高中數(shù)學推理與證明中的“偽證”思想

鄧正南

摘要：本文以“偽證”思想為切入點，就其概念含義做分析探討，并就其在高中數(shù)學推理與證明教育中的作用方式與教學實例做細致的闡述研究，期望為高中學生數(shù)學推理意識與證明能力的培養(yǎng)提舟提供有益的參考。

關鍵詞：高中數(shù)學 推理 證明 “偽證”思想

證明與推理是數(shù)學學習中最為基礎與重要的思維步驟，也是高中學生數(shù)學學習中重要的思考方式，作為高中數(shù)學教學中至關重要的內(nèi)容之一，對學生推理與證明意識的培養(yǎng)一直是教師的重點教育研究對象。基于此筆者認為將“偽證”思想應用進高中數(shù)學推理與證明教學進程中，將有助于提升課堂教育質(zhì)量，并推動學生推理意識與證明能力的發(fā)展。因此筆者以“偽證”思想為研究出發(fā)點，就其理論相關含義知識做闡述分析，并對其在高中數(shù)學推理與證明中具體教學應用方式做詳細的探討研究。

一、“偽證”思想概述

“偽證”思想即偽證主義科學觀，其理論來源于英國學者波普爾的著作《猜想與反駁》，該觀點是基于對邏輯實證主義的反駁，由波普爾提出的對偶然真理界定的偽證主義。其理論思想的證明方式采用試錯法，即不斷對科學問題提出各類假說與猜測，之后思考與找尋符合其假說猜測的事例，然后依照已有事例對原本的假說猜測予以修正，并不斷循環(huán)重復這一證明過程，最終將原本提出的猜想假說予以否決，以驗證與完善科學理論觀點。

二、高中數(shù)學推理與證明中利用“偽證”思想進行教學的研究

為具體研究“偽證”思想在高中數(shù)學推理與證明中的教學應用，筆者以概率這一高中數(shù)學中的重要知識概念為切人點，就“偽證”思想在概率知識教學中的策略與方法做研究分析。

學生在初中階段已對概率知識有了初步的了解與認知，但因其本身知識概念的抽象性，在高中數(shù)學教學中依然是學生較難以領會與掌握的難點內(nèi)容之一。同時學生在學習過程中的各個階段環(huán)節(jié)都容易出現(xiàn)各類理解偏差與錯誤，進而生成錯誤的知識概念。而相應的概念認識一旦形成，要進行消除與糾正就會十分困難。正因為概率這一知識內(nèi)容的特性，將“偽證”思想應用進其教學活動中，有利于促進學生對概率知識的理解認知深度，并提升其數(shù)學推理與證明能力。因此筆者以概率知識的課堂教學相關實例，探究具體的“偽證”思想應用方法。

例如在教授概率內(nèi)容時，教師可先為學生提供相應的隨機事件數(shù)據(jù)表格，來讓學生思考并分組探討如何基于隨機事件的頻率，推定其具體的概率數(shù)值。隨機事件頻率表如表1、2所示。

在學生合作討論之后選取各組代表做意見表達，學生能得出表1中所有向上頻率的平均值為0.5046，其與生活中的實踐經(jīng)驗是相同的，表2的數(shù)據(jù)學生雖然缺乏相應的檢驗經(jīng)驗，依然能取其平均值作為概率。此時教師可為學生提出新的思考方向：雖然表1所得的結果的確如此，但其是否真的能作為一個普遍性結論，應用到各類隨機事件的推理過程嗎？以引導學生向對概率平均值計算的“偽證”方向予以思考。在學生相互探討后再次請各組代表發(fā)言，有做積極思考的小組就能發(fā)現(xiàn)表2所有概率的平均值是0.9392，但其頻率數(shù)值明顯帶有向0.95變動的趨勢，因為伴隨實驗次數(shù)的增大，頻率的平均值應該更接近于概率才對。因此對表2的概率值計算應取其最大次數(shù)下的頻率數(shù)值做平均計算，將大實驗次數(shù)下的平均值作為隨機事件的概率值。

對這種觀點教師可再引導學生向完全證明其猜想的科學性出發(fā)，對取較大試驗次數(shù)下平均值的推測做偽證推理，以啟發(fā)學生向“足夠大”這一概念定義產(chǎn)生疑問與思考，并進一步推論所示所選取的試驗次數(shù)不同，那所得出的頻率平均值也會不同，因此對概率值的測算不能僅適用“較大”的試驗次數(shù)這一模糊概念，因為近似值往往不是唯一的，模糊范圍下產(chǎn)生的概率數(shù)值也會不精確。之后可總結出在海量試驗下，隨機事件A的產(chǎn)生會呈現(xiàn)相應的規(guī)律性。在試驗次數(shù)次數(shù)n→+∞時，發(fā)生概率m/n總是趨于接近的常數(shù)就是其概率，相應表達式可概括為對數(shù)列（m/n）來說，P （A） =lim m/n。

n→∞

但此觀點依然不夠深入與全面，在此基礎上教師可為學生溫習極限的概念，引導學生對該表達式做進一步的思考，最終由部分學優(yōu)生發(fā)現(xiàn)其問題所在：在數(shù)列極限概念中，對任意的ε >0，則總是存在一個正整數(shù)N，且當n>N時，|a_n-A|<ε，此時常數(shù)A是數(shù)列{a_n）的極限，因此對于數(shù)列（m/n），其概率值雖然總是在某一個常數(shù)周圍變動，但并不總能確保其概率值總是趨近于這個常數(shù)，還是會有反復現(xiàn)象的出現(xiàn)，因而不能將發(fā)生頻率接近的常數(shù)作為表2的概率值。

三、結束語

從以上概率知識的教學實例可發(fā)現(xiàn)，基于偽證思想應用進高中數(shù)學教育中，能有效促進學生對知識概念的反復理解與探究，在不斷的“偽證”進程中充分理解與把握所學知識的內(nèi)涵與深意，使其有效掌握到高中數(shù)學中較為復雜與抽象的理論知識。

參考文獻

[1]包曉兵.“證偽”思想在高中數(shù)學教學中的作用[J].理科考試研究，2015，23： 30.

[2]劉長柏.數(shù)學思想在《推理與證明》中的運用[J].中學生數(shù)理化（高二），2016.02：12-13.