應用化歸思想，助力解決數學函數問題

周鵬

化歸思想是一種有效的解題策略，簡單來說，所有將問題由難變易的過程都可以稱為化歸，它在學生學習數學的過程中能夠發揮很重要的作用。函數是許多學生較為薄弱的一部分內容，但是它在高中數學中占有很大的比重，和其他部分知識的聯系也十分緊密，可以說，只有掌握了函數知識，才能真正學好數學。因此，對于函數的教學，教師更要多加重視，積極引導學生學會應用化歸思想，將復雜的函數問題簡單化，提升解題能力。

一、正面反面化歸，改變方向

正面和反面是既有矛盾又有聯系的兩個方面，當遇到一些正面求解較為困難的題目時，不妨轉換思路，改變解題方向，試著求一求問題的反面，往往能夠減少許多計算量，使得問題變得更加容易解決。

在函數零點這一部分經常會有已知零點個數，要求參數取值范圍的問題，比如：若函數f（x） =x2-2ax+2在區間[O，4]上至少有一個零點，求實數a的取值范圍。在拿到這道問題時，許多學生都會下意識地根據題目中存在零點的條件進行求解，但是由于至少一個零點就意味著可能有一個或兩個，同時由于a的存在導致對稱軸無法確定，還有一個區間范圍的限制，這些因素都可能會導致學生在求解過程中出現錯誤，并且使得解題過程十分復雜。因此，不如引導學生試著從沒有零點這個反面情況考慮，函數在[O，4]上沒有零點，即沒有實數根，轉化為數學語言就是x2-2ax+2≠0，即a≠x/2+1/x，xE[0，4]，觀察2+x這個式子的結構，很容易聯想到所以說，也即當a<√2時，方程才沒有實根。而題目條件是至少有一個零點，即要求的是方程有實根時a的范圍，所以結果應為a≥√2。從這個例子中可以看出，對于含有“至少”這一類字眼的函數問題，要引導學生從反面進行嘗試。值得注意的是，最后一定要再回到題目中去，回答真正的問題。

二、常量變量化歸，減少變元

許多函數問題中經常會伴隨參數的出現，也就意味著要區分開哪個是常量，哪個是變量。對于這一類的問題，可以將常量和變量進行互換，把函數中的參數變成主元，幫助減少不定因素，使得問題更加容易求解。

例如有這樣一道有代表性的例題：當k≤1時，不等式（lg）z-（2+'k lgx+k-l>0恒成立，求x的取值范圍。在這道題目中，不等式是關于x的式子，k是其中的參數，即x是變量，而k為常量，相比于將函數變為關于lgx的函數，觀察式子不難看出，倘若將其變為關于k的式子，則是一個一次函數，且題目中還給出了k的范圍，顯然一次函數更加簡單。因此，題目就變成了：當k≤1時，不等式f（k）=（1-lgx）k+[（lgx）2-21gx_l]>0恒成立，求x的取值范圍。這樣，k就變成了函數中的變量，而x則變為常量，即實現了變量和常量的互化。問題簡單了，對于一次函數而言，只能增或減，再者不變，因此，想要在k≤1的范圍內讓，f（k>0，只需要讓f（-1）>0和f（1）>O即可，問題就迎刃而解了。回顧這道題目，學生更容易想到的思路是生成一個新的變量來代替lgx，然后將其變成一個二次函數，這種方法雖然也可行，但是增加了一個未知的量，意味著求解過程將會變得更加復雜，學生會更加容易出現混亂，因此，如何將變元減少才是應該考慮的方向，這也是教師需要引導學生學會的一個重要解題思路。

三、特殊一般化歸，捕獲規律

特殊和一般的思想也是數學中經常存在的一種思想，一般規律的發展往往是從特殊問題引發而來的，而一般的結論在特殊條件下也可以成立，這個相互轉化的過程應用在解題中，也可以幫助解決一系列函數問題。

以函數性質的教學為例，經常會遇到這樣的題目：函數f（x）在R上任意可導，若（x-2）f （x）≥O成立，則，（1）+f（3）和2f（2）之間有什么關系？觀察問題，f（l）、f（3）和f（2）都是指具體的函數值，學生看到這種要求函數值的問題，經常會先想到要求出函數的表達式。這種思路是萬萬不可取的，一般對于這種類型的題目，很難直接得出函數具體的式子，但是我們可以分析出函數的性質。在這道題目中，根據（x-2）f（x）≥O這個不等關系可以很容易地推導出：當x≥2時，f（x）≥O;當x<2時，f（x）2時，函數圖像遞增;當x<2時，函數圖像遞減;當x-2時，函數能夠取得最小值。根據這個規律可得f（l）≥f（2），f（3）≥f（2），所以f（1）+f（3）≥2f（2）。這就是一個簡單的利用一般規律來求解特殊值的例子，其中分析出的函數的單調性就是根據題目信息得到的一般規律。也就是說，在面對許多無法直接求出函數表達式的問題時，都需要學會分析函數性質來解決問題，同樣的，在遇到需要求解函數一般表達式的問題時，也要學會利用特殊值代入的方法進行解答。

四、相等不等化歸，建立關系

相等和不等也是數學中常出現的兩種對立關系，在函數問題中經常出現不等或相等關系，那么充分利用這些關系，并學會將其互相轉化，在問題和條件中建立一定的關系，也能夠幫助找到問題的突破口。

例如這道題目：定義在R上的函數f（x）對任意實數x都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=1，求f （2003）的僵。在拿到題目時，學生往往看到2003就不知如何下手了，但是其實這一類問題很簡單，題目讓求的是當x=2003時，f（x）的值，但是條件卻給的是兩個不等關系，所以，不如利用f（2003）所存在的不等關系進行求解。根據第一個不等式可以列出式子：f（2003）≤f（2000）+3≤f（1997） +3+3≤…≤f（2）+2001，同樣根據第二個不等式也可以得出：f（2003）≥f（2001） +2≥f（1999） +2+2≥…≥f（l）+2002。將這兩個不等式合并之后可以得到一個最終的不等關系：f（1）+2002≤f（2003）≤f（2）+2001，因此，只需要知道f（l）和f（2）的值，就可以知道f（ 2003）的范圍，題目中已給出f（1）=1，所以僅求出f（2）即可。在求解時，要對題目信息進行充分的利用，分別讓x-l，O和-1，并代入這兩個不等關系中，最終可以求出f（2）-2，所以，2003≤f（2003）≤2003，即f（2003） =2003。函數問題中經常會出現這種求函數值的問題，許多學生看到x的值很大，就會產生害怕心理，不敢繼續做下去，所以，教師要引導學生不要膽怯，類似f（2003）的式子最終都會根據不等關系而轉化為求一個像f（2）一樣的式子，很輕易地就能夠得到結果。

函數問題千變萬化，但是萬變不離其宗。只要能夠正確判斷出題目的類型和解決這類題目的化歸方法，所有問題就都會變得簡單而有趣。因此在課堂上，教師應充分運用化歸思想，不斷重復，建立學生學會用轉化方法解決問題的意識，再配合不斷的練習，真正實現函數問題上的突破。