學好“圓”的幾個抓手

周進榮

與三角形、四邊形一樣，圓是“空間與圖形”的主要研究對象，也是基本的平面圖形.本章在基本的直線形——三角形、四邊形等基礎上，進一步研究一個基本的曲線形——圓，它有很多新的知識點，這些知識點與前面的知識是緊密聯系的.因此，同學們在解題時需結合直線形中的定理、法則，先由條件對圖形有比較好的“認識”，再結合已有的經驗，聯想相關知識，分析隱含條件，將問題化解為若干小問題，逐一解決.

一、知識考點

考點課標要求知識與技能目標掌握應用圓圓及其相關概念弧、弦、圓心角的關系，點與圓、直線與圓的位置關系圓周角和圓心角的關系，直徑所對圓周角的特征三角形的內心和外心，正多邊形概念及正多邊形與圓的關系切線的概念，探索切線與過切點的半徑的關系會判定圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線，垂徑定理計算弧長和扇形的面積，會計算圓錐的側面積和表面積了解 √ √ √ √理解 √√ √

二、幾個抓手

1.抓住兩個角.

圓心角、圓周角猶如圓中的一對“雙胞胎”，形影不離，且同弧或等弧所對的圓周角是圓心角度數的一半.

例1 如圖1，已知⊙O的直徑為8cm，A、B、C三點在⊙O上，且∠ACB=30°，則AB長為（ ）.角，它等于所對的圓心角度數的，所以

圖1

【分析】如圖2，∠ACB是所對的圓周連接AO、BO，則∠AOB=60°，又因為AO、BO是半徑，可得△AOB為等邊三角形.

【解答】如圖2，連接AO、BO.

圖2

故選：B.

【點評】在圓中，圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等，此外，圓內接四邊形的對角互補（或圓內接四邊形的外角等于和它相鄰內角的對角）.

2.抓住兩個垂直.

圓中有兩個隱性垂直：直徑所對的圓周角為直角；切線垂直于半徑.挖掘這兩種垂直關系，可以有效地把許多問題轉化到直角三角形中，使問題得以解決.

例2 如圖3，已知在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AC=8，BC=6.則⊙O的面積為 .

∵∠ACB=30°，

∴∠AOB=60°.

又∵AO=BO，

∴△AOB為等邊三角形.

圖3

【分析】如圖3，要求⊙O的面積，只要求出⊙O的半徑即可.由AB是⊙O的直徑，可知∠ACB=90°，再根據勾股定理，可求出直徑AB的長，從而求得⊙O的面積.

【解答】∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵AC=8，BC=6.

∴⊙O的半徑為5，

則⊙O的面積為：π×52=25π.

【點評】圓中的直徑與90°的圓周角是緊密聯系在一起的.若有直徑，則要想到直徑所對的圓周角是直角；若有90°的圓周角，往往需要作出90°的圓周角所對的弦（即直徑）.

3.抓住兩種關系.

點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系是圓中常見的兩種位置關系，特別是當直線和圓相切時，要重點掌握切線的判定和性質定理.

例3 如圖4，⊙O的半徑為3cm，B為⊙O外一點，OB交⊙O于點A，AB=OA.動點P從點A出發，以πcm/s的速度在⊙O上按逆時針方向運動，運動一周回到點A立即停止.當BP與⊙O相切時，點P運動的時間為（ ）.

A.1s B.3s

C.5s D.1s或5s

圖4

【分析】要求點P運動的時間，必須找出點P所在的位置.當BP與⊙O相切時，如圖5情形.考慮到運動的全過程，當點P運動到點P關于OB的對稱點P′位置時，BP′與⊙O也相切，因此要考慮兩種情形.

圖5

【解答】如圖5，連接OP，若BP與⊙O相切，則∠OPB=90°.

由AB=OA可知，

所以∠B=30°，∠BOP=60°.

此外，考慮到運動的全過程，顯然，當點P運動到關于OB的對稱點P′位置時，BP′與⊙O也相切.

∴點P運動到P′位置需要5s.

綜上，點P運動的時間為1s或5s.

故選：D.

【點評】當直線和圓相切時，切線垂直于經過切點的半徑，此時往往需要連接切點和圓心，得到圓的半徑，再去解直角三角形.另外，過圓外一點畫圓的切線，一般有兩條.

4.抓住兩大定理.

圓中的計算“豐富多彩”，有關于線段、角的計算，扇形及陰影面積的計算以及圓柱、圓錐側面展開圖的計算，在實際問題中往往要用到垂徑定理和勾股定理.

例4如圖6，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，則OF的長度為（ ）.

圖6

【分析】如圖6，因為OF⊥BC于F，根據垂徑定理，可知F是BC的中點，又因為點O是AC的中點，所以OF是△ABC的中位線，則OF的長度等于AB的長度的

【解答】如圖7，連接AB.

圖7

又∵AE=2cm，

故選：D.

【點評】垂徑定理是圓中最重要的一個定理，它將線段的位置關系轉化為數量關系，另外，圓中常常添加與垂徑定理相關的輔助線、與切線有關的輔助線，這些都構成了直角三角形這個基本圖形，所以勾股定理的運用在問題的解決中往往發揮不可替代的作用.

5.抓住兩個特征.

在平面幾何中，同學們常常想到的是構造直線形輔助線轉化條件，從而利用三角形、四邊形的知識解決問題，但這樣的話，輔助線的添加就局限在了直線形，實際上曲線形輔助線在一些特定條件下，更有利于條件集中.輔助圓是曲線形輔助線的代表，利用輔助圓，會讓圖形的條件更豐富.

那什么時候需構造輔助圓？怎樣構造輔助圓？需要抓住題目中兩個顯著的特征.

例5如圖8，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=26°，∠CAD=74°，則∠BDC=______°，∠DBC=_____°.

圖8

又∵OF⊥BC于F，

根據垂徑定理，知F是BC的中點，

又∵點O是AC的中點，

∴OF是△ABC的中位線，

【分析】如圖8，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，B、C、D三點到點A的距離相等，所以B、C、D三點共圓，因此想到構造輔助圓⊙A.

【解答】如圖9，以A為圓心，AB為半徑畫37°.

圖9

【點評】當遇有公共端點的等線段長時，通常以公共端點為圓心，等線段長為半徑構造輔助圓，再利用圓周角和圓心角的關系解題.

例6如圖10，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內部的一動點，且滿足∠PAB=∠PBC.則線段CP長的最小值為（ ）.

圖10

【分析】如圖10，在Rt△ABC中，AB⊥BC，所以∠ABC=90°，所以∠ABP+∠PBC=90°，又因為∠PAB=∠PBC，所以∠PAB+∠ABP=90°，則∠P=90°，所以動點P在以AB為直徑的圓上，且在△ABC內部，如圖11所示.

圖11

【解答】如圖12，以AB為直徑畫⊙O，連接OC交⊙O于點P′，當點P在OC上的P′位置時，CP長最小，此時CP=CP′=OC-OP′=

故選：B.

圖12

【點評】在動點問題中，當動點所在頂點的角是90°時，利用90°的圓周角所對的弦是直徑，可以以斜邊為直徑構造輔助圓，像這樣的輔助圓在研究幾何最值問題時具有舉足輕重的作用.如果將題目中“P是△ABC內部的一動點”改為“P是平面內一動點”，而其余條件不變，我們還能求出線段CP長的最大值.同學們不妨動筆算算看.