對稱性：從多邊形到圓

徐章韜 馬菡 梁玉

摘 要：要讓“圓”的學習變得容易一些，化曲為直是最根本的思路。考慮到圓具有完美的對稱性（即軸對稱、中心對稱、根本上是旋轉不變），從具有對稱性的三角形、四邊形等多邊形出發來認識圓，將圓的重要性質（如垂徑定理、圓周角定理、圓冪定理、托勒密定理等）歸結到這些基礎的直線圖形中，進而打通知識之間的聯系，形成良好的知識結構。由此得到教育上的啟示：平面幾何的課程不能過度刪減；平面幾何的考查不能過于復雜。

關鍵詞：教育數學 圓 多邊形 對稱性 知識關聯

在現行平面幾何課程體系下，圓是其中唯一的曲線圖形，形式優美，性質豐富，大大豐富了平面幾何的內涵。但是同時，圓也是平面幾何的難點之一。如何攻克這個難點，讓圓的學習變得容易一些，是教育數學一直關注的問題。對此，化曲為直是最根本的思路。考慮到圓具有完美的對稱性（即軸對稱、中心對稱，根本上是旋轉不變），可以從具有對稱性的三角形、四邊形等多邊形出發來認識圓，將圓的重要性質歸結到這些基礎的直線圖形中，進而打通知識之間的聯系，形成良好的知識結構。

一、垂徑定理的認識

垂徑定理是指垂直于弦的直徑平分弦及弦所對的兩條弧。垂徑定理體現了圓的軸對稱性，我們可以聯系等腰三角形來認識它。對于不是直徑的弦，把圓心和兩端點連接起來，就能得到一個等腰三角形。顯然，等腰三角形“三線合一”的性質（把等腰三角形分成兩個全等的直角三角形）很好地反映了垂徑定理。

把一個圓n（n∈N*，n≥3）等分，依次連接各等分點所得的多邊形為這個圓的內接正n邊形。由正三角形、正方形、正五邊形……一直延續下去，就能得到圓。正多邊形（一定有唯一的外接圓）體現了圓的旋轉不變性，而我們也可以聯系等腰三角形來認識它。正多邊形的每條邊都是圓的一條弦，因此正多邊形是由多個等腰三角形組成的，正多邊形的性質可以歸結為等腰三角形的性質。

此外，直線與圓的位置關系是由直線到圓心的距離（即相應垂線段的長）d和圓的半徑r的關系決定（描述）的（本質上是直線上到圓心距離最小的點與圓的位置關系）。垂徑定理反映的其實是直線與圓相交的情況。基于此，直線與圓的位置關系可以用等腰三角形底邊上的高h與圓的半徑r的關系來理解（刻畫）：如圖1，若hr，點在圓外，直線與圓相離。這樣可以把這些位置關系看得更加清楚。

進而，圓與圓的位置關系是由兩個圓心的距離d和兩個圓的半徑R、r的關系決定（描述）的（本質上是一個圓心與半徑為兩個圓

的半徑和或差的圓的位置關系）。直線與圓的位置關系和圓與圓的位置關系可以對應起來：直線可以看成半徑無窮大的圓（這一點在下面對托勒密定理的認識中有所體現），那么直線與圓相交就變成了圓與圓相交，直線與圓相切就變成了圓與圓內切或外切，直線與圓相離就變成了圓與圓內含或外離。類似的，圓與圓的位置關系可以用等腰三角形底邊上的高h與兩個圓的半徑R、r（假設R≥r）的關系來理解（刻畫）：

二、圓周角定理的認識

圓周角定理是指同弧（弦）或等弧（弦）所對的圓周角相等，等于所對的圓心角的一半。圓周角定理體現了圓的中心對稱（旋轉不變）性，我們也可以聯系等腰三角形來認識它。如圖3，把扇形看作一個曲底等腰三角形，用類似于三角形全等的判定定理（SSS），很容易得出圓周角定理。這里其實強調了弧（曲）與弦（直）的對等性。

當圓周角的一條邊由弦變成切線時，圓周角定理就變成了弦切角定理。因此，弦切角定理可以看作圓周角定理的推廣，同樣可以由等腰三角形的性質來推導。如圖4，四邊形OAPB是一個箏形，由兩個等腰三角形拼接而成。由OP⊥AB，OA⊥PA，OB⊥PB，易得∠PAC=∠PBC=12∠AOB。

