淺談初中代數式最值的求解技巧

曾立萱

摘 要：在生活實踐中，人們經常面對帶有“最”字的問題。求某個量或者幾個量和、差、積、商的最大值或最小值，是數學中的常見類型。解決最值問題的方法靈活多樣，常有窮舉法、利用函數性質、配方法、根的判別式法與韋達定理法、運用基本不等式法、換元法等。

關鍵詞：最值 窮舉 函數模型 根的判別式

在生活實踐中，人們經常面對帶有“最”字的問題，如花費最低，面積最小，產值最高，獲利最大等。近年來各地中考題中最值問題更是頻頻出現，問題背景新穎，常出現的最值問題有應用題、幾何動態、函數最值等。在初中數學競賽中整式、分式、二次根式、函數、多元方程等形式也常求某個變量或特殊結構代數式的值。最值問題構題精妙，牽涉的知識點多，解題方法靈活多變。下面就本人在初中階段的教學談談較常見的最值問題的求解方法，以便大家舉一反三。

一、直接代入計算，窮舉獲取法。

例1：已知點A（1，a），B（-2，b），C（0，c）都在函數的圖像上，求的最大值。

分析：將三個點代入函數解析式，易知，所以的最大值是3

二、建立函數模型求最值：利用函數圖像的增減性。

初中階段的重點函數是一次函數與二次函數，利用函數的單調性來解決應用性問題的最值，要注意先引入變量，列出函數關系式，尤其要注意求出自變量的取值范圍及區間范圍對最值的影響。在例1中可知一次函數中0，所以由一次函數圖像的性質知隨著的增大而減小，又因為，所以，所以的最大值是，再求出。2018年福建中考數學第23題重點考查了二次函數的區間最值。

五、用放縮法求代數式的最值

這種方法在在高中數學中用得較多，這里就不再舉例說明。

從以上分析論述可知：最值問題的解決并不是絕對孤立不變，有時可以一題多解；有時需要多種方法一起使用才能靈活解決問題。解題時，要仔細觀測代數式的結構特點，以便選擇合理的解題方法，做到快速解題。同時要說明最值在什么情況下可以達到，以養成嚴謹思維的習慣。