信用支付策略下庫存影響需求的供應鏈協調

李瑤，閔杰，歐劍

(1.安徽建筑大學 經管學院，安徽 合肥 230601；2.安徽建筑大學 數理學院，安徽 合肥 230601)

0 引 言

在類似超市的一些零售系統中，商品的需求可能受其庫存水平影響，這種現象稱為庫存水平影響需求率(inventory-level-dependent demand)[1，2].文獻[3]第一個建立了需求是庫存水平線性函數、缺貨完全補充和有限生產能力的變質性物品庫存模型，文獻[4]對文獻[3]進行擴展研究，按不允許缺貨、允許缺貨且完全補充和部分補充建立三個相應的庫存模型，給出了模型數值解；文獻[5，6]將通貨膨脹考慮到模型中，文獻[7，8]則建立了信用支付的庫存模型.文獻[3-8]都是對單個企業的庫存模型進行研究，但是隨著全球經濟朝著一體化發展，現代企業競爭不再是單一企業的競爭，而是企業所處的供應鏈之間的競爭，因此供應鏈協調研究已受到許多研究人員的重視.文獻[9]最早建立了由一個供應商和一個零售商或兩個相互競爭的零售商組成的供應鏈協調模型，給出了貨架線性補貼的協調策略.文獻[10]考慮需求的依賴庫存行為而創建了相應的離散事件系統仿真模型，設計了一種基于仿真的種群重疊、遺傳操作非重疊的進化算法，用于優化庫存控制策略.文獻[11]研究了需求是庫存水平冪函數的供應鏈協調模型，而文獻[12]建立了市場需求是庫存水平線性分段函數、變質性產品的供應鏈量折扣協調模型.

信用支付在商業活動中廣泛使用，它是指制造商(賣方)給零售商(買方)在貨款支付期限方面的優惠，在信用支付期限內買方不需要支付利息.信用支付作為一種短期商業信貸主要方式，廣泛地存在于商業活動中.目前，大多數關于信用支付研究都是基于庫存模型框架下進行分析的.文獻[13]首先提出了允許信用支付的經濟訂貨批量(economic order quantity，EOQ)模型，文獻[14]考慮了供應商同時給予信用支付和現金折扣情況下零售商最優決策.文獻[15，16]則在經濟生產批量(economic production quantity，EPQ)框架下分析了信用支付模型，提出了零售商最優采購周期確定的算法.文獻[17，18]分別進一步考慮了信用支付期限與訂貨量相關的情況.文獻[19]研究了信用支付條件下變質產品有限補貨周期和需求價格敏感的合作庫存模型，并指出信用支付策略是合作系統中利潤共享的雙贏策略，文獻[20]在給定延期付款期限和需求依賴于庫存情況下，給出零售商最優付款時間的模型.文獻[21]考慮了供應商給予零售商信用支付，同時零售商給予顧客信用支付的決策模型.有關利用信用支付文獻[22]研究了利用信用支付和利潤共享的供應鏈協調問題，文獻[23]則建立了由單制造商和多零售商組成的信用支付的供應鏈協調模型.

但是以上研究成果并沒有將信用支付和貨幣時間價值應用到庫存水平影響需求的供應鏈協調問題上，因此本文考慮由單一制造商和單一零售商組成的兩層供應鏈，制造商生產并批發某一產品給零售商，零售商面臨的市場需求線性依賴于該產品的庫存水平，研究作為Stackelberg博弈的主導者，制造商如何利用信用支付策略來激勵零售商合作從而實現供應鏈協調運作問題，建立了一個可以協調供應鏈的信用支付模型，給出了相應的算法，數值算例結果也表明該模型和算法對實現供應鏈的協調運作是有效的.

1 模型假設與記號

本模型作如下假設與記號：

(1)考慮由單一制造商和單一零售商組成的兩層供應鏈，其中制造商生產并批發某一產品給零售商，假設制造商與零售商之間進行以制造商為主導的Stackelberg博弈；

(2)需求信息與成本信息均對稱；

(3)假設零售商按EOQ模型來確定其最優訂貨量，零售商將訂購的商品全部銷售完后立即進行下一次補貨，且補貨率無窮大(亦即制造商生產率無窮大)；

(4)假設制造商與零售商之間實行“批對批”策略，因此在制造商處不考慮庫存費用；

(5)假設市場需求率D(t)線性依賴于零售商的當前庫存水平，即

D(t)=α+βI(t)，

其中α>0表示基本需求率，β>0表示需求受庫存水平影響的因子，I(t)為零售商在t時刻的庫存水平；

(6)c表示制造商生產單位產品的成本；w表示制造商給予零售商的單位商品的批發價格，而w*是制造商未實施信用支付策略前的最優批發價格；p表示單位商品的零售價格，且假設p>w>c；

(7)Ar表示零售商每次訂貨的固定訂貨費用，Am表示制造商每次生產的準備費用，h表示零售商單位時間單位貨品的庫存費用，不包括庫存資金的成本；

(10)制造商提供零售商延期付款策略計劃，M表示允許的信用支付期(決策變量)；

(11)Ip為零售商單位庫存單位時間的支付利息，Ie為零售商單位庫存單位時間的收益利息(Ie

2 模型的建立與求解

由假設(5)可得零售商處的庫存水平變化的微分方程可表示為：

(1)

注意到邊界條件I(0)=Q，則式(1)的解為

(2)

由式(2)可得零售商每個訂貨周期的長度為：

(3)

2.1 一體化供應鏈系統

為了得到一個基準，我們首先考慮供應商和零售商屬于同一企業，即一體化情形.一體化供應鏈系統的平均利潤為：

(4)

將式(2)和式(3)代入式(4)可得

(5)

(6)

(7)

當β(p-c)-(h+Ip)≥0時，Πc(Q)是關于Q的遞增函數，此時供應鏈系統最優訂貨量為無窮大，這與實際情況相矛盾，所以本文假設β(p-c)-(h+Ip)<0.

