變形構(gòu)造、動(dòng)態(tài)分析

劉杭嶺

“含參函數(shù)方程有解取值范圍問題”歷來是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)。此類問題通常將函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)融合在一起，需要綜合運(yùn)用多種解題技巧與思想方法。因此，學(xué)生遇到此類問題時(shí)往往無從下手，望而生畏。那么此類問題的該如何解決呢？

一、直接構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)分布

例1 設(shè)關(guān)于x的方程和得實(shí)根分別為和，若，則的取值范圍是__________

解析：此題涉及到兩個(gè)含參數(shù)的方程根之間的關(guān)系，如果直接利用解方程的思想很難找到題目的突破口。如果把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，把根的關(guān)系看出零點(diǎn)的分布或者圖像的交點(diǎn)，那么，問題的解決可能就會(huì)容易的多。一般情況下，方程根的問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的問題，因?yàn)楦菍Ψ匠痰?“靜態(tài)”表述，而零點(diǎn)是對函數(shù)的“動(dòng)態(tài)”刻畫，借助運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)往往更容易找到問題的突破口。

設(shè)，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖1所示。容易得到，要滿足，

則

二、分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)

通過構(gòu)造新的函數(shù)，零點(diǎn)往往又可以轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)。在構(gòu)造新的函數(shù)時(shí)，往往遵循“一動(dòng)一定，一直一曲”的原則，這樣有助于復(fù)雜的問題簡單化、直觀化。對于上述例題，我們還可以這樣解：

因?yàn)?

設(shè)，

于是函數(shù)與圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是，。如圖2所示，要滿足，則直線只能在A、B之間移動(dòng)，容易求得。

交點(diǎn)比零點(diǎn)更具靈活性，因?yàn)椴煌暮瘮?shù)視角，就會(huì)產(chǎn)生不同的交點(diǎn)。對于，上述例題，還有另外一種構(gòu)造方法：

。

令，問題就轉(zhuǎn)化為拋物線與兩條直線的交點(diǎn)問題。由于a的不確定性，所以要對a進(jìn)行分類討論，如圖3所示。

（1）當(dāng)時(shí)，，

則;

（2）當(dāng)時(shí)，顯然成立;

（3）當(dāng)時(shí)，要滿足，則直線只能在與的交點(diǎn)A、B之間滑動(dòng)。不妨設(shè)交點(diǎn)為，

則有，

解得，所以。綜上，。

三、注變化規(guī)律，動(dòng)態(tài)分析臨界狀態(tài)

例2 若關(guān)于x的方程對任意均有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______

解析：此題包含兩個(gè)參數(shù)，兩個(gè)參數(shù)相互制約，共同影響整個(gè)問題的結(jié)論。因此，在解題時(shí)要關(guān)注參數(shù)的變化規(guī)律，從運(yùn)動(dòng)的視角分析臨界狀態(tài)下圖像相交的特點(diǎn)，從而找到問題的突破口。

。

設(shè)，可得的圖像表示的是恒過定點(diǎn)，斜率在之間變化的直線束，其中點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)。

因此，原問題就轉(zhuǎn)化為與有交點(diǎn)，如圖4所示，考慮臨界狀態(tài)時(shí)的相交情況。

當(dāng)?shù)闹本€過點(diǎn)時(shí)，

將代入，得臨界點(diǎn);

當(dāng)?shù)闹本€過點(diǎn)時(shí)，

將代入，得臨界點(diǎn);

所以。

本題難點(diǎn)在于有兩個(gè)參數(shù)，如果能夠事先估計(jì)除參數(shù)的取值范圍，那么問題的解答過程就會(huì)簡潔的多。本題的解法還可以進(jìn)一步優(yōu)化：

因?yàn)榉匠虒θ我獾亩汲闪ⅲ瑒t當(dāng)與1時(shí)方程也成立，即有解，

得;有解，

得，

所以。

上面是當(dāng)與1時(shí)得到的取值范圍，還需要驗(yàn)證

當(dāng)時(shí)，

對任意的，方程都有解。

令，直線恒過定點(diǎn)，

而點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)

如圖5所示，對任意的斜率，直線與半圓恒有交點(diǎn)。

綜上所述：。

“含參函數(shù)方程有解取值范圍問題”往往比較抽象，直接運(yùn)用代數(shù)計(jì)算很容易陷入“山重水復(fù)疑無路”的困境，而采用數(shù)形結(jié)合就會(huì)迎來“柳暗花明又一村”的曙光。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵是通過變形，構(gòu)造函數(shù)，把方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)或者圖像交點(diǎn)來處理，然后立足運(yùn)動(dòng)變化的視角動(dòng)態(tài)分析圖像的變化規(guī)律，最終找到問題的突破口。