由高考題例談高中數學建模能力的培養

王贅

《普通高中數學課程標準》中指出：數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學方法構建模型解決問題的素養。數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力。數學建模主要表現為：發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題。

江蘇高考卷一直在堅持以建模為主，“在考查基礎知識的同時，側重考查能力”是高考的重要意向，而應用能力的考查又是近二十年來的能力考查重點。應用題的載體很多，按考查的知識分類有：函數（一次、二次和三次函數以及分式函數、分段函數、三角函數等）型;不等式型;解三角形型;解析幾何型等。2016、2017年應用考題是立體幾何模型，2017年應用考題需利用空間中的垂直關系和解三角形的知識求解。

[例1]（2016.江蘇高考）現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如圖所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍。

（1）若AB=6m，P01=2m，則倉庫的容積是多少？

（2）若正四棱錐的側棱長為6m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？

分析：本題考查柱體與錐體的體積計算方法，解題的關鍵是掌握柱體與錐體的體積計算公式，進而化成函數的概念、導數的應用，再結合導數知識解決相應最值問題。

（如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結果為20cm）

對應用題的訓練，一般從讀題、審題、剖析題目、尋找切入點方面進行強化，注重培養將文字語言轉化為數學語言的能力，強化構建數學模型的幾種方法。應用題體現綜合（在不同知識點交匯處編題），不斷創新（問題的背景、設問的方式、解題的方法方面），強化能力（對考生的閱讀理解能力、將實際問題向數學問題轉化的能力、運用所學數學知識解決寞際問題的能力）。

解答應用題關鍵是要過好三關：

（1）審（讀）題關：讀懂題意，明確問題的實際背景;審題時，抓住問題中的有用信息，理順數量關系，為建模做準備。審題時要努力做到三讀：粗讀——細讀——精讀。

（2）建模關：確定問題模型，將實際問題數學化，明確本小題實際上是一個什么樣的數學問題（已知什么？求什么？）。值得一提的是，由于一個大題有若干小題，因而對于題目提供的條件，在解每個小題時，要正確判斷該用哪些條件。

（3）解模關：將應用問題轉化為數學問題后，就要運用恰當的數學知識與方法去解決已轉化了的數學問題：與圖形有關的應用題應、莊意數形結合;與函數有關的問題應注意函數的性質運用，與不等式有關的問題要靈活運用不等式知識（如解不等式、運用基本不等式求最值等）。值得一提的是，幾乎每年的高考應用題都有一個最優化問題，因而在解模中要熟練掌握求最值的幾種常用方法。

通過高中數學課程的學習，讓學生學會用數學的眼光來觀察，用數學的思維來分析，用數學的語言來表達。除了通常講的分析問題、解決問題能力，我們還強調學生要有發現問題、提出問題的能力，這其中有預判、預測、推演、找到巧妙的方法的過程，這才是數學思維的訓練。提升學生核心素養，是落實教育本源的問題，也意味著教與學的方式都要轉型。關注學生身心健康，長遠發展，終身學習的能力，為學生走上社會打好基礎，也就是“教是為了不教”。