根據圓周角定理，還能得到四點共圓角度方面的刻畫（性質與判定）：圓內接四邊形對角互補；線段同側對線段張角相等的兩點與線段兩端點共圓；等等。這里不再贅述。

三、圓冪定理的認識

圓冪定理的推導可以在計算思維的引導下進行：利用圓的半徑的旋轉不變性，構造等腰三角形（兩個全等的直角三角形），巧妙地運用勾股定理（平方差公式）多次計算。

（一）相交弦定理

如圖5，PA·PB=（MA-MP）·（MB+MP）=MA2-MP2=（OA2-OM2）-（OP2-OM2）=OA2-OP2；同理，PC·PD=OC2-OP2。因此，相交弦定理成立。

（二）切線長定理

根據圖4，一方面，由弦切角定理不難得到切線長定理；另一方面，由直角三角形全等（或勾股定理）也不難得到切線長定理。

特別地，利用勾股定理推導切線長定理時，進一步作變形，可以得到切割線定理的特殊情況（割線為直徑）。如圖4，PA2=PO2-r2=（PO-r）（PO+r） =PD·PE。而且，這里還有PA2=PC·PO。

（三）切割線定理

如圖6，PA2=OP2-r2=（OP2-OH2）-（r2-OH2）=PH2-FH2=（PH-FH）·（PH+FH）=PF·PG。這樣，就得到了切割線定理。

由此可以充分理解圓冪定理中圓冪的定義：點P對半徑為r的⊙O的冪a=OP2-r2，故圓內的點的冪為負數，圓外的點的冪為正數，圓上的點的冪為零。

此外，點與圓的位置關系是由點到圓心的距離d和圓的半徑r的關系決定（描述）的。圓冪定理實際上反映了點與圓的位置關系。

四、托勒密定理的認識

托勒密定理是指圓內接四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，它是四點共圓長度方面的刻畫（性質與判定）。托勒密定理充分體現了圓的旋轉不變性，我們可以聯系多種具有對稱性的四邊形來認識它。而且，托勒密定理是中學數學中很多結論的幾何形式或一般形式，我們可以用它串聯起這些內容，并認識這些內容的本質。

如圖7，在線段AD上，順次標有B、C兩點，則由實數多項式乘法法則不難得出AB·CD+AD·BC=AC·BD。這反映出線段（直）和圓（曲）的對等性。

如圖8，在復平面中的一個圓上，有A、B、C、D四點，分別對應復數a、b、c、d，則AB、CD、AD、BC、AC、BD分別對應復數a-b、c-d、a-d、b-c、a-c、b-d，由復數多項式乘法法則不難得出（a-b）（c-d）+（a-d）（b-c）=（a-c）（b-d），也即AB·CD+AD·BC=AC·BD。可見，托勒密定理是多項式乘法法則的幾何形式。

如圖9，在⊙O中，取內接矩形ABCD，則由勾股定理可得AB·CD+AD·BC =AB2+BC2=AC2=AC·BD。可見，托勒密定理是勾股定理的一般形式。

如圖10，在⊙O中，取內接等腰梯形ABCD，則由余弦定理可得AB·CD+

AD·BC=AB2+（BC-2ABcos∠ABC）·BC=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=AC2=AC·BD。可見，托勒密定理也是余弦定理的一般形式。

如圖11，在⊙O中，取內接箏形ABCD，則由三角形面積公式可得AB·CD+ AD·BC=AB·BC+AD·CD=2S△ABC+2S△ADC=AC·BP+AC·DP=AC·BD。可見，面積法威力巨大。

值得一提的是，箏形還有內切圓，內切圓圓心是箏形對稱軸和一組等角的兩條平分線的交點；內切圓和箏形四條邊的四個切點的連線是等腰梯形，和箏形兩條對角線的四個交點的連線還是箏形，如圖12。可見，箏形是刻畫共圓性的好工具。

如圖13，在⊙O中，取一條對角線過圓心（即為直徑），即一組對角均為90°的內接四邊形ABCD，則連接AO，交⊙O于H，連接CH，由兩角和的正弦公式可得AB·CD+AD·BC=BDcos∠ABD·BDsin∠DBC+BD·sin∠ABD·BDcos∠DBC =BD2（cos∠ABD·sin∠DBC+sin∠ABDcos∠DBC）=BD2·sin∠ABC=AH·BDsin∠AHC=AC·BD。類似的，由兩角差的正弦公式、兩角和與差的余弦公式也可以得到托勒密定理。可見，托勒密定理是兩角和與差的正弦、余弦公式的一般形式，能讓平面幾何走向解析化。而由兩角和與差的正弦、余弦公式可以推出全部三角變換公式（比如，誘導公式只要令一個角為π2的整數倍；二倍角公式只要令兩個角相等），即所有的三角問題都脫胎于托勒密定理。這充分體現了圓的旋轉不變性。在平面幾何問題解決（知識運用）中，常常需要通過旋轉等變換技巧，把大角拆分成小角之和。

