用反證法證明費爾馬大定理

摘要：筆者采用圖例的方法，詳細說明了用反證法證明費爾馬大定理。

關鍵詞：費爾馬大定理；反證法；圖例

費爾馬大定理的內容是：當n>2時，不定方程xn+yn=zn沒有正整數解。

證明：用反證法

假設方程xn+yn=zn（n>2）存在正整數解，設x1、y1、z1是其一組正整數解，即得xn1+yn1=zn1

若（x1，y1，z1）=k，得（kx2）n+（ky2）n=（kz2）n（n>2）知x2、y2、z2亦是方程xn+yn=zn的一組正整數解，且（x2，y2，z2）=1。

另外，從方程xn+yn=zn直接可以看出x≠y。因為，當x=y時，得2xn=zn，當n>2時，無正整數解。由x2n+y2n=z2n得x2n22+y2n22=z2n22

知xn22、yn22、zn22為某直角三角形的三邊2，關于直角三角形，看下面的事實。

設直角三角形的三邊是a、b、c（c為斜邊），

由勾股定理，得b2=c2-a2=（c-a）（c+a），知b是c-a、c+a的等比中項。

設c-a=Rbc-a=c+ab=qp

得c-a=Rb=qpRa+c=qp2R

解得a=q2-p22p2b=qpRc=q2+p22p2R

由于上式只反映直角三角形的三邊關系，故將上式同時擴大常數倍2p2R

得a=q2-p2b=2pqc=q2+p2

即所謂三元數組，

再與三角函數中的萬能替換公式對照比較

sinα=2t1+t2cosα=1-t21+t2

令t=pqq2+p2=1得sinα=2pq1+pq2=2pqcosα=1-qp21+qp2=q2-p2

比較得q=cosα2p=sinα2且α2<π4

再回到我們前面的問題，由xn222+yn222=zn222

得x2z2n22+y2z2n22=13

令cosα=x2z2n2sinα=y2z2n2得cos2α+sin2α=1可得

cos2α2-sin2α22+2sinα2cosα22=1

cosα2+sinα2cosα2-sinα22+

2sinα2cosα22=1

2cosπ4-α22sinπ4-α22+

2sinα2cosα22=1

2cosπ4-α2sinπ4-α22+2sinα2cosα22=1

構建一個正方形ABCD，如圖

連接AC，作CE=1（E不為AB的中點），再作EF⊥AC于F，BG⊥AC于G。

設∠BCE=α2得BC=cosα2BE=sinα2

令BE=sinα2=xBC=1-x2

由幾何知識，得CG=221-x2

GF=22BE=22x

BE·BC=x1-x22BE·BC=2x1-x2

2sinα2cosα22=2x1-x22=4x21-x2

CF·EF=CF·AF=（CG+GF）（CG-GF）=CG2-GF2=221-x22-22x2

=12（1-x2）-12x2=12（1-2x2）

在上面圖形的基礎上，再作BR⊥CE于R，FH⊥CE于H，得BR·CE=BE·BC。

BR·1=x1-x2FH·1=12（1-2x2）

如圖找出CE的中點O，連接BO、OF，由幾何知識，得△FOH≌△BOR。

將上述三角形的各條邊擴大2倍后，得a=1-2x2b=2x1-x2c=1

這個圖例對三元數組作出幾何解釋的同時，使另外兩條直角邊都轉化成自變量是x的函數，簡化了問題。

在上面的圖形中，只需另設AF=xCF=1-x2BE·BC=121-2x2CF·EF=x1-x2這就說明a、b的位置可以互換，cosα、sinα的位置可以調換。

設y1=a2=（1-2x2）2y2=b2=（2x1-x2）2=4x2（1-x2）

依照上面的推理cos2α+sin2α=1調換其次序，得sin2α+cos2α=1

根據定理本身也可說明這一點，如果x2、y2、z2是方程的一組解，那么y2、x2、z2也是方程的一組解。根據定理的要求，cosα=un2sinα=vn2（u，v∈θ+）

在單位圓上，作出Rt△ACB，設∠A=α，并作相應的Rt△AC′B′，畫出曲線y=xn2。

若點B（cosα，sinα）在曲線y=xn2上，很明顯，B′（sinα，cosα）不在曲線y=xn2上。要得到cosθ=xn2的形式，此時的橫坐標是AD，而不是C′B′=sinθ。這就說明若橫坐標是AC=cosα，縱坐標sinα可以寫成y=xn2的形式，橫坐標是C′B′=sinα，cosα不能寫成y=xn2的形式，若要寫成y=xn2的形式，橫坐標應變為AD。

根據前面推得cos2α=（1-2x2）2

sin2α=（2x1-x2）2=4x2（1-x2）

可以理解為，在相同的x下，

cos2α=（1-2x2）2=unsin2α=（2α1-x2）2=vn

現在設y1=（1-2x2）2y2=（2x1-x2）2=4x2（1-x2）

在同一坐標系下，作出它們的圖像，如圖

在相同的x下，y=un與y2、y1的交點為P、Q，若P在曲線y=un上，點Q不在曲線上，要使點Q在曲線y=un上，需改變（1-2x2），進而改變其中的x，也就改變了上面的三元數組。說明，在不同的x下，cos2α=（1-2x2）2=unsin2α=（2x1-x2）2=vn

與上面相同的x下，cos2α=（1-2x2）2=unsin2α=（2x1-x2）2=vn相矛盾：

因此，假設不能成立。

對于y1、y2交點R的情況，得α=π4，與前面得出的x≠y相矛盾。因此，在相同的x下，得不到un+vn=1，也就無法得到xn2+yn2=zn2（n>2），也就證明了定理。

參考文獻：

[1]（美國）辛格著.費爾馬大定理，薛密譯.一個困惑了智者358年的迷[M].北京：中國社會科學出版社，2007.

[2]（俄羅斯）杜布洛文，（俄羅斯）諾維可夫，（俄羅斯）福明柯著，許明譯.現代幾何學：方法與應用[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]Kenneth H.Rosen著，夏鴻剛.初等數論及其應用[M].北京：機械工業出版社，2005.

作者簡介：

趙鎖堂，內蒙古自治區呼和浩特市，托克托縣第二中學。