隧道襯砌內部空洞探測的FDTD正演模擬與試驗研究

楊成忠,羅 坤,王 威,陳屹林

(華東交通大學土木建筑學院,南昌 330013)

探地雷達因具有精度高、無損、結果直觀、操作靈活等優點，已經發展成為一種新型的工程探測技術。目前在越來越多的隧道工程開挖前的襯砌探測都會使用到探地雷達技術。周黎明[1]利用探地雷達對隧道襯砌混凝土密實性、脫空和厚度進行了探測，并對襯砌混凝土的使用效果進行了分析；Cardarelli[2]針對一段松散的隧道，結合地震層析成像法，利用探地雷達探明了隧道松散區的范圍；楊天春，肖明順等[3-4]驗證了完全吸收邊界較插值邊界更能準確模擬電磁波在無限空間中傳播的效果；許多學者[5-10]探討了天線頻率的選取問題，分析了探測資料的后續處理與解譯問題，并對如何提高探地雷達探測精度問題提出了相關措施。

然而，由于探測環境復雜，襯砌內缺陷極不易辨認等因素的影響，使得襯砌探測結果缺乏相應的解釋依據，很多都是憑借經驗判別襯砌缺陷的。針對該問題，探地雷達的正演模擬技術是有效的解決手段。經過多年的發展，正演模擬涌現出眾多的模擬方法，其中，時域有限差分法(FDTD)因其具有可直接時域計算、計算程序通用、節約存儲空間和計算時間等特點，成為如今最為重要的電磁場數值模擬方法之一，許多學者利用該法進行過探地雷達的正演模擬，在電磁波的傳播特性與應用方面做出了貢獻[11-17]。

1 FDTD法正演模擬理論

Maxwell方程組是電磁場的運動方程[18]。FDTD法即時域有限差分法采用中心差近似代替Maxwell方程組中的微分算符并從兩個含時間變量的旋度方程出發，以時間遞推的方式直接模擬電磁作用過程，可模擬各種復雜的電磁結構，具有廣泛的適用性。

高頻電磁波在三維介質中的傳播滿足如下Maxwell方程組

(1)

(2)

式中，E為電場強度，V/m；H為磁場強度，A/m；J為電流密度，A/m2；B為磁感應強度，T；D為電位移，C/m2。

波

(3)

(4)

式中，μ為磁導率；ε為介電常數；σ為導電介質的電導率。

顯然TM波只有Ez分量，由于探地雷達只記錄水平電場Ez分量，因此接下來僅對TM波進行推導。表1為E，H各分量與空間節點時間步長在二維FDTD差分方程中的取值。

表1 TM波各分量節點位置

對于式(3)，由Ex=Ey=Hz=0，可得二維的TM波FDTD公式

一稿多投是一篇文章同時往多個期刊投稿，造成兩個或多個期刊同時發表一篇同樣的文章，是一種惡劣的行為。其變種是，將題目和內容作了極少的修改，發表在不同的期刊，該行為也屬一稿多投的范疇。

(5)

(6)

(7)

2 二維空洞模型正演模擬

利用目標體和探測環境存在電性差異的特點，探地雷達可以對襯砌內徑變化的空洞進行正演模擬，得到的正向模型可以為襯砌空洞缺陷的特征識別提供依據。由于襯砌空洞形狀的不確定性，脫空形態可以看作側向擴大的空洞。因此在本文中，先將空洞簡化為圓形，再逐漸增加其橫向直徑，從而分析空洞反射響應特征在不同橫向直徑下的區別，圖1為模擬模型。

圖1 二維空洞模型

2.1 圓形空洞正演模擬

圖1(a)給出了圓形空洞正演模型。該模型長為80 cm，寬為55 cm，空洞中心距底邊20 cm，直徑為12 cm。模型混凝土的相對介電常數為10，電導率為0.005 S/m，圓形空洞的相對介電常數為1，電導率為0。此次模擬采用自激自發方式，天線中心頻率為500 MHz，吸收邊界為完全匹配層吸收邊界，等距網格步長為Δx=Δy=0.005，時窗長度為10 ns，每0.005 m采集一次數據，共160道。圖2給出了空洞正演合成掃描圖與波形圖。

圖2 圓形空洞正演合成掃描圖與波形

從圖2可以看出：在深0.35 m處反射響應特征較強，且最上層、最下層均較為顯著，這是因為空洞的頂點恰好位于0.35 m處，空氣與空洞周圍的介電常數相差較大，形成了明顯的介質分界面；反射弧兩側的反射響應特征隨著深度的增加而相應的下移且反射能量基本不變，總體呈現一開口向下的雙曲線特征。

