單調性與圖象趨勢

摘 要：導數法是研究函數圖象與性質的重要手段，但因為中學階段對極限思想的研究不夠深入，學生往往似是而非地根據導函數的正負性直接得到原函數的大致圖象，得到了自以為正確的答案，本文從極限角度入手，說明函數的單調性與圖象趨勢中的陷阱問題。

關鍵詞：導數；單調性；極限；圖象趨勢

學生進入高中階段，學習視野進一步開闊，知識基礎進一步增強，這為數學基本思想的感悟和基本活動經驗的積累創設了有利條件。數形結合是數學學習中一種至關重要的思想方法，它與數學核心素養中強調的數學抽象能力和邏輯推理能力密切相連。導數法是解決數形結合問題的強有力手段，但學生在實際學習過程中，如果僅僅片面地關注導數的正負性，忽視原函數的正負性，就會得到錯誤的函數圖象，步入認知的誤區。

2. 此類問題是研究函數與x軸的交點個數，換一個角度，也就是研究函數的零點個數或者零點分布情況，所以函數零點問題也應結合函數的單調性與圖象趨勢。研究圖象趨勢往往要借助于極限，極限思想作為近代數學的一種重要思想，在高中階段多是蜻蜓點水一筆帶過，學生理解起來也會感到特別的抽象，實際操作過程中帶有不可避免的感性認識。在大題解答過程中，有時評分標準并不認可這樣的解答過程，必須利用“零點存在性定理”結合函數的單調性說明函數的零點，所以在教學過程中，應結合學生實際情況來要求學生的掌握程度以及解題規范；

3. 本問題也可選用分離參數的方法解決，問題轉化為a=1xex，分析函數h（x）=1xex（x≠0）的圖象，保證直線y=a與y=h（x）的函數圖象有兩個交點，但還是必須將單調性與極限結合起來。

大部分學生在遇到此類問題時，能夠迅速地找到解題對策，但往往忽視了函數圖象的走勢，由于思維定式的影響，在檢查時也很難發現錯誤，教學中應當對此引起重視，幫助學生對數形結合的數學思想有個全面嚴謹的認識。數學教學情境和問題講究多樣化，教師應當放手讓學生自主思考，有時犯錯的過程也是有效學習的一部分，在學生與情境、問題的良好互動中提升數學學科的核心素養。

參考文獻：

[1]陸學政.高中數學教學淺談[M].上海：上海科技出版社，2014：7.

[2]蘇教版高中數學教材編寫組.數學選修2-2.江蘇：江蘇鳳凰教育出版社，2016：6.

作者簡介：

梁超，江蘇省蘇州市，西安交通大學蘇州附屬中學。