面向軸向誤差約束的小線段過渡算法

孫樹杰,于 東,林 滸,李備備,3,郎言書,3

1(煙臺(tái)大學(xué) 機(jī)電汽車工程學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005)2(中國科學(xué)院 沈陽計(jì)算技術(shù)研究所,沈陽110168)3(中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

1 引 言

在復(fù)雜曲面的數(shù)控加工過程中,CAM系統(tǒng)根據(jù)加工參數(shù),用小線段覆蓋曲面.在小線段的連續(xù)加工方面,SUN等[1]提出了速高精的路徑動(dòng)態(tài)前瞻規(guī)劃算法:將路徑規(guī)劃過程與速度規(guī)劃過程進(jìn)行結(jié)合,根據(jù)速度規(guī)劃方法優(yōu)化路徑規(guī)劃過程,但速度規(guī)劃過程中沒有對(duì)加加速度進(jìn)行限制,機(jī)床與刀具產(chǎn)生的振動(dòng)會(huì)降低加工質(zhì)量與加工速度.為了提高加工質(zhì)量與加工速度,可以將輔助運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃問題歸結(jié)為作業(yè)調(diào)度問題[2],并在此基礎(chǔ)上基于人工智能算法[3]進(jìn)行加工路徑規(guī)劃,但是,這種以尋找總的最短空行程為優(yōu)化目標(biāo)的路徑規(guī)劃方法,并不能確?？s短加工時(shí)間,不能有效提高加工效率和加工質(zhì)量.與此同時(shí),張曉輝等[4]提出五次樣條曲線過渡算法,SUN等[5]提出了基于時(shí)間函數(shù)的B樣條曲線過渡算法,DUAN等[6]提出NURBS曲線拐角過渡方法,同時(shí),參數(shù)樣條曲線[7]和NURBS曲線[8-10]也被廣泛用于描述刀具路徑.但是,采用樣條曲線進(jìn)行進(jìn)行加工路徑過渡與逼近存在一些缺點(diǎn).首先,曲線的擬合與插補(bǔ)計(jì)算復(fù)雜,其次,擬合或插值產(chǎn)生的曲線可能存在尖點(diǎn)與二重點(diǎn)[11],實(shí)時(shí)加工過程中難以發(fā)現(xiàn)并作出適當(dāng)處理.

上述算法在進(jìn)行路徑規(guī)劃時(shí),設(shè)置唯一的輪廓誤差值,未考慮軸向輪廓誤差的要求.為此,SIMENS[12]提出了基于軸向誤差的連續(xù)路徑運(yùn)行(G64-G645系列指令)概念,通過相關(guān)參數(shù)(MD33100)設(shè)置各個(gè)線性軸允許的最大軸向誤差,在軸向誤差的限制下進(jìn)行路徑規(guī)劃,但相關(guān)技術(shù)和方法尚未見公開文獻(xiàn)進(jìn)行討論.

基于以上分析,本文提出了一種基于軸向誤差的輪廓誤差確定方法,給出了三軸與五軸數(shù)控系統(tǒng)在路徑規(guī)劃時(shí)允許的最大輪廓誤差的解析式,在路徑規(guī)劃時(shí)將軸向誤差限定在系統(tǒng)要求的范圍內(nèi).綜合采用間除冗余點(diǎn)和多周期的圓弧過渡方法對(duì)小線段路徑進(jìn)行規(guī)劃,從而達(dá)到縮短加工時(shí)間和提高加工質(zhì)量的目的.

2 基于軸向誤差的小線段過渡算法

2.1 確定最大輪廓誤差值

三軸數(shù)控加工系統(tǒng)中,假設(shè)系統(tǒng)允許的x,y,z軸的軸向誤差最大值分別為errox_max、erroy_max、erroz_max,如圖1所示.由x,y,z軸軸向誤差決定的系統(tǒng)允許的最大誤差為erromax_x,erromax_y,erromax_z,則系統(tǒng)在OP方向上允許的最大誤差為erromax,如公式(1)、公式(2)所示.

圖1 系統(tǒng)允許的最大輪廓誤差Fig.1 Maximum error allowed by the system

(1)

erromax=min(erromax_x,erromax_y,erromax_z)

(2)

在五軸數(shù)控系統(tǒng)的加工過程中,路徑過渡時(shí)所允許的輪廓誤差不僅涉及x,y,z軸,同時(shí)與旋轉(zhuǎn)軸密切相關(guān).如圖2,以BC轉(zhuǎn)臺(tái)為例,工件坐標(biāo)系中的點(diǎn)(x,y,z)與機(jī)床坐標(biāo)系的點(diǎn)(X,Y,Z)對(duì)應(yīng)關(guān)系如公式(3)所示,其中x0、y0、z0表示機(jī)床坐標(biāo)系原點(diǎn)在工件坐標(biāo)系中的位置,B、C表示旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)角度.

