新課標視角下的數學引言課教學

丁菁 劉明

摘 要：根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》的基本理念和要求，教師要特別重視“課程內容”中各個主題或單元的引言課教學。“不等式”主題的引言課圍繞三個根本的問題展開，在“為什么”中提升學生的抽象能力與建模能力，在“是什么”中培養學生的問題意識與探究能力，在“怎么辦”中發展學生的整體觀念與元認知能力，并特別注意讓學生浸潤在數學文化中，獲得豐富的數學活動經驗。

關鍵詞：課標理念 引言課 不等式

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（即“新課標”）在“學科核心素養與課程目標”中指出：“數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現……在學習數學和應用數學的過程中，學生能夠發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養。”在“課程結構”中指出：“數學文化融入課程內容……數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動。”又在“教學建議”中指出：“學生數學學科核心素養水平的達成不是一蹴而就的，具有階段性、連續性、整合性等特點。教師應理解不同數學學科核心素養水平的具體要求，不僅關注每一節課的教學目標，更關注主題、單元的教學目標……

在教學活動中，應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，用恰當的數學語言描述問題，用數學思想、方法解決問題……教師要

以學科核心素養為導向，抓住函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動等內容主線，明晰數學學科核心素養在內容體系形成中表現出的連續性和階段性，引導學生從整體上把握課程，實現學生數學學科核心素養的形成與發展。”

根據這些理念和要求，教師要特別重視“課程內容”中各個主題或單元（或相應教材中各個章節）的引言課（開啟、引領相應主題或單元教學的第一課時）教學：整體把握數學內容，讓學生了解數學的結構體系及其分支之間的關系，理解數學的本質；充分滲透數學文化，讓學生了解數學的發展歷程及其與人類生活和社會發展的關系，感悟數學的價值。從而更好地激發學生的數學學習興趣，開拓學生的數學學科視野，培養學生的數學學科核心素養，提升學生的科學精神、應用意識以及人文素養。

一、引言課的設計思路

除了實現上述課標理念和要求之外，引言課還具有先行組織的作用，旨在勾勒相關內容的研究藍圖，促進學生的后續學習。因此，引言課的設計應該重視總體立意，弱化具體內容，也就是說引導學生明確研究的方向，感悟研究的方法，而對具體內容點到即止。可見，引言課更豐富地彰顯了特定內容的文化價值。

具體來說，我們可以圍繞“為什么（why）”“是什么（what）”“怎么辦（how）”這三個根本的問題設計引言課的教學：展現相應主題或單元內容的起源和作用，滲透相應主題或單元的核心概念與結論及其結構與關系，揭示相應主題或單元的重要思想方法（基本研究套路），讓學生大致整體地認識為什么學（研究價值）、學什么（研究內容）、如何學（研究方法），從而激發學生的學習動力，使得學生能夠從已有的知識、經驗出發，主動地獲取新的知識，形成新的經驗，發展認知水平。

總體而言，引言課可分為三類：知識層面的引言課、方法層面的引言課和文化層面的引言課。我們可以根據具體內容，按知識發展、研究思想、知識應用、重要人物等線索進行教學設計。

二、引言課的教學案例：“不等式”

（一）教學過程

1.從生活到數學，感悟研究意義和價值。

（教師出示情境1和情境2。）

情境1 圖1所示為從南師附中到金陵中學的路線圖。從兩種公共交通出行方式的比較選擇中，感受生活中存在著相等關系和不等關系。

情境2 從氣溫的比較中，感受生活中存在著相等關系和不等關系。

師 從上述情境中，我們感受到生活中存在著相等關系和不等關系，你還能舉出例子嗎？

生 小賣部賣的兩種飲料，它們的容量都是350 mL，但是價格不一樣。

……

師 生活中我們經常要進行大小、多少的比較，因此相等關系和不等關系是大量存在的。

（教師出示情境3。）

情境3 圖2所示是2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標。圖3所示是我國古代數學家趙爽的弦圖。

師 可以看出，國際數學家大會會標上的圖案來源于我國古代數學家趙爽的弦圖。有同學知道趙爽設計弦圖的意圖是什么嗎？

生 證明勾股定理。

師 是的，非常好！你知道他是怎樣證明勾股定理的嗎？

生 我們可以用兩種方法計算大正方形的面積：一種是根據邊長直接計算，另一種是轉化成其中四個全等的直角三角形的面積和一個小正方形的面積之和。從而可以得到等式c2=4×12ab+（a-b）2，化簡得c2=a2+b2。

