“圓”專題復習

張杭嫣

圓，是幾何圖形中最完美的圖形，也是初中幾何中不多見的曲線圖形.在這一章中，知識點眾多，很多同學學得較為吃力.本文通過一組例題來為大家梳理本章知識點，構建知識網絡.

知識點一：圓中的角——圓周角和圓心角

圓周角和圓心角是圓中兩類特殊的角，根據“同弧所對的圓周角是圓心角的一半”這條定理，可以將這兩類角進行互相轉換.

例1△ABC為⊙O的內接三角形，若∠AOC=160°，則∠ABC的度數是（ ）.

A.80° B.160°

C.100° D.80°或100°

【分析】首先根據題意畫出圖形.如圖1，畫圖時要特別注意，△ABC可能為銳角三角形，也可能為鈍角三角形，因此要對點B在優弧和劣弧上兩種情況加以分析，由圓周角定理即可求得∠ABC的度數，再根據圓的內接四邊形的性質，可求得∠AB′C的度數.

解：如圖1，∵∠AOC=160°，

圖1

∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°.

∴∠ABC的度數是：80°或100°.

故選：D.

【點評】看到圓中的角，我們往往要根據圖形先分析：這是圓周角，還是圓心角？利用哪條弧可以進行轉化？同時在沒有圖形或點在圓周上運動時，我們也要進一步思考：答案是不是唯一的？有沒有不同于此時的情況？要注意數形結合與分類討論思想的應用，注意別漏解.

例2 如圖2，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，分別連接AC，BC，CD，OD.若∠DOB=140°，則∠ACD=（ ）.

圖2

A.20° B.30° C.40° D.70°

【分析】根據條件“AB是⊙O的直徑”，我們能輕松得到∠ACB=90°，再根據圓周角定理，由∠DOB求出∠DCB的度數，從而求解.

解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠DOB=140°，

∴∠DCB=70°，

∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=20°.

故選：A.

【點評】圓中我們可以常見到兩類特殊三角形：當出現兩條相等的半徑時，我們就找到了等腰三角形；當出現直徑時，我們利用“直徑所對的圓周角是直角”，就可以找到直角三角形.

知識點二：圓中的弦——垂徑定理

例3如圖3，AD是⊙O的直徑，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，則OC= .

圖3

【分析】根據條件弦BC⊥AD，我們找到了垂徑定理的條件，求得BC=6，進一步在Rt△ABE中，求出特殊角度30°，再將30°角轉化到Rt△COE中，從而求解OC的長度.

∵AB=12，

∴Rt△ABE中，∠A=30°，

∴∠COE=2∠A=60°，

∴Rt△COE中，OE=2 3 ，OC=4 3.

【點評】垂徑定理結論中的“平分”既能產生邊的結論，又能通過弧產生角的結論，結合垂徑定理中的直角，是一個很好的基礎模型.

例4如圖4，⊙O直徑AB和弦CD相交于點E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD的長.

圖4

【分析】過O作OF垂直于CD，連接OD，利用垂徑定理得到F為CD的中點，由AE+EB求出直徑AB的長，進而確定出半徑OA與OD的長，由OA-AE求出OE的長，在直角三角形OEF中，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出OF的長，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的長，由CD=2DF即可求出CD的長.

解：過點O作OF⊥CD，OF交CD于點F，連接OD，如圖5.

圖5

在Rt△OFD中，OF=1，OD=4，

根據勾股定理得：

【點評】圓中已知弦，要求弦長的問題，我們可以嘗試用構造垂徑定理的直角三角形來解決，而本題中的30°角又提供了一個更特殊的直角三角形，進而可以綜合解題.

知識點三：圓中的線——切線

例5如圖6，AC是⊙O的直徑，PB切⊙O于點D，交AC的延長線于點B，且∠DAB=∠B.

∴F為CD的中點，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，

∴AB=AE+EB=2+6=8，

∴OA=4，∴OE=OA-AE=4-2=2，

在Rt△OEF中，∠DEB=30°，

圖6

（1）求∠B的度數；

（2）若BD=9，求BC的長.

【分析】由PB為圓的切線，利用切線性質，得到PB與OD垂直，在△ODB中，利用三角形的內角和定理即可求出∠B的度數，進一步可求出線段BC的長.

解：（1）連接OD.

∵PB切⊙O于點D，∴OD⊥PB

∵OA=OD，

∴∠COD=2∠A，而∠A=∠B，

∴∠COD=2∠B，

∴在Rt△BOD中，∠B=30°.

（2）∵在Rt△BOD中，BD=9，

【點評】切線是圓中過圓上一點的一條特殊的線，“見切線，找半徑，得垂直”，因此，利用切線，我們可以輕松地找到直角三角形，進一步結合勾股定理等綜合解題.

例6如圖7，以△ABC的BC邊上一點O為圓心作⊙O，⊙O經過A，C兩點且與BC邊交于點E，點D為CE的下半圓弧的中點，連接AD交線段EO于點F，若AB=BF.

圖7

（1）求證：AB是⊙O的切線；

【分析】求證圓的切線，在直線與圓有公共點時即轉化為求證直角，從而產生輔助線AO；證出的直角又為求解（2）中的sinB提供了條件，（2）中突破點為“點D為CE的下半圓弧的中點”，從而產生Rt△DOF.

證明：（1）連接OA，OD.

∵點D為CE的下半圓弧的中點，

∴OD⊥BC，∴∠EOD=90°，

∵AB=BF，OA=OD，

∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，

而∠BFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠OFD=90°，

即∠OAB=90°，∴OA⊥AB，

∴AB是⊙O切線.