圖2 BC雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸數(shù)控機(jī)床示意圖Fig.2 Illustration of five-axes machine tools with two tables

(3)

式(3)對(duì)X,Y,Z求偏導(dǎo),可得由x,y,z軸軸向誤差決定的加工路徑所允許的系統(tǒng)輪廓誤差errox_max_new,erroy_max_new,erroz_max_new.如公式(4-6)所示,系統(tǒng)允許的輪廓誤差為erromax.

errox_max_new=cos(B)cos(C)errox_max+cos(C)erroy_max-

sin(B)cos(C)erroz_max

erroy_max_new=-cos(B)sin(C)errox_max+cos(C)erroy_max+

sin(B)cos(C)erroz_max

erroz_max_new=sin(B)errox_max+cos(B)erroz_max

(4)

(5)

erromax=min(min(erromax_x),min(erromax_y),min(erromax_z))

(6)

2.2 確定最大輪廓誤差值

CAD系統(tǒng)生成加工工件的模型,CAM系統(tǒng)在一定精度的要求下將模型數(shù)據(jù)離散生成刀具路徑.但當(dāng)實(shí)際加工過程中所需的精度要求低于CAM系統(tǒng)時(shí),加工路徑上會(huì)產(chǎn)生冗余的指令點(diǎn).因此,在輪廓誤差允許的范圍內(nèi),將冗余點(diǎn)去除掉,可以有效減少加工數(shù)據(jù),在保證加工質(zhì)量的基礎(chǔ)上,提高加工速度.

圖3 冗余點(diǎn)間除示意圖Fig.3 Reduction of the command points

如圖3,Pn到Pm為待加工點(diǎn),Pi(n

2.3 過渡模型

圖4為相鄰線段PnPm與PmPq的過渡模型,點(diǎn)Pi(n

圖4 圓弧過渡模型Fig.4 Circle transition method

2.4 圓弧半徑初始值的確定

由公式(1)、(2)確定系統(tǒng)在PmPn、PmPq方向上允許的最大誤差erroPmPn、erroPmPq,則系統(tǒng)在∠PnPmPq的平分線PmO方向上允許的最大誤差為erroPmO,其值如下公式(7)所示:

erroPmO=min(2erroPmPnsinθ,2erroPmPqsinθ)

(7)

在圖4中,有如下公式成立

(8)

erromax為系統(tǒng)在PmO方向上所允許的最大輪廓誤差,即erroPmO,將erroPmO帶入公式(8)可得過渡圓弧的半徑r,如下公式所示:

r=tanθLpmQ1

(9)

其中,

LpmQ1_1=cosθ/(1-sinθ)erroPmO

LpmQ1_2=min(Lpmpq/2,Lpnpm/2)

LpmQ1=min(LpmQ1_1,LpmQ1_2)

2.5 半徑的修訂

定理:PmPn,PmPq為相鄰線段,PmPn,PmPq方向上系統(tǒng)允許的最大輪廓誤差分別為erroPmPn,erroPmPq,平分線PmO方向上系統(tǒng)允許的最大輪廓誤差值為erroPmO,由erroPmO確定的過渡圓弧圓心為O,則在圓弧插補(bǔ)過程中產(chǎn)生的輪廓誤差,符合系統(tǒng)對(duì)軸向誤差的要求.

證明:圖5為圓弧插補(bǔ)模型,P6為PmO與圓弧的交點(diǎn),當(dāng)前插補(bǔ)點(diǎn)為P5,作P5P2平行于PmPq交PmPn于P2.

線段P5P2的長度LP5P2,LP5P2為當(dāng)前插補(bǔ)點(diǎn)的輪廓誤差在PmPq方向上的分量,如下所示:

LP5P2=LP5P3/sinα

當(dāng)插補(bǔ)點(diǎn)在點(diǎn)P4、P6間的圓弧上由P6向P4移動(dòng)時(shí),LP5P3逐漸減小,α保持不變,因此LP5P2減小,符合系統(tǒng)軸向輪廓誤差的要求.

圖5 輪廓誤差示意圖Fig.5 Illustration of machining error

線段P1P2的長度LP1P2,LP1P2為當(dāng)前插補(bǔ)點(diǎn)的輪廓誤差在PmPn方向上的分量,如下所示:

LP1P2=LP5P3/(1/sinβ-1/sinα)

當(dāng)插補(bǔ)點(diǎn)在點(diǎn)P4、P6間的圓弧上由P6向P4移動(dòng)時(shí),LP5P3、β逐漸減小,α保持不變,因此LP1P2減小,符合系統(tǒng)軸向輪廓誤差的要求.

同理,可證當(dāng)插補(bǔ)點(diǎn)在點(diǎn)P7、P6間的圓弧上,插補(bǔ)的輪廓誤差符合系統(tǒng)要求.