師 很好！那么如果只考慮大正方形的面積和四個直角三角形的面積，我們可以得到怎樣的關系呢？

生 a2+b2≥2ab。

師 何時取等號？

生 當且僅當a=b時取等號。

師 我們不僅可以從圖形上發現這個不等關系，而且可以從代數的角度證明這個不等關系成立：將（a-b）

2≥0展開、移項即可。（稍停）實際上，相等關系和不等關系是大量存在的，反映在數學上，它們是最基本的數量關系。

（教師出示問題1。學生回答。）

問題1 用數學的語言怎樣表達這些數量關系？

師 （投影）用不等符號（<、>、≤、≥、≠）連接的式子叫作不等式。這一章，我們要深入研究不等式。

[設計意圖：首先，引導學生用數學的眼光觀察世界，從具體情境中感受生活中存在著大量的相等關系和不等關系，以及反映在數學上就是最基本的數量關系，從而讓學生認識到學習新知識的意義和價值；其次，引導學生用數學的語言進行表達，激活并強化學生之前就有的“用等式表示相等關系，用不等式表示不等關系”的經驗，從而為后續的教學做鋪墊。此外，情境3也為后續基本不等式的研究埋下伏筆。]

2.從等式到不等式，感悟研究內容和方法。

（教師出示情境4。）

情境4 班長打算組織同學們春游，已知門票為每位45元，50人以上（含50人）的團體票8折優惠。

師 從這個情境中，你能想到什么問題？

生 我想到的是“怎樣買票劃算”的問題。如果人數超過50人，當然買團體票。如果人數不足50人，怎樣買票呢？

師 哦，那么這里有三種情況：（1）買團體票的錢數少；（2）買個人票的錢數少；（3）兩者相等。請你用代數式表示這三種數量關系，并研究何時選擇哪種方案。

生 表達這三種情況分別有以下式子：（1）45x-1800>0；（2）45x-1800<0；

（3）45x-1800=0。

師 這里，（1）和（2）是一元一次不等式，（3）是一元一次方程，都是同學們在初中就研究過的。下面請同學們展示求解的過程。

（學生給出兩種思路：（1）利用等式和不等式的性質求解；（2）借助一次函數y=45x-1800理解不等式和方程的解。）

師 可見，等式和不等式是密切聯系的，它們有很大的相似性。

（教師出示問題2。學生回答。）

問題2 從這個問題的解決過程中，你認為如何研究不等式？

（教師引導學生回憶等式的研究內容，即基本性質、常見形式、求解過程等，遷移認識到對于不等式也可以從這些角度開展研究；然后回憶等式的研究方法，即等式的基本性質是推導和求解的依據，遷移認識到不等式的基本性質也是推導和求解的依據。）

[設計意圖：通過情境問題，引導學生在解決問題的過程中感悟：（1）相等關系和不等關系是密切聯系的，等式和不等式在很多方面都非常相似，因此可以類比等式的研究內容和方法來研究不等式；（2）一次函數、一元一次方程和一元一次不等式也是密切相關的，因此可以借助函數來解決方程和不等式問題。由此讓學生認識到可遷移已知的內容和方法來學習新知識。此外，情境4可激活學生關于一元一次不等式的記憶。]

3.初步嘗試，體會研究思路和過程。

（教師出示問題3。學生思考、交流、記錄、匯報。）

問題3 你能類比等式的性質，談談不等式有哪些性質嗎？

（教師投影展示表1，讓學生具體闡述是怎樣類比的，并對可乘性進行適當的說理。然后，教師出示問題4。）

問題4 經統計，公園以每人50元的價格出售門票，每周約有游客2萬人。經調查，門票價格（每人）每降低1元，游客數量（每周）就會增加1000人。若門票價格降低了x（x∈N*）元，要使公園每周的門票收入大于120萬元，x應定在怎樣的范圍內？

