電場中類單擺運動和彈簧的一維振動類比

余晨華

類單擺運動是高中物理中常見的一種運動，由于多加了一些力，中學生經常會感到無從下手，對過程分析感到比較迷茫，對問題中的平衡位置不太清楚。為提高學生解決此類問題的能力，我們以一道例題展開分析，如下例題1。

例題1：如圖1所示，在水平向右的勻強電場中，用一絕緣細線懸掛一個帶電小球，其平衡位置為圖中a點，現把小球拉到最低點b靜止釋放，則小球 從b到a的過程中電勢能和重力勢能的改變量ΔE應為（ ）A. ΔE>0 B. ΔE<0 C. ΔE=0 D. 無法確定

該題為“類單擺”運動的一種常見類型，即帶電小球在勻強電場中的運動和單擺運動相似，但實際并不是單擺運動，它不符合單擺運動的條件，再加上電場環境，則解題難度增加。題上說a點為平衡位置，中學生很容易錯認為小球到a點靜止，其實平衡位置是物體所受指合外力為零，加速度為零的位置，而不是物體靜止的位置，這時速度應該是最大的。這是中學生容易混淆的知識點，是學生對小球運動過程分析不透徹的體現。

從能量的角度來看，帶點小球從b到a運動的過程中，動能、電勢能、重力勢能之和保持不變，從b到a運動的過程中，動能增加，所以在此過程中，電勢能和重力勢能之和減少，即ΔE<0。關于“從b到a運動的過程中，動能增加”可從受力和運動的角度分析，對小球進行受力分析，小球受到重力，細線的拉力，以及水平向右的電場力，而重力與電場力的合力F是一個恒力，大小和方向是不會改變的，與類重力場相似，可以從合力F的角度看過去，與O與平衡位置a點連線是平行的。拉力的方向與速度的方向互相垂直，因此在整個運動過程中拉力是不做功的，因此我們只需要看重力與電場力的合力F的做功情況，可以知道，小球在由b到達a的過程中，F與速度是銳角關系，故F做正功，小球的動能一直增大，而到達平衡位置a的時候，小球受力平衡，即合外力為0，此時F與速度垂直，小球速度達到最大，接下來小球由于慣性將繼續做圓周運動，則速度方向與F成鈍角，F做負功，小球動能隨著運動逐漸減小至b，再接下來，小球返回，依次經過a和b，其中仍然在a點速度達到最大，小球就這樣做著往復運動，如圖2所示。

整個過程都是重力與電場力的合力F在做功，因此速度的變化具有對稱性，且平衡位置也是固定不變的，因此，筆者聯想到，這與彈簧振子的簡諧振動在速度上的變化特征相似，因此完全可以將本題套在彈簧振子模型上來分析、求解。只是彈簧振子在一維直線空間運動，而本題的小球在二維平面運動，這是與一維空間的不同之處。下圖3為一水平放置在桌面上的彈簧振子（桌面光滑）。

設O為彈簧振子的平衡位置，則O點相當于上題中的a點，彈簧振子在平衡位置速度最大，由平衡位置向兩邊運動時，速度均減小，由兩邊向平衡位置運動時速度均增大。因此，電場中的類單擺問題，其實與簡諧振動中彈簧振子的運動特征相似，做題時，可以將小球的運動與彈簧振子的運動類比學習，他們對彈簧振子的運動較為熟悉，因此這樣對他們來說，更容易理解一點。

靜電場中的小球和彈簧振子中的小球均為研究對象，a點和O點均為平衡位置，小球到達平衡位置時速度均為最大值，電場力和重力的合力F的作用和彈簧彈力的作用類似，類比彈簧振子中小球的運動，可知電場中小球的運動過程。

這樣分析，將二維平面帶電小球的運動類比簡化為一維直線上彈簧振子的運動，簡化了問題情景的難度，將復雜的問題簡單化，理解起來更為容易，提高學生對知識的系統掌握能力，鍛煉學生的思維能力。