數形結合思想在二次函數中的應用

張茹

摘要： 數與形是數學中的兩個最古老，中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。二次函數是初中數學教學的重要內容，集中體現了數形結合思想，本文結合二次函數的數學，探尋滲透數形結合思想的有效策略。

關鍵詞： 數學結合；二次函數；應用

著名數學家華羅庚先生在談到數形結合的好處時曾作詩贊美：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數流一體，永遠聯系莫分離。”數形結合思想是指導學生數學學習的重要數學思想之一，掌握數形結合的方法，可以極大地提高學生的數學學習效果，訓練學生的數學思維，讓學生終身受益。二次函數作為初中數學教學的重要內容，集中體現了數形結合思想，是訓練數形結合方法的良好載體。

“數（代數）”與“形（幾何）”是數學的兩個基本研究對象，這兩個內容既互相獨立又互相聯系，體現在數學解題過程中包括“以數解讀形”和“以形分析數”兩個方面。數形結合思想就是把數和形有機組合，使數學問題得到轉化，“形”讓“數”更具體明了，“數”使“形”更形象靈活。因此，數形結合思想在數學解題中有廣泛的應用。數形結合思想在二次函數中的應用比較廣泛，借助數形結合思想可以方便快捷地解決二次函數問題，怎樣利用數形結合思想解決二次函數問題呢？要在解題中有效實現“數形結合”，最好能夠明確“數”與“形”常見的結合點，從“以數助形”角度來看，主要有以下兩個結合點：第一，以數軸、坐標系為橋梁把函數圖象幾何化；第二，利用面積、距離、角度等幾何量來解決二次函數問題。

一、二次函數中的形轉數

二次函數圖象的頂點在原點0，經過點A（1，1）；點F（0，1）在y軸上，直線y=1與y軸交于點H。（1）求二次函數的解析式；（2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線=y-1交于點M，求證：FM平分∠OFP。解析：二次函數的解析式可以順利解決，對于（2）點P是（l）中圖象上的點，過點P作X軸的垂線與直線=y-1交于點M，求證：FM平分∠OFP；我們要挖掘圖象蘊含的信息，PM平行于y軸，可得∠OFM=∠PMF，接下來探究乙PMF是否等于∠PFM，因為P在二次函數的圖象上，可以設出P點的坐標，那么由P向y軸作垂線段PB，構造直角三角形，利用勾股定理表達出PF的長度，依據P的坐標可以表示PM的長度，那么可以證明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，結論得到證明。本題的解決依賴于通過“數”：PM、PF的長度的表達式證明二者相等，數相等，線段長相等，通過“形”的狀態得到“數”的性質，又通過“數”的性質演繹出“形”的狀。

二、二次函數中的數轉形

數學語言主要有文字語言，符號語言，圖象語言三種形式。在解決問題時，可以選擇最理想的形式表現內容，也可以把三者結合起來互相對照，互相印證。二次函數圖象與性質中，主要要教會學生會理解文字語言，符號語言，圖象語言，能將這三者統一聯系起來，能夠根據關系式畫出圖象，能夠根據圖象求解出關系式，能夠根據問題中所給的條件畫出符合條件的圖象，求出對應的關系式，或者是系數之間的關系等等。在教學中讓學生多感受體驗不同形態的數學語言，將這些數學語言理解轉化到自己的知識結構中，更能靈活的運用性質，有意識的訓練培養學生數形結合的思想。如例子：實數a在什么范圍內取值時，關于x的方程3x2-5x+a=0的一個根大于-2，一個根小于3？分析：如果單純的從一元二次方程的角度去考慮問題，解題復雜，并且不容易求解出答案。將問題轉化為二次函數y=3x2-5x+a=與x軸相交于兩點，且兩點滿足的關系是一個大于-2，—個小于3，求a的取值范圍。用數形結合的思想，畫出函數的圖象，結合圖象列出滿足的關系式，從這方面考慮問題就簡單化了。根據函數系數的特征得到圖象的基本性質開口方向向上，對稱軸在正半軸，畫出草圖如圖所示，根據圖象的性質得到滿足的條件為：當x=-2時，y>0；當x=3時，y>0。列出不等式組：3x（-2）2-5x（-2）+a>0，3x32-5x5+a>0，不等式組的解集即是a的取值范圍。

三、總結

數形結合思想在二次函數中的應用價值及其運用方法，也就是只要充分挖掘題中所蘊含的信息，借助坐標系及相應的幾何知識，利用數形結合的方式，就可以尋找到解題的有效途徑，不再讓二次函數成為難題和困擾，使解題成為一種快樂的體驗。數形結合思想方法可以比較容易地把抽象難懂的知識內容轉化為形象易學的知識，教師應通過認真研讀教材，挖掘滲透數形結合思想的教學內容，靈活應用恰當的教學方法，借助有效的教學手段，有的放矢地進行數學思想教育，促使學生掌握數形結合的方法，鞏固學生的數學基礎知識，提高學生解決數學問題的能力。

參考文獻

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