師 請同學們嘗試用不等式描述這個問題，并利用不等式的性質解決。

生 這個問題可以用不等式（50-x）·2+x10>120表示。利用不等式的性質，化簡得到x2-30x+200<0。

（其他學生表示同意。）

師 你能求解x的范圍嗎？

生 先把x2-30x+200<0化為（x-10）·（x-20）<0，然后利用可乘性得到兩種情況：x-10>0，x-20<0

或x-10<0，x-20>0。所以，10

生 也可以結合二次函數f（x）=x2-30x+200的圖像（即開口向上的拋物線），和x軸的兩個交點的橫坐標（即10和20），是方程x2-30x+200=0的解，從而發現不等式x2-30x+200<0中x的范圍是10

[設計意圖：鼓勵學生類比等式的性質研究不等式的性質，并通過情境問題引導學生利用不等式的性質解決不等式問題。這里并不要求學生開展完整的、系統的研究，只是初步引導學生體會研究的具體思路和過程。此外，問題4也為后續一元二次不等式的研究做了鋪墊。]

4.滲透文化，小結反思。

教師投影展示如下內容，讓學生欣賞、體會：

（1）不等關系的運用無處不在。古代中國人便利用杠桿原理制作器械，如圖4。

（2）不等式的研究起源于歐洲。1934年，英國數學家哈代（G.H.Hardy）等編著的《不等式》一書（當下的中譯本封面如圖5）出版。這預示著不等式作為一個新興的數學學科分支誕生了，從此不等式開始逐步具備系統的理論。

（3）著名不等式。①基本不等式：若a>0，b>0，則a+b2≥ab，當且僅當a=b時取“=”。②柯西不等式：∑ni=1a2i∑ni=1b2i≥∑ni=1aibi2，當且僅當a1b1=a2b2=…=anbn或ai、bi（i=1，2，3，…，n）中有0時取“=”。③琴生不等式：若f（x）是區間（a，b）上的下凸函數，則對任意的x1，x2，…，xn∈（a，b），有fx1+x2+…+xnn≤1n[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]，當且僅當x1=x2=…=xn時取“=”。④赫爾德不等式：設p>1，1p+1q=1，令a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn是非負實數，則∑ni=1aibi≤∑ni=1api1p∑ni=1bqi1q，當且僅當{ak}、{bk}中至少有一個零數列或存在正實數c1、c2使得c1apk=c2bqk（k∈N*）時取“=”。

然后，教師出示如下問題，引導學生小結：

（1）不等式的研究內容是什么？

（2）不等式的研究方法是什么？

最后，教師說道：“今天，我們初步感受了不等式的研究內容和方法，但是我們的研究還遠遠不夠。讓我們開啟《不等式》這一章的學習，更加系統和深入地進行研究吧。”

[設計意圖：展示不等式應用和研究的歷史素材以及經典的不等式結論，讓學生感悟數學的人文性，欣賞數學的形式美，開闊學生的視野，讓學有余力的學生可以展開更加深入的思考。然后，小結本課的內容，進一步明確《不等式》一章的研究內容和方法，為后續教學的開展奠定基礎。]

（二）教學評析

在新課標規定的“課程內容”中，“不等式”的相關內容分布在必修課程主題一“預備知識”的兩個單元“相等關系與不等關系”“從函數的觀點看一元二次方程和一元二次不等式”中，具體包括“不等式的性質”“基本不等式”“一元二次不等式”等內容。

鑒于此，這節“不等式”主題的引言課從具體情境出發，使學生感受生活中和數學中都存在著大量的不等關系；然后通過數學抽象，讓學生借助不等符號來表示這些不等關系；接著通過情境問題，引導學生感悟等式和不等式在很多方面都有很強的相似性，因而可以類比等式的研究內容和方法研究不等式，進而初步理解函數、方程、不等式的聯系，體會用函數觀點解決方程、不等式問題的思想方法，把握數學的整體性；最后引導學生通過初步的研究體會不等式性質的基礎作用，并從歷史和現狀的角度更廣泛、深入地展示一些相關的數學文化。這些都為后續系統開展“不等式”的教學奠定了基礎。

具體來說，本節課的教學設計圍繞“為什么”“是什么”“怎么辦”這三個根本的問題展開，很好地落實了前述課標理念和要求。

1.在“為什么”中提升抽象能力與建模能力。

引言課的教學，首先要讓學生知道為什么要學習新知識，從而激發學生的學習動力。一方面，生活中有大量的實際問題需要通過數學抽象，建立相應的數學模型來解決；另一方面，數學知識體系本身不斷發展，需要引入新的數學模型來刻畫。本節課從以上兩個方面出發，解決了“為什么要學不等式”這一問題，較好地培養了學生的數學抽象能力與建模能力。

