例談中考“圓”的問題

肖 健

圓是初中平面幾何中的重要內容，也是中考的重點內容.下面我們就一起來看下這部分內容常見的考點.

考點一：圓有關概念

主要考查圓及其有關概念，如弦、弧、圓心角、等圓、等弧的概念.

例1（2016·山東濰坊）木桿AB斜靠在墻壁上，當木桿的上端A沿墻壁豎直下滑時，木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動.下列圖中用虛線畫出木桿中點P隨之下落的路線，其中正確的是（ ）.

【解析】連接OP，顯然OP是Rt△AOB斜邊上的中線，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得OP=AB.由于木桿不管如何滑動，長度都不變，所以OP長為定值，所以P點就在以O為圓心的圓弧上.故選：D.

【點評】此題很靈活地考查了圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫圓.木桿AB在運動過程中，位置是變化的，但其中P點到O點的距離保持不變.

考點二：圓的有關性質

主要考查圓的中心對稱性、旋轉不變性和軸對稱性、垂徑定理的使用.

例2（2017·青海西寧）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦 CD 交 AB 于點 P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，則CD的長為（ ）.

圖1

【解析】如圖2，連接OC，作OH⊥CD于H.

圖2

在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，

【點評】結合條件，首先應該想到垂徑定理，作出垂線段是解決本題的關鍵.圓中求半徑長、弦長或弦心距，通常要綜合使用垂徑定

∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，

∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA-AP=2，

在Rt△OPH中，

∵∠OPH=∠APC=30°，理、勾股定理、三角函數等知識.

考點三：圓周角概念、圓周角定理（推論）、圓的內接四邊形性質定理

例3（2017·湖北荊州）如圖3，A，B，C是⊙O上的三點，且四邊形OABC是菱形.若點D是圓上異于A，B，C的另一點，則∠ADC的度數是

圖3

圖4

【解析】如圖4，連接OB，

易知AB=OA=OB=BC，

∴△AOB是等邊三角形，

∴∠AOC=120°，

∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°.

故答案為60°或120°.

【點評】此題考查了圓周角定理和圓的內接四邊形的性質定理.由于D點位置不確定，所以要進行分類討論.分類討論思想的滲透是本題的亮點.

考點四：直線與圓的位置關系

主要考查直線是圓的切線的判定條件、直線與圓相切的性質.

例4（2017·浙江衢州）如圖5，在直角坐標系中，⊙A的圓心A的坐標為（-1，0），半徑為1，點P為直線y=x+3上的動點.過點P作⊙A的切線，切點為Q，則切線長PQ的最小值是

圖5

圖6

【解析】如圖6，作PQ相切⊙A于點Q，連接AP，

∵PQ是⊙O的切線，

∴PQ⊥AQ，∴∠PQA=90°，

∴在Rt△APQ中，PQ2=AP2-AQ2=AP2-1，

∴當AP最小，即AP⊥BC時，PQ最小.

又∵由直線解析式可得C（4，0），B（0，3），

∴BC=5.

∵A（-1，0），

∴AC=5=BC.

又∵∠C=∠C，

∠APC=∠BOC=90°，

易證△CBO≌△CAP，

∴AP=3，∴PQ=2 2.

【點評】此題考查了切線的性質.連接圓心與切點是一條常用輔助線，由此構造出的直角三角形廣泛應用于圓的證明和計算中.

例5（2016·湖北荊門）如圖7，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，點F是DA延長線的一點，AC平分∠FAB交⊙O于點C，過點C作CE⊥DF，垂足為點E.求證：CE是⊙O的切線.

圖7

【解析】證明：如圖8，連接CO.

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠FAB，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC‖FD.∵CE⊥DF，∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線.

圖8

【點評】此題考查了切線的判定.證明切線的常用方法有兩種：當已知直線與圓有公共點時，常證明直線經過半徑的外端并且垂直這條半徑，即“連半徑，證垂直”；當題設中未給出直線與圓的公共點時，常證明直線到圓心的距離等于該圓的半徑，即“作垂直，證相等”.此題用的是第一種方法.

考點五：與圓有關的計算

主要考查弧長、扇形面積、弓形面積的計算，圓錐的側面積和全面積的計算.

例6（2016·江蘇蘇州）如圖9，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D，若∠A=∠D，CD=3，則圖中陰影部分的面積為

圖9

【解析】如圖10，連接OC.

圖10

∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，∴∠D+∠COD=90°，

∵AO=CO，∴∠A=∠ACO，

∴∠COD=2∠A，

又∵∠A=∠D，∴∠COD=2∠D，

∴3∠D=90°，∴∠D=30°，

∴∠COD=60°，

∵CD=3，∴OC=3tan30°=3 ，

∴陰影部分的面積=S△DCO-S扇OCB=

【點評】此題綜合性較強，涉及圓中較多的知識.陰影部分面積的求解關鍵是求出△OCD和扇形OCB的面積.一般情況下，不規則圖形面積通常使用割補法求解.

例7（2017·浙江杭州）如圖11，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1.把△ABC分別繞直線AB和BC旋轉一周，所得幾何體的底面圓的周長分別記作l1，l2，側面積分別記作S1，S2，則（ ）.

圖11

A.l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶2

B.l1∶l2=1∶4，S1：S2=1：2

C.l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶4

D.l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶4

【解析】△ABC分別繞直線AB和BC旋轉一周，所得幾何體都為圓錐體.

∴l1=2π×BC=2π，l2=2π×AB=4π，

∴l1∶l2=1∶2，

∵S1=π×1× 5= 5 π，S2=π×2×=2π，

∴S1∶S2=1∶2.故選：A.

【點評】此題關鍵是要認識到△ABC分別繞直線AB和BC旋轉一周，所得幾何體都為圓錐體，然后再應用圓錐的側面積公式解決即可.應用公式時，務必弄清楚母線長和底面圓半徑是否已知，如果不已知，則需求解后再用公式.