2.2 各自獨立運作的供應鏈系統

(8)

(9)

(10)

(11)

由極值存在的必要條件知，最優批發價格w*必滿足方程“dΠm(w)/dw=0”.式(11)對w求導得

(12)

其中

2.3 協調供應鏈的優化模型

通過上面的分析，可得如下定理1.

和

因為f(X)=XlnX-X+1嚴格遞增函數，且

由定理1可知，制造商和零售商獨立決策時的訂貨量小于聯合決策時的訂貨量，因此整個供應鏈的利潤沒有達到最大化，即供應鏈處于一種失調狀態，因此作為供應鏈的主導者，制造商有激勵零售商多訂貨以實現自身利潤最大化和供應鏈協調的動機.下面我們考慮供應商如何用信用支付手段來協調供應鏈系統.

假定制造商給予零售商一個信用支付期限M，使得零售商在該策略下能夠增大訂購量，此時零售商的利潤函數由以下部分組成：

1)每個周期的固定訂貨費用為Ar；

5)每個周期在信用支付期限到期后零售商為仍未出售的貨物款而支付的利息可分為以下兩種情形：

(i)若0≤T≤M，由于訂貨周期不大于允許的信用支付期，顯然此時要付的利息為0；

(ii)若T>M，因為訂貨周期大于信用支付期，所以零售商在時間段[M，T]內要為仍未售出的貨物款而支付利息，其值為：

6)類似于5)，每個周期零售商在信用支付期內賺取的利息也分為以下兩種情形：

(i)若0≤T≤M，則零售商在時間段[0，T]內可以邊銷售邊賺得利息，而在時間區間[T，M]內，零售商可以利用所有的銷售收入來賺得利息，因此在信用支付期[0，M]內零售商所賺的利息為：

(ii)若T>M，則零售商只能在時間段[0，M]內可以邊銷售邊賺取利息，因此在信用支付期M內零售商所賺取的利息為：

由1)-6)可得零售商單位時間內的平均利潤為：

其中：

(13)

(14)

式(13)和式(14)是關于T的單變量函數，其中又含有制造商的決策變量M.對ΠrM(T)關于T求一階導數可得：

(15)

(16)

由極值存在的必要條件知，在信用支付策略下零售商的最優訂貨量一定是式(15)或式(16)的零點.此時，若零售商的利潤大于分散決策時自己的利潤，那么他就會接受此協調策略.另一方面，在實施信用支付策略時制造商必須保證自己的利潤不受損失，為此要分析信用支付策略下制造商的利潤.

對于制造商而言，當給予零售商信用支付優惠后其利潤由以下部分組成：

1)每次生產或訂購的固定費用為Am；

所以，當實施信用支付策略后制造商的平均利潤函數可表示為：

(17)

由式(3)知Q是關于T的增函數，如果零售商在接受延期付款策略后的訂貨周期大于獨立決策時的訂貨周期，那么制造商在實施信用支付策略后零售商的訂貨量大于獨立決策的訂貨量.下面我們從訂貨周期T出發來證明信用支付策略會使零售商加大訂貨量.

將式(3)代入到式(6)，可得零售商在獨立決策時關于T的方程：

(18)

令式(15)和式(16)為0，可得實施信用支付策略后零售商訂貨周期T所滿足的方程：

(19)

(20)

由f(T)是T的增函數，所以如果

(21)

且

(22)

現在考慮如何保證制造商的利潤不受損失.當實施信用支付策略后制造商的平均利潤必須大于獨立決策下制造商的平均利潤，即ΠmM(T)>Πm(T)，則等價于

(23)

3 算法與數值例子

由于式(21)和式(22)的復雜性，本文將通過數值算例來說明制造商通過信用支付策略來協調供應鏈的有效性和可行性.首先我們給出上述模型求解的步驟和算法.

第二步：根據dΠm(w)/dw=0求出最優訂貨價格w*；

第四步：由式(21)、式(22)和式(23)求出信用支付期M的取值范圍；

第五步：求出實施延期付款策略后制造商的平均利潤ΠmM(T)，若在信用支付期M下雙方的利潤都沒有受損，此時供應鏈的利潤得到增加，則此策略是有效的；

第六步：若在信用支付期M下至少有一方的利潤受損，則此策略是無效的，此時需重新調整延期付款期M.

4 結束語

信用支付在商業活動中廣泛使用，它是促進和改善供應鏈協調運作的有效手段之一.本文針對市場需求受庫存影響的情況下，建立了制造商如何利用信用支付手段來協調供應鏈模型與算法，理論分析和算例結果都表明利用信用支付策略來實現供應鏈協調是有效的和可行的，同時也為供應鏈管理決策提供了各種選擇.但是本文只考慮由單一制造商和單一零售商組成的兩層供應鏈和信息對稱等情形，對于多制造商、多零售商、非對稱信息、允許缺貨以及其他需求形式等情況是下一步研究的主要方向.