透鏡與球面鏡成像規律探討

羅 濤，唐雯婷

(長春師范大學物理學院，吉林長春 130032)

通常的光學教材，一般只給出了透鏡與球面鏡成像的基本公式，討論在特定例題中的成像性質，并沒有系統地總結其整體的成像規律，這將影響學生對光學問題的判斷。本文根據球面反射、折射和薄透鏡成像的基本公式，擬合出物距與像距之間的曲線關系圖，據此對其成像規律進行了總結，并對處在不同位置物體的成像性質進行了分析，從而進一步加深學生對光學知識的理解與掌握。

1 球面反射、折射、薄透鏡成像的基本公式

薄透鏡成像的物像公式為：

(1)

其中，n2為像方介質折射率，n1為物方介質折射率，n為透鏡本身材料的折射率，s′為像距，s為物距。

在式(1)中，令r1=r2=r，則有：

(2)

式(2)為球面折射的物像公式。

在式(2)中，令n1=-n2=-n，則得到：

(3)

式(3)為球面反射的成像公式。

2 成像的性質

在光學系統中，物與像的性質包括像的虛、實、正立、倒立、放大、縮小這幾種情況。其中，橫向放大率是用于判斷透鏡成像性質的關鍵因素之一。

將透鏡成像的橫向放大率定義為像的大小與物的大小的比值，公式為：

(4)

球面折射的橫向放大率公式為：

(5)

球面反射的橫向放大率公式為：

(6)

3 物像關系與性質分析

3.1 薄透鏡成像對應的物距與像距關系

圖2是凹透鏡成像關系曲線圖，其中，n1=1，n2=1，n=1.5，r1=-10 cm，r2=10 cm。從曲線中可以清楚地看出規律，分析過程與圖1大同小異。各象限成像性質相似，其中由于實物為發散的入射光束的交點，而凹透鏡具有發散作用，所成的像必定為發散光束的交點，為虛像。因此圖2中第二象限實物不能成實像。

圖1 凸透鏡成像關系曲線圖

圖2 凹透鏡成像關系曲線圖

3.2 球面折射成像對應的物距與像距關系

圖3為凸球面鏡折射成像的關系曲線圖，其中，n1=1，n2=1.5，r=10 cm。圖4為凹球面鏡折射成像關系曲線圖，其中，n1=1，n2=1.5，r=-10 cm。圖3與圖4所示同樣為折射，性質相同，其成像規律與圖1、圖2相似。但依據公式(5)，球面折射所成像的大小還與透鏡和介質的折射率有關，不能由直線y=x直觀地看出，需要根據具體情況進行分析。

圖3 凸球面鏡折射成像的關系曲線圖

圖4 凹球面鏡折射成像關系曲線圖

3.3 球面反射成像對應的物距與像距關系

圖5是焦距f=f′=20 cm的凸球面反射成像的關系曲線圖。根據反射性質，光線的傳輸與球面鏡折射恰好相反，若像成在物空間，即s′<0，則像點為會聚光束的交點，為實像；若像不成在物空間，即s′>0，則像點為反向延長線的交點，為虛像。根據兩條輔助線判斷像的放大或縮小，根據公式(6)判斷像的正立或倒立。則第一象限為虛物成倒立虛像；第二象限為實物成正立縮小虛像；第四象限為虛物成正立放大實像；在第三象限中，根據凸球面反射特點，發散光束經反射后不能會聚，故實物不成實像。

圖6是焦距f=f′=-20 cm的凹球面反射成像關系曲線圖。與圖5的分析方式相同，其中第一象限由于在凹球面反射中，會聚光束經反射后仍會聚。故虛物不成虛像。

圖5 凸球面反射成像關系曲線圖

圖6 凹球面反射成像曲線圖

4 結語

通過以上的分析，可以清楚地從各個物距與像距的關系圖中看出其成像的規律，以及其所成像的性質。例如，在透鏡成像時，當s>0，s′>0時，對應著圖1的第一象限，即虛物成實像。在三種光學系統中，虛物能成實像，則實物亦能成虛像；而若實物能成實像則虛物必不能成虛像，反之亦然。此方法一目了然，方便學生的理解、記憶與掌握。