（1）從生活實例引入，激發學生的感性抽象。

通過情境1和情境2以及追問舉例，讓學生感受生活中存在著大量的不等關系，體會學習不等式的必要性——需要利用不等關系刻畫生活中的實際問題，實現“基于現實的”第一階段的抽象，即感性抽象——把現實生活中的一些與數量和圖形有關的東西引入數學內部。此外，情境4和問題4也具有類似的功能。

（2）從幾何圖形出發，引發學生的符號抽象。

通過情境3的教學，從幾何圖形出發，實現了“基于邏輯的”第二次抽象，即符號抽象，同時也發展了學生的邏輯思維和模型意識。這里，從初中階段證明勾股定理時曾經用到的弦圖出發，契合了學生的認知水平；在得到勾股定理這一“等式”的基礎上，通過比較大正方形與四個直角三角形面積的大小關系，得到基本不等式這一重要的不等關系，實現了“從理性具體上升到理性一般”。

2.在“是什么”中培養問題意識與探究能力。

引言課的教學，還要讓學生初步了解新的主題將要學習什么，從而利于學生從整體上把握即將學習的數學內容，建構完整的、系統的數學知識結構，而不是零散的、碎片化的知識。

本節課不僅讓“不等式的應用”（抽象、建模）貫穿始終，而且，通過基于情境3的教學，滲透了“基本不等式”結論和“證明不等式”的內容；通過基于情境4的教學，滲透了“一元一次不等式”模型和“解不等式”的內容；通過基于問題3和問題4的教學，滲透了“一元二次不等式”模型和“不等式的性質”的內容。這樣的設計，不僅巧妙地揭示了“不等式”這一主題下將要學習的主要內容，更重要的是，在具體內容的教學過程中發展了學生的問題意識和探究能力。

比如，教師給出情境4之后，讓學生自主提出問題，并開展探究活動，最終學生得到了三個數學模型和兩種求解思路。這一過程體現了數學探究的一般步驟：“發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論。”

3.在“怎么辦”中發展整體觀念與元認知能力。

引言課的教學，還要讓學生理解如何研究新的學習內容，把握研究所學知識的基本套路，從而使學生從數學思想方法的高度理解數學，提高自主學習的能力。

數學的新內容通常不可能是“全新”的，而與已有的知識或方法有著內在的、本質的聯系。因此引言課的教學，要通過有價值的問題驅動學生的思維，讓學生思考所學的新知識與原有的知識之間的關聯。“當學生能看到數學各個分支之間的聯系時，他們就開始形成‘數學是一個整體的觀點。而當他們在原有的理解的基礎上學習新的概念時，他們又會逐漸意識到各個數學問題之間的聯系。”

本節課中，學生探究解決情境4的問題之后，教師引導學生感受等式和不等式是密切聯系的，它們有很大的相似性，然后通過問題2、問題3、問題4，讓學生通過類比認識到：可以由等式的基本性質、常見形式、求解過程得到不等式的基本性質、常見形式、求解過程，以及不等式的基本性質是不等式推導和求解的依據。這樣的設計，不僅能夠讓學生體會不等式與等式之間的關聯，促使學生從整體上把握數學內容，而且能夠培養學生的類比推理能力，發展學生的元認知。

此外，本節課除了圍繞三個根本問題讓學生理解研究不等式的價值、內容和方法之外，還通過精心選擇和組織的素材和活動，讓學生浸潤在數學文化中，獲得豐富的數學活動經驗。比如，情境3中的會標和弦圖以及最后一個環節中不等式應用和研究的歷史素材、經典的不等式結論，還有貫穿全課的現實情境問題，都能讓學生逐步學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界。

參考文獻：

[1] 汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京：科學出版社，2017.

[2] 史寧中.數學思想概論（第5輯）——自然界中的數學模型[M].長春：東北師范大學出版社，2015.

[3] 史寧中.數學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[4] 全美數學教師理事會.美國學校數學教育的原則和標準[M].蔡金法等譯.北京：人民教育出版社，2004.