基于Hermite多項式插值的Bézier曲線的擴展

李喆裕 崔同勤 劉萬

摘 要： Bézier曲線在計算機輔助繪圖具有廣泛的應用，普通的Bézier曲線僅經過起始兩點，對于需要通過某一確定點的情況則需要大量計算才能確定其控制點，針對這一問題，利用Hermite多項式插值，運用承襲法構造參數方程，得到一種既能通過起始兩點，也能通過任意指定點的光滑曲線。

關鍵詞： Bézier曲線；Hermite多項式插值；計算機輔助繪圖

0 引言

計算機輔助繪圖目前有著廣泛應用，已成為計算機輔助設計的基礎。Bézier曲線已經在計算機輔助繪圖中大量應用，是計算機輔助繪圖中應用的最多的基本線條之一，對于普通的Bézier曲線，其經過起始兩點，并通過不同的控制點，以控制曲線走向，但不經過控制點。在繪圖者希望曲線經過特定點時，需要進行計算才能確定Bézier曲線的控制點，這樣就加大了繪圖者的運算量。針對這一問題，本文提出了可經過任意指定點的曲線。

本文以A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3） 和D（x4，y4）四點來控制曲線為例，說明曲線的確定過程。其中A為曲線的起點，D為曲線的終點，B和C為控制點。曲線在起點A處，以AB方向為切線方向，在終點D處，以CD方向為切線方向

1. Bézier曲線

1.1 Bézier曲線的建立

構造的曲線不需要經過所有的點，在起點和終點確定之后，通過選取一些控制點，由這些控制點來調整曲線的變動情況，這就是Bézier曲線。[1]

三階Bézier曲線的一般方程為

………………..（1）[2]

將Bézier曲線的方程參數化，三階Bézier曲線必為三次方程，將其系數替換后，得到方程（2）

………………..（2）

2.2 Hermite多項式插值曲線繪制

若假設四個點為A（1，1），B（1，3），C（3，3） 和D（2，2）代入參數方程中。得到參數方程（3）

………………………..（3）

用MATLAB繪制圖像如圖1

圖中曲線即為上述方程所確定的Bézier曲線，兩直線為起始兩點的切線。由圖得，該Bézier曲線的為不經過控制點B、C的光滑曲線。

2. Hermite多項式插值構造曲線

2.1 Hermite多項式插值構造曲線

若要經過兩控制點，且保證在兩端點處的相切條件，需要兩端點的導數值與AB線段、CD線段的斜率值相等，這就是Hermite插值問題。在Hermite插值中有兩種構造方法——承襲法和基函數法，兩種方法結果相同。在此處我們運用承襲法構造參數方程。Hermite多項式插值方程為

…………………..（4）

其中Ln-1（X）為Lagrange插值多項式。[3]此時n=4，H（x）的最高次冪為5，將此方程轉換為參數方程（5）（式中ti，tj為定義域中的任意值）

……………….（5）[4]

可化簡為一個五次參數方程組

………………（6）

2.2 Hermite多項式插值曲線繪制

將四個點A（1，1），B（1，3），C（3，3），D（2，2）代入參數方程（6）中。當ti，tj=0， ，1，時，得到參數方程（7）

……………………（7）

用MATLAB繪制圖像如圖2，圖中曲線即為上述方程所確定的曲線，兩直線為起始兩點的切線。由圖得，該曲線的為經過控制點B、C的光滑曲線。

當ti，tj取其它定義域中的值時，得到曲線與圖中曲線完全相同。

3.兩曲線關系

利用Hermite插值求得的曲線只經過A、D兩點時，曲線為一個一次方程。當利用承襲法，使曲線滿足起止點的相切條件時，得到Hermite插值多項式方程為一個三次方程，Bézier曲線亦為三次方程，該方程與Bézier曲線滿足的條件相同，利用上面所給的數據，計算得Hermite插值多項式方程為

其與普通Bézier曲線的方程完全相同。也就是說在某些條件下，利用Hermite插值多項式得到的曲線可以轉變成Bézier曲線，也可以說，Bézier曲線是Hermite插值多項式的一種特例。

總結

本文針對普通Bézier曲線無法經過中間指定點的問題，利用Hermite插值多項式構造了一種可經過任意指定點的光滑曲線。其實質是對Bézier曲線的一種限定，當無需通過指定點時，該曲線與普通Bézier曲線，即可以認為Hermite插值多項式構造的Bézier曲線是Bézier曲線的一種特殊情況。在計算機輔助繪圖中，Hermite插值多項式構造的Bézier曲線既能用于不過特定點的條件，也可用于通過特定點的情況，應用范圍比普通Bézier曲線更廣。

參考文獻

[1] 蔣爾雄，趙風光等，數值逼近[M]，復旦大學出版社，2008，49-60.

[2] 徐雨明，文雙春.Bézier曲線遞歸分割算法的研究[J].衡陽師范學院學報，2007（06）：113-115.

[3] 司守奎，數學模型算法與應用[M]，國防工業出版社，2011，180-181.

[4] 劉國祥.參數型拉格朗日插值公式[J].赤峰學院學報（自然科學版），2016，32（07）：21-22.