2.2 中橢圓形空洞正演模擬

圖1(b)為中橢圓形空洞正演模型。該模型長為80 cm，寬為55 cm，在該模型正中心距底邊20 cm處有一長軸(x軸)半徑為10 cm，短軸(y軸)半徑為6 cm的橢圓形空洞，其余各項參數均與圓形空洞模型一致。圖3為中橢圓空洞正演合成掃描圖和波形圖。

圖3 中橢圓形空洞正演合成掃描圖與波形

由圖3可知：與圓形模型相同，橢圓形模型在0.35 m處也出現了強烈的反射響應特征，且多次出現強烈反射弧；空洞的反射能量分布為正中間最強，兩側隨深度的增加而下移，且反射響應逐漸減弱；反射響應特征曲線的曲率半徑伴隨著空洞橫向半徑的增大而增大，即特征曲線由圓滑的雙曲線逐步趨向于平緩的雙曲線，總體依然為雙曲線特征。

2.3 長橢圓形空洞(脫空層)正演模擬

圖1(c)為長橢圓形空洞正演模型。該模型長為80 cm，寬為55 cm，在該模型正中心距底邊20 cm處有一長軸(x軸)半徑為20 cm，短軸(y軸)半徑為6 cm的長橢圓形空洞，其余各項參數均與圓形空洞模型一致。圖4為長橢圓空洞正演合成掃描圖和波形圖。

圖4 長橢圓形空洞正演合成掃描圖與波形

從圖4可知：與上兩個模型相同，反射響應特征也出現在0.35 m處，并且出現多次的強烈反射弧；空洞的反射能量分布為正中間最強，但在兩側出現了繞射；但與前兩個模型不同的是，該模型反射響應不再隨深度的增加而下移，而是由空洞中間向兩側逐漸減弱，這是由于空洞的橫向長軸遠大于豎向短軸，導致空洞的反射響應特征整體呈現長方形特征，當空洞橫向半徑進一步增大，其反射響應特征不再呈現雙曲線特征，而是逐步變成矩形特征。

3 空洞物理測試探測試驗

3.1 空洞模型設計

在實際工程中，為了避免邊界因素的影響，應將空洞模型與環境設計為一個整體，避免模型間的分離。為此，本次試驗地點選擇樁基群施工現場，在樁基襯砌施工時，預先在其內部固定深度處分別設置一個長方形與一個圓形小空洞，待襯砌完工后，以此類小空洞為探測對象。此外，為研究大空洞的反射響應特征，將某樁基襯砌圍成的區域作為大空洞，使用探地雷達在其鄰近的樁基內部探測，以此得到大空洞的反射響應特征，圖5(a)為小空洞探測模型及其各項尺寸，圖5(b)為大空洞探測模型及其各項尺寸。

圖5 空洞探測模型及各項尺寸(單位：m)

3.2 測線布置與結果分析

在隧道襯砌探測中，根據襯砌具體情況，探測線路應與隧道的走向一致，測量輪緊貼著襯砌表面緩慢的直線的向前移動。為達到探測效果，還需要特殊襯砌對測線加密處理，在探測過程遇到的異常點需做好標記，必要時進行2次探測。本文小空洞探測試驗中，測線1與小空洞處于同一平面，沿樁基內壁循環探測3次；大空洞探測試驗中，測線2與樁基深度5 m處內圓重合，沿樁基內壁循環探測3次。如圖6(b)、圖6(c)所示。通過對測線1與測線2采集的數據進行分析，其結果如圖7、圖8所示。

圖6 探測設備與測線布置

圖7 小空洞探測灰度圖譜

從圖7可以看出：由于空洞缺陷比較細微，導致凸顯空洞的反射響應特征不夠明顯。但沿測線方向出現的空洞缺陷圖與設計模型澆筑的空洞極其吻合。例如：以測線0.7 m為中心，左右各延長0.2 m處明顯有一個探深為0.25 m的一方形空洞，以測線3.7 m為中心，有一個圓形空洞缺陷，并存在一塊脫空區域。

圖8 大空洞探測結果

從圖8可以看出：圖中間出現一條明顯的曲線，該曲線頂點處探深為1.5 m，兩端點分別位于探測里程2 m處和探測里程3.8 m處。該曲線出現的尺寸及方位完全反映了空洞的反射響應特征。

4 結論

(1)本文采用時域有限差分法，分析不同襯砌內空洞橫向直徑對電磁波反射特征的影響。結果表明：當空洞橫向直徑較小時，空洞正演合成圖呈雙曲線形式；當空洞橫向直徑不斷增大，該雙曲線逐漸變化至矩形。

(2)通過設計兩類不同尺寸的空洞模型，測試探地雷達在規則空洞的反射響應特征，驗證了正演模擬的正確性，為地質雷達探測隧道襯砌內部空洞缺陷的結果提供可靠的解釋依據。