見圓思源 “圓”來這樣

武益燕

“圓”這一章的知識點較多，并且往往容易把知識點集合在一起，融合較多的其他知識，在中考中呈現(xiàn)的形式多樣，各種難易程度題目均會出現(xiàn).對于中、高難度題，同學(xué)們?nèi)菀滓姟皥A”色變.本文主要從以下幾方面分析近兩年有關(guān)圓的證明和計算，希望讓曾經(jīng)的不解之“圓”，化為今后的隨“圓”而安.

一、與圓有關(guān)的弧長和面積問題

例1（2018·江蘇鹽城）如圖1，左圖是由若干個相同的圖形（右圖）組成的美麗圖案的一部分.右圖中，圖形的相關(guān)數(shù)據(jù)：半徑OA=2cm，∠AOB=120°.則右圖的周長是 cm.

圖1

【解析】如圖2，由圖案的對稱性可知，合在一起可以看成是

所以，圖1右圖周長=2l?AB=2×

圖2

【點評】這里運用了相等弧的轉(zhuǎn)化思想.另外，本題考查了扇形的弧長公式.

例2（2017·江蘇無錫）如圖3，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分別以邊AD，BC為直徑在矩形ABCD的內(nèi)部作半圓O1和半圓O2，一平行于AB的直線EF與這兩個半圓分別交于點E，點F，且EF=2（EF與AB在圓心O1和O2的同側(cè)），則由，EF，?，AB所圍成圖形（圖中陰影部分）的面積等于

圖3

【解析】如圖4，連接O1O2，O1E，O2F，則四邊形O1O2FE是等腰梯形，過E作EG⊥O1O2，過F作FH⊥O1O2，∴四邊形EGHF是矩形.

∴∠O1EG=30°，

∴∠AO1E=30°，

同理∠BO2F=30°，

圖4

【點評】求不規(guī)則圖形的面積，常用直接法和間接法.直接法可以利用分割的思想；間接法可以用補圖的思想.本題考查了割補思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想以及扇形的面積公式.

二、與圓有關(guān)的性質(zhì)問題

例3（2018·浙江溫州）如圖5，D是△ABC的BC邊上一點，連接AD，作△ABD的外接圓，將△ADC沿直線AD折疊，點C的對應(yīng)點E恰好落在圓上.

（1）求證：AE=AB.

圖5

【解析】證明：（1）∵△ADC沿直線AD折疊，得到△ADE，

∴AE=AC，∠C=∠AED，

∵∠AED=∠ABC，∴∠C=∠ABC，

∴AB=AC，∴AE=AB.

解：（2）如圖6，過點A作AH⊥BE，垂足為H.

圖6

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓周角的性質(zhì)、垂徑定理、銳角三角函數(shù)、勾股定理.重點考查了相等線段、相等角的轉(zhuǎn)化思想.

三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系

例4 （2018·江蘇泰州）如圖7，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，P為線段上A′B′的動點，以P為圓心，PA′長為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與△ABC的邊相切時，⊙P的半徑為_______.

圖7

【解析】①如圖8，當(dāng)⊙P與AC邊相切時，切點為E.連接PE，則PE⊥AC.

圖8

在Rt△ABC中，

∴AB=13，BC=5.

△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)到△A′B′C，

∴A′C=12，B′C=5，A′B′=13.

設(shè)⊙P 半徑為 r，則 EP=r，PA′=r，B′P=13-r.

∵PE⊥AC，A′C⊥AC，∴PE‖A′C，

∴△B′EP∽ △B′CA′，

②如圖9，當(dāng)⊙P與AB邊相切時，延長A′B′交AB于點F.

∵∠A=∠A′，∠AB′F=∠A′B′C，

∴∠AFB′=∠B′CA′=90°，

∴PF⊥AB，∴F為切點.

圖9

設(shè)⊙P 半徑為r，則A′F=2r，

【點評】本題主要以三角形和圓為背景，考查了切線的性質(zhì).見切點，連半徑，得垂直，這是在切線問題中的常用方法.另外也考查了分類討論思想、方程思想以及同學(xué)們畫圖、分析圖形的能力.利用垂直，得出三角形的相似，是解決本題的關(guān)鍵.

例5（2017·江蘇鹽城）如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點D，AE平分∠BAC交邊BC于點E，經(jīng)過點A，D，E的圓的圓心F恰好在y軸上，⊙F與y軸相交于另一點G.

（1）求證：BC是⊙F的切線.

（2）若點A，D的坐標(biāo)分別為A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半徑.

（3）試探究線段AG，AD，CD三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖10

圖11

【解析】證明：（1）如圖11，連接FE.

∵AE平分∠BAC，

∴∠FAE=∠CAE，

∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，

∴∠FEA=∠CAE，

∴FE‖AC，

∴∠FEB=∠C=90°，

即BC是⊙F的切線.

解：（2）連接FD，設(shè)⊙F的半徑為r，

∵A（0，-1），D（2，0），在Rt△FOD中，F(xiàn)D2=FO2+OD2.

則r2=（r-1）2+22，

解：（3）AG=AD+2CD.

證明：作FR⊥AD于R，則∠FRC=90°，

又∠FEC=∠C=90°，

∴四邊形RCEF是矩形，

∴EF=RC=RD+CD，

∵FR⊥AD，

∴AR=RD，

【點評】本題重點考查了角平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、切線的判定、垂徑定理、勾股定理等知識，屬于圓的綜合題.