刻度平方誤差損失下指數分布產品壽命績效指標的Bayes可靠性分析

劉婉貞

摘 要：本文的目的是研究產品壽命服從指數分布時壽命績效指標的Bayes估計問題。在伽瑪先驗分布和刻度平方誤差損失函數下得到了壽命績效指標的Bayes估計， 并通過蒙特卡洛統計模擬試驗對各類估計結果的優良性進行比較。

關鍵詞：壽命績效指標；Bayes估計；刻度平方誤差損失函數

中圖分類號：TB114.2 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）17-0233-02

1 引言

在實踐中，對產品質量績效進行有效的管理和評價是現代企業的重要工作，過程能力分析是衡量企業績效的重要手段。過程能力指數是檢測產品質量和監控產品生產過程的一個簡單而有效的指標，到目前為止已經有很多個過程能力指數相繼被提出，其中最出名的是如下幾個過程能力指數。這四個指數是評估產品品質特性具有望目型的指標，不適用產品壽命越長越好的特性，為此，文獻[1]提出了壽命績效指標來反映產品壽命越長產品質量特性。近年來，針對的統計推斷研究得到很大的關注，如文獻[2]針對指數分布產品，基于熵損失討論了的Bayes估計和假設檢驗問題；文獻[3]當產品壽命具有單參數指數分布時，基于逐步I型刪失樣本，得到了極大似然估計。文獻[4]研究了逐步遞增的II型截尾樣本下極值分布壽命績效指標的極大似然估計和Bayes估計。近幾年，很多學者研究基于刻度平方誤差損失函數的可靠性模型參數的Bayes統計推斷問題[5-7]。

本文將基于參數的先驗分布為共軛伽瑪先驗分布，在刻度平方誤差損失函數下研究指數分布產品壽命績效指標的Bayes估計和E-Bayes估計問題。

2 預備知識

設某電子產品的壽命服從參數的指數分布，即相應的概率密度函數為：

（1）

由于大部分電子產品都是望大型，即滿足壽命越長質量越好的特性，關于此類產品績效評價問題，Montgomery[1]提出壽命績效指標：

（2）

來衡量此類產品性能的優劣，式中為規格下界，為產品壽命均值，為產品壽命標準差。

根據式（2），易計算指數分布壽命績效指標：

（3）

和失效率函數：

（4）

由于產品的平均壽命，且根據（3）和（4）式知可以較好地反映產品壽命的情況。

下面給出產品合格率的定義：

設產品的壽命為，是壽命的規格下限，即當時，認為該產品為合格品。則產品的合格率定義如下：

（5）

對于壽命服從指數分布的產品，合格率為：

（6）

由（6）式知合格率與壽命績效指標一一對應，于是只要知道的值，便可計算出產品的合格率的值。但要準確的估計常需要較大樣本，這在實際中通常做不到。而Bayes方法可以在較小的樣本下也可以較準確估計的值進而計算出產品的合格率的值。為此本文將在刻度平方誤差損失函數下研究指數分布產品壽命績效的Bayes估計和E-Bayes估計問題。

3 壽命績效指標的Bayes和E-Bayes估計

本文將在如下刻度平方誤差損失函數：

（7）

下討論指數分布產品壽命績效指標的Bayes和E-Bayes估計問題，這里為非負整數。在刻度平方誤差損失函數（6）下，參數的唯一的Bayes估計為[5]：

（8）

設總體壽命服從指數分布（1），為樣本。為樣本觀察值，，。則給定樣本觀察值后參數的似然函數為：

（9）

本文假設的先驗分布為伽瑪分布，即概率密度函數為：

（10）

其中為超參數。

定理1在（9）和（10）的假設和刻度平方誤差損失（7）下，的Bayes估計為：

（11）

證明：由Bayes定理，參數的后驗概率密度函數為：

于是：

于是在刻度平方誤差損失函數（7）下，參數的Bayes估計為：

從而指數分布產品壽命績效指標的Bayes估計為：

4 數值模擬例子和結論

利用蒙特卡洛模擬生成參數的指數分布（1）的容量為的樣本，n=10，25，50，75，重復試驗N=2000次，用作為的估計值，均方誤差評價估計的好壞，其中為第i次試驗時參數（）的估計值.估計結果見表1，其中均方誤差在括號內，，。

由表1知，隨n的增大，各個參數的估計值的均方誤差都在減小，估計值也越來越接近真值；Bayes估計在n較小時受超參數影響較大，但隨樣本量的變大對估計值的影響變小。

參考文獻

[1]Montgomery， D. C. Introduction to Statistical Quality Control[M]， New York： John Wiley & Sons，1985.

[2]廖莉，張長青.熵損失函數下指數分布產品壽命績效指標的Bayes統計推斷[J].南昌大學學報（理科版），2016，40（5）：421-425.

[3]Wu S. F.， Lin Y. P. Computational testing algorithmic procedure of assessment for lifetime performance index of products with one-parameter exponential distribution under progressive type I interval censoring[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2017，311（C）：364-374.

[4]El-Sagheer R M. Assessing the Lifetime Performance Index of Extreme Value Model Based on Progressive Type II Censored Samples[J].Mathematical Sciences Letters，2017，6（3）：1-14.

[5]宋立新，陳永勝，許俊美.刻度平方誤差損失下Poisson分布參數的Bayes估計[J].蘭州理工大學學報，2008，34（5）：152-154.

[6]何道江，尤游.刻度指數族參數的經驗Bayes估計及收斂速度[J].數學雜志，2014，34（2）：367-373.

[7]童恩濤，范國良.PA樣本下刻度指數族參數的漸近最優的EB估計[J].安徽工程大學學報，2015，（1）：90-94.