試論實(shí)變函數(shù)中的富比尼定理

摘要：本文分析了實(shí)變函數(shù)中的富比尼定理，并討論了該定理在積分換序方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：富比尼定理；重積分；累次積分

一、 富比尼定理

定義1設(shè)ARp，BRq為兩個(gè)非空點(diǎn)集，則Rp+q中的點(diǎn)集{（x，y）：x∈A，y∈B}稱為A與B的直積，記為A×B。

定理1（非負(fù)可測函數(shù)情形的托涅利定理）設(shè)f（x，y）在A×BRp+q（A，B分別為Rp與Rq中的可測集）上非負(fù)可測，則對(duì)幾乎處處x∈A，f（x，y）作為y的函數(shù)在B上可測且∫A×Bf（x，y）dxdy=∫Adx∫Bf（x，y）dy=∫Bdy∫Af（x，y）dx。

定理2（富比尼定理）設(shè)f（x，y）在A×BRp+q上可積函數(shù)，則對(duì)幾乎處處x∈A，f（x，y）作為y的函數(shù)在B上可積；∫Bf（x，y）dy作為x的函數(shù)在A上的可積；且∫A×Bf（x，y）dxdy=∫Adx∫Bf（x，y）dy=∫Bdy∫Af（x，y）dx。

數(shù)學(xué)分析中，非負(fù)函數(shù)f（x）在[a，b]上的定積分∫baf（x）dx的幾何意義是由直線x=a，x=b，y=0和曲線y=f（x）所圍成曲邊梯形的面積，非負(fù)可測函數(shù)的勒貝格積分也有類似的幾何意義。設(shè)f（x）是ERn上的非負(fù)函數(shù)，則Rn+1中的點(diǎn)集{（x，z）：x∈E，0≤z

富比尼定理說明了高維積分和低維積分之間的關(guān)系，也是數(shù)學(xué)分析中重積分與累次積分之間關(guān)系的推廣。我們可以看到，在交換積分次序問題上，勒貝格積分要求的條件比黎曼積分要求的條件弱得多，這是勒貝格積分理論的優(yōu)越性之一。若把∫A×Bf（x，y）dxdy稱為重積分，將∫Adx∫Bf（x，y）dy和∫Bdy∫Af（x，y）dx稱為累次積分，則富比尼定理說明，在重積分存在的條件下，兩個(gè)累次積分均存在且等于重積分。要證明重積分存在有時(shí)并不容易，這時(shí)可由f的兩個(gè)累次積分其中一個(gè)存在來確定。但是f的兩個(gè)累次積分其中一個(gè)存在并不能保證重積分存在。例如，設(shè)f（x，y）=x2-y2（x2-y2）2為定義在E=（0，1）×（0，1）上的函數(shù)，則f的兩個(gè)累次積分別為

∫（0，1）dx∫（0，1）f（x，y）dy=∫1011+x2dx=π4，∫（0，1）dy∫（0，1）f（x，y）dx=∫1011-y2dy=-π4。

由富比尼定理知，f在E上不可積。

二、 富比尼定理的應(yīng)用

使用富比尼定理證明命題時(shí)，首先要驗(yàn)證命題是否滿足定理?xiàng)l件，關(guān)鍵是將積分化為累次積分，這時(shí)要注意變化后被積函數(shù)的準(zhǔn)確性和交換積分順序技巧的應(yīng)用。

例1設(shè)f（x，y）=y2-x2（x2-y2）2為定義在E=[0，1]×[0，1]上的函數(shù)，證明：

∫（0，1）dx∫（0，1）f（x，y）dy≠∫（0，1）dy∫（0，1）f（x，y）dx。

分析這與富比尼定理不矛盾，因?yàn)閒在（0，1）×（0，1）上不可積，不滿足富比尼定理的條件。事實(shí)上，當(dāng)0

SymboleB@ 。故|f|在E上不可積，則f在E上也不可積。

證明由∫10f（x，y）dx=xx2+y21x=0=11+y2，則∫（0，1）dy∫（0，1）f（x，y）dx=arctany10=π4，

另一方面，由∫10f（x，y）dy=yx2+y21y=0=-11+x2，從而∫（0，1）dx∫（0，1）f（x，y）dy=∫10-11+x2dx=-arctanx10=-π4，

故∫（0，1）dx∫（0，1）f（x，y）dy≠∫（0，1）dy∫（0，1）f（x，y）dx。

例2對(duì)f（x，y）=e-ysin2xy交換積分次序，證明∫

SymboleB@ 0e-ysin2yydy=14ln5。

證明當(dāng)y≠0時(shí)，∫10e-ysin2xydx=e-y∫10sin2xydx=e-ysin2xyy1x=0=e-ysin2yy。

又由e-ysin2xy≤e-y，e-y在[0，1]×[0，+

SymboleB@ ）上可積，由富比尼定理可得∫

SymboleB@ 0e-ysin2yydy=∫

SymboleB@ 0dy∫10e-ysin2xydx=∫10dx∫

SymboleB@ 0e-ysin2xydy=∫102x1+4x2dx=14ln5。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：

葉一蔚，重慶市，重慶師范大學(xué)。