解：（2）OF=CF-OC=4-r，OD=r，DF=，

在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2，

解得r1=3，r2=1（舍去），∴半徑r=3，

∴ OA=3，OF=CF-OC=4-3=1，BO=BF+FO=AB+1.

在Rt△AOB中，AB2+OA2=OB2，

∴AB2+32=（AB+1）2，

【點評】求證切線時，我們要判斷這條直線與圓有無公共點，有公共點時，我們“找半徑，證垂直”，無公共點時，我們“作垂直，證半徑”.要學會運用切線產生的直角三角形進行綜合解題.

知識點四：內切圓與外接圓

例7在△ABC中，∠A=50°，

（1）若點O是△ABC的外心，則∠BOC=__.

（2）若點O是△ABC的內心，則∠BOC=__.

【分析】從定義入手，我們可以得到，外心是三角形三邊垂直平分線的交點，進而根據圓周角定理求解；而內心是三角形三個內角角平分線的交點，從而根據角平分線及三角形內角和定理綜合解題.

解：（1）∵點O是△ABC的外心，

∴∠BOC=2∠A=100°.

圖8

（2）∵△ABC中，∠A=50°.

∴∠BOC=180°-65°=115°.

【點評】此題考查了內心、外心兩個基本定義，我們要根據題意畫出符合題意的草圖，抓住定義，綜合運用圓周角、三角形內角和等知識解題.

例8如圖10，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的內切圓，它與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F.

圖9

∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，

∵點O是△ABC的內心，

∴OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB，

圖10

（1）求證：BE=CE；

（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半徑.

【分析】（1）根據條件“⊙O是△ABC的內切圓”，我們可以利用切線長定理，證得BE=CE；（2）若∠A=90°，再加上切線產生的兩個直角，我們可以證得四邊形ODAF是矩形，進一步證得四邊形ODAF是正方形，從而求解.

證明：（1）∵⊙O是△ABC的內切圓，切點為D，E，F，見圖11.

圖11

∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，

∵AB=AC，∴AB-AD=AC-AF，

即BD=CF，∴BE=CE.

解：（2）連接OD，OF.

∵⊙O是△ABC的內切圓，切點為D，E，F，

∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，

∴四邊形ODAF是矩形，

又∵OD=OF，∴四邊形ODAF是正方形.

設OD=AD=AF=r，則BE=BD=CF=CE=2-r.

在△ABC中，∠A=90°，

又∵BC=BE+CE，

【點評】在出現內切圓條件時，我們既可以直接使用切線的性質，又可以組合兩條切線，使用切線長定理，還可以使用內心等結論，因此，要根據題目要求靈活運用.

例9圖12是一塊△ABC余料，已知AB=20cm，BC=7cm，AC=15cm，現將余料裁剪成一個圓形材料，則該圓的最大面積是_________.

圖12

【分析】當該圓為三角形內切圓時面積最大.設內切圓半徑為r，則該三角形面積可表示為：·r·（AB+BC+AC）=21r.若作BC邊上的高AD，三角形的面積公式可表示為·BC·AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形ABC的面積，從而可得r，求得圓的面積.

解：如圖13所示，

圖13

圖14

過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D，如圖 14，設 CD=x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：

AD2=AB2-BD2=400-（7+x）2，

在Rt△ACD中，AD2=AC2-x2=225-x2，

∴400-（7+x）2=225-x2，

解得：x=9，∴AD=12，

∴21r=42，∴r=2.

∴該圓的最大面積為：

S=πr2=π·22=4π（cm2）.

【點評】本題中我們把內切圓與面積進行結合，通過內切圓構造出3個垂直，進一步構造高線，用面積法列出了基本算式.用面積來求內切圓半徑也是一個基本方法.

知識點五：弧長與扇形面積

例10 現有一張圓心角為108°，半徑為40cm的扇形紙片，小紅剪去圓心角為θ的部分扇形紙片后，將剩下的紙片制作成一個底面半徑為10cm的圓錐形紙帽（接縫處不重疊），則剪去的扇形紙片的圓心角θ為

圖15

【分析】已知圓錐形紙帽底面半徑是10cm，則展開圖扇形的弧長是20πcm.根據弧長公式l=nπr÷180，就可以知道剪后的扇形圓心角度數，從而求出θ.

解得：n=90°.

∵原始扇形彩紙片的圓心角是108°，

∴剪去的扇形紙片的圓心角為108°-90°=18°.故答案為：18°.

【點評】本題綜合考查扇形和圓錐的相關計算.解題思路：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長.正確對這兩個關系進行記憶是解題的關鍵.

例11如圖，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直線l上繞其右下角的頂點B向右旋轉90°至圖①位置，再繞右下角的頂點繼續向右旋轉90°至圖②位置……以此類推，這樣連續旋轉2015次后，頂點A在整個旋轉過程中所經過的路程之和是（ ）.

圖16

A.2015π B.3019.5π

C.3018π D.3024π

【分析】首先求得每一次轉動的路線的長，發現每4次一循環，找到規律然后計算即可.

解：轉動一次，A的路線長是：2π；轉動第二次，A的路線長是：轉動第三次，A的路線長是：；轉動第四次，A的路線長是：0；轉動第五次，A的路線長是：

以此類推，每4次一循環，故頂點A轉動4次經過的路線長為：4=503余3，頂點A轉動2015次經過的路線長為：6π×504=3024π.故選：D.

【點評】本題主要考查了弧長公式的運用和探索規律問題.第一步，列舉出前面若干次的計算結果；第二步，尋找出循環的周期或前n次呈現的規律；第三步，歸納，根據周期或規律尋找題目答案.其中，發現規律是解決問題的關鍵.