加B點(diǎn)時(shí)，割線AB的斜率為：

導(dǎo)數(shù)的幾何意義可描述：當(dāng)Δx無限逼近0時(shí)，B點(diǎn)逐漸逼近A點(diǎn)，此時(shí)的極限值就是函數(shù)f（x）在A點(diǎn)的切

線的斜率，也即函數(shù)y=f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上是函數(shù)在x0處切線的斜率，此時(shí)，其中α是函數(shù)在A點(diǎn)切線的傾角。

2 定積分的概念及幾何意義

定積分不僅是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，許多實(shí)際問題可以用定積分來解決，例如計(jì)算變力做功、功率、曲面的面積、路程以及不等式的證明等，另外，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域也常用定積分解決問題。

如圖2所示，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上與直線x=a和x=b圍成的曲面為abcd，由于dc是曲線，所以直接計(jì)算其面積是比較困難的，為此將區(qū)間[a，b]劃分成n個(gè)小區(qū)間，設(shè)第i個(gè)區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度為?xi，則該區(qū)間的小曲面面積Sjhfe可近似用陰影部分所示的小矩形面積f（ξi）?xi代替，其中ξi是第i個(gè)區(qū)間[j，h]上的任意點(diǎn)，顯然區(qū)間長(zhǎng)度?xi越小，小矩形的面積越接近小曲面的面積，計(jì)算也就越精確。

曲面abcd的面積等于n個(gè)小區(qū)間的曲面面積之和，如果區(qū)間長(zhǎng)度劃分的足夠小，可以用n個(gè)小矩形面積疊加之和代替，所以若設(shè)λ為n小區(qū)間長(zhǎng)度中的最大值即，則和式（2）的極限值就接近曲面abcd的面積，曲面abcd的面積可用這個(gè)極限值代替。

綜上可知，定積分從本質(zhì)上講也就是當(dāng)λ無限逼近0時(shí)，和式（2）的極限，所以定積分問題實(shí)質(zhì)上也是極限問題。定積分所反映的幾何意義就是f（x）在區(qū)間[a，b]上與直線x=a和x=b構(gòu)成面積的代數(shù)和，它采用了將大化小、以簡(jiǎn)代繁、無限逼近的方式來獲得了相關(guān)問題的解。

3 應(yīng)用算例

綜上，該算例就是在深入理解定積分屬于極限問題的基礎(chǔ)上，反復(fù)利用極限的運(yùn)算法則獲得了定積分的值。盡管這個(gè)例題比較簡(jiǎn)單，但是它給出了一種解決定積分問題的思路，特別是對(duì)于一些比較復(fù)雜的定積分問題，可以轉(zhuǎn)化成極限問題，通過極限的相關(guān)運(yùn)算法則、定理等來獲得它們的解。

4 結(jié)語

根據(jù)前面對(duì)導(dǎo)數(shù)和定積分兩個(gè)概念的分析可以看出，盡管導(dǎo)數(shù)和定積分看起來是兩個(gè)不相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，但是從極限思想的角度[4-6]，兩者實(shí)質(zhì)上都屬于極限問題，從而兩者具有了相關(guān)性。了解了這一點(diǎn)，不僅能夠更準(zhǔn)確的把握這兩個(gè)概念，還可以將極限的相關(guān)運(yùn)算法則應(yīng)用到解決導(dǎo)數(shù)或定積分問題中，從而提高了學(xué)生解決和分析導(dǎo)數(shù)或定積分等相關(guān)數(shù)學(xué)問題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1] https：//baike.so.com/doc/3201826-3374351.html.

[2] https：//baike.so.com/doc/5386034-5622483.html.

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1990.

[4] 張海燕.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于極限思想的教學(xué)及其感悟[J].教育現(xiàn)代化，2017（14）：157-159.

[5] 張海燕，趙翠萍，徐利艷，等.微積分[M].北京：清華大學(xué)出版社，2015.

[6] 施紅英.對(duì)微積分“極限”思想方法教學(xué)的思考[J].甘肅廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2005（3）：70-72.