如圖14，在⊙O中，取內接一般四邊形ABCD，則過點D作AC的平行弦DF，連接CF，構造等腰梯形ACFD，連接AF、BF，由三角形面積公式可得AB·CD+ AD·BC=AB·AF+CF·BC=2S△ABFsin∠BAF+2S△BCFsin∠BCF=2S梯形ABCFsin∠BAF=2S梯形ABCDsin∠BAF=2S梯形ABCDsin∠BDF=2S梯形ABCDsin∠BEC= AC·BD。這實質上是利用具有軸對稱性的等腰梯形，對圓內接四邊形進行等面積變換。其實，面積法是平面幾何的根本大法。

如圖15，在⊙O中，取內接一般四邊形ABCD，則在對角線AC 上取一點K，使得∠ABK=∠DBC，又有∠BAK=∠BDC，因此△ABK∽△DBC，則AKAB=DCDB，即AK·DB=AB·DC（記為①）；同時，可得∠CBK=∠DBA，又有∠BCK=∠BDA，因此△CBK∽△DBA，則CKCB=DADB，即CK·DB=CB·DA（記為②）。①②兩式相加，得AK+CK·BD=AB·CD+AD·BC，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。這實質上是把圓內接四邊形通過旋轉、相似（縮小）變換到其對角線分割出的一個三角形中，從而表現出其有外接圓（四點共圓）的特征，因為三角形必有外接圓（三點共圓）。其實，這就是基于圓周角定理（即四點共圓角度方面的刻畫）來證明托勒密定理（即四點共圓長度方面的刻畫），也體現了圓的旋轉不變性。

五、教育上的啟示

從上面的數學內容分析中，我們至少可以得出兩點教育上的啟示：

（一）平面幾何的課程不能過度刪減

平面幾何是培養直觀想象素養極好的載體，舍此有無其他更好的途徑，目前似乎尚未有定論。再激進的數學教育改革也

都沒有讓平面幾何退出歷史舞臺，因此其教育價值不容置疑。學習數學，不能在腦海中形成一幅畫面，則印象不夠深刻，理解不夠通透；直觀想象能力不足，數學認知、解題、發現、創新能力也會大受制約。平面幾何學得越多，數學越簡單；學得越少，數學也就越難，因此其中的重要定理、公式不應被刪減。而且，平面幾何內容前前后后都有內在關聯，不宜過度刪減。比如，托勒密定理可以說是所有三角變換公式的源頭，大肆刪減平面幾何對于三角函數的學習無異于釜底抽薪。總之，課程改革要把基本的、重要的知識還給學生，去枝強干、固本強基，培養學生的直觀想象能力，促進其數學學習的可持續發展。

（二）平面幾何的考查不能過于復雜

平面幾何表面上是演繹推理，不需要計算，實際上需要的是一種“不算而算”的計算思維，在腦海中經歷分解問題、理清屬性、洞察聯系、探尋規律、逐個擊破、整合優化的“計算”過程，生成步步推敲、邏輯嚴謹的“計算”結果。因此，對于平面幾何中的一些變換技巧，需要從三角法、解析法、向量法、復數法、面積法、質點法等多個角度加以分析，才能有清晰的認識。比如，三角函數理論來源于平面幾何，但是，用幾何方法定義三角函數，并用代數方法研究三角函數，可溝通幾何與代數，從而不僅建立三角函數中各元素的種種關系，也為用三角函數方法解平面幾何題提供程序化思路。比如，余弦定理給出了三角形邊與角的關系，常用來證明線段的相等或和、差、倍、分關系以及直線的平行或垂直；正弦定理揭示了三角形內角的正弦與對邊的比例關系，還表示圓的弦與其所對的圓周角與直徑之間的關系，很多時候將其與三角形面積公式聯用，可達到簡化思路的效果。這正如方程之于算術應用題的意義一樣，有了方程之后，算術應用題就變得程序化了，不再是難題了。而如果一定要用平面幾何方法解平面幾何題，那么就需要運用計算思維把這些解析方法用平面幾何的語言表達出來。因而，平面幾何的習題不能編制得過于復雜，加重學生的負擔。而教育數學“重建三角”，并以之重構平面幾何的教育價值就在于此。

參考文獻：

[1] 張景中.一線串通的初等數學（第二版）[M].北京：科學出版社，2016.

[2] 汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京：科學出版社，2017.