推論:Pm-1為間除點(diǎn),當(dāng)插補(bǔ)過程中PmO、Pm-1O處的輪廓誤差滿足系統(tǒng)要求時(shí),由線段PmPm-1產(chǎn)生的輪廓誤差滿足系統(tǒng)要求.

證明:直線OP8垂直PmPm-1交PmPm-1于P8,交過渡圓弧于P9.由定理知,當(dāng)插補(bǔ)過程中PmO、Pm-1O處的輪廓誤差滿足系統(tǒng)要求時(shí),點(diǎn)P6、P9間的過渡圓弧以及點(diǎn)P10、P9間的過渡圓弧在插補(bǔ)過程中產(chǎn)生的輪廓誤差,符合系統(tǒng)對(duì)軸向誤差的要求,推論得證.

由定理的推論可知,當(dāng)過渡圓弧滿足PmO方向上的誤差要求時(shí),由于冗余點(diǎn)的存在,Pi(n

1)對(duì)PnPm間的冗余點(diǎn)進(jìn)行檢查,從當(dāng)前點(diǎn)Pi(i=m-1)開始,直到點(diǎn)Ps為止,Ps滿足∠PsOPm≤∠Q1OPm且∠Q1OPm≤∠Ps+1OPm.

圖6 過渡圓弧半徑修訂示意圖Fig.6 Adjustment of the transition circle

(10)

(11)

4)如果i≥s轉(zhuǎn)(2),否則結(jié)束PnPm間的冗余點(diǎn)進(jìn)行檢查,轉(zhuǎn)(5).

5)對(duì)PmPq間的冗余點(diǎn)進(jìn)行檢查,方法如同(1)、(4),不同之處在于,每次調(diào)整過渡圓弧半徑后需要再次對(duì)PmPn間的冗余點(diǎn)進(jìn)行檢查,直到檢查完畢.

3 實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證算法的性能,采用SMTCL VMC850E加工中心對(duì)圖7(a)所示的刀具路徑進(jìn)行加工.

試驗(yàn)中輸入的初始路徑如圖7(a)示,包含59個(gè)指令點(diǎn).間除冗余點(diǎn)前加工路徑包含117個(gè)路徑段,在間除冗余點(diǎn)后含有89個(gè)路徑段,間除冗余點(diǎn)減少了加工路徑的數(shù)據(jù)量.圖7(b)為實(shí)際加工結(jié)果,未間除冗余點(diǎn)時(shí),加工用了294ms,間除冗余點(diǎn)后用了196ms,間除冗余點(diǎn)算法減少了加工時(shí)間.

圖7 加工實(shí)驗(yàn)Fig.7 Experiments

將圖7(b)中矩形所示的區(qū)域放大,結(jié)果如圖8所示,可以看出間除冗余點(diǎn)后,工件的加工質(zhì)量更高.這是由于間除冗余點(diǎn)后加工路徑的數(shù)據(jù)量減少、單條路徑的長度增長,平滑的加工速度減少了刀具振動(dòng),提高了加工質(zhì)量.

圖8 局部加工結(jié)果放大圖Fig.8 Enlarged experimental results

記錄圖7(a)對(duì)應(yīng)刀具路徑在加工過程中得到的數(shù)據(jù),得到表1和表2.

表1 加工路徑數(shù)據(jù)量對(duì)比
Table 1 Comparison of the information of tool path

加工數(shù)據(jù)初始加工路徑段數(shù)間除冗余點(diǎn)前路徑段數(shù)間除冗余點(diǎn)后路徑段數(shù)加工數(shù)據(jù)減少率圖7(a)591178923.9%

表2 加工時(shí)間對(duì)比
Table 2 Comparison of machining time

加工數(shù)據(jù)間除冗余點(diǎn)前加工時(shí)間/ ms間除冗余點(diǎn)后加工時(shí)間/ ms效率提升率圖7(a)2592175432.3%

從表1中數(shù)據(jù)的對(duì)比可以看出,間除冗余點(diǎn)算法可以有效減少加工路徑的數(shù)據(jù)量.從表2中數(shù)據(jù)的對(duì)比可以看出,加工路徑數(shù)據(jù)量的減少,提高了速度規(guī)劃效率,減少了加工時(shí)間.

實(shí)驗(yàn)證明,基于軸向誤差進(jìn)行冗余點(diǎn)間除的小線段過渡算法能有效減少加工時(shí)間,提高加工質(zhì)量.

4 結(jié) 論

1)提出的輪廓誤差計(jì)算方法和冗余點(diǎn)間除方法,在保證加工精度的基礎(chǔ)上,可有效地減少待加工路徑的數(shù)據(jù)量.

2)以基于軸向誤差的圓弧軌跡規(guī)劃方法和基于冗余點(diǎn)的圓弧參數(shù)調(diào)整方法為基礎(chǔ),進(jìn)行加工路徑規(guī)劃,可以有效減少加工時(shí)間,提高加工效率和加工質(zhì)量.