數學思想史在實變函數教學中的應用

劉艷杰

實變函數是一門重要的數學專業課程，在整個教學體系中具有承上啟下的作用。這門課程具有高度抽象、思維嚴密和邏輯性強等特點，使初學者感覺晦澀難懂，面對問題束手無策。本文從實變函數教學的實際出發，結合筆者從事實變函數教學的經驗，論述了在實變函數教學中融入數學思想史的重要性和有效性，以及數學思想史對于培養學生創新思維的教育價值。同時也說明了在教學中應用數學思想史應注意的問題。

1 引言

數學有一個非常突出的特點就是抽象，抽象是數學的一個長處、一個優點、一個武器。這一點在實變函數這門課中有非常深入的體現。它的概念、理論、論證技巧和思想方法已滲透到數學的各個分支，成為了解并且真正掌握現代數學的一門必不可少的課程。

因此，在教學中必須激發學生學習實變函數的興趣，使他們深入地理解數學概念和證明推理過程，掌握這門課程的主要內容和思想。在實變函數教學中，教師應注重在課堂教學時結合教學內容向學生介紹一些重要數學成果產生的社會歷史背景和數學思想淵源，使學生更好地學習和理解實變函數的知識和理論，也能使學生更好地學習后續的專業課程。

2 應用數學思想史教學的幾個關鍵因素

2.1 要恰當、合理、適量地選擇數學思想史。

數學思想史是學習數學、認識數學的工具。數學史可以培養學生對數學的全面認識，對數學給出一個整體框架，能認識到各分支之間的相互關系，并且對數學問題的概念理論和方法的來龍去脈有一定認識，對數學問題產生的動機與產生的后果有所了解，從而深入地理解數學概念和證明推理過程。數學史更重要的作用是可以提高學生的數學素養。數學史融入實變函數教學中是為了促進和幫助助學生了解實變函數的產生和發展，領會實變函數的思想，促進實變函數的教學，而不是為了學習數學史，所以在教學中要在恰當、合理、適量地引入數學思想史，絕對不能本末倒置。

2.2 要真實、科學、有效地選擇數學思想史，注重教學過程的整體性、系統性。

在實變函數課程中引入數學史的目的是使學生發現和認識到一個問題從產生到解決的過程中，只有正確的革命性的思想方法才是取得實質性進步的原動力。日本學數學家米山國藏指出：“無論對于科學的工作者技術人員還是數學教育工作者，最重要的是數學的精神思想和方法，數學知識只是第二位的了”。因此在實變函數中融入數學思想史應具有真實性、科學性，避免虛構和假設。

在實變函數的教學過程中，應以數學思想史這條內在的線，串聯起教學的知識點和內容。當課堂教學結束后，學生不僅學習了這節課主要內容的歷史知識，也掌握了本節課程的主要知識點。

2.3 要注重數學史的趣味性，充分發揮教師的引導作用。

在實變函數的教學過程中，引入數學史的目的之一就是為了提高學生的學習興趣，所以應該選擇典型的、有趣味性的資料，同時數學史融入的方式也要多樣化。選擇生動有趣的數學史，才能在調動學生積極性的同時，達到預期的教學效果。在教學過程中，教師要具備激勵學生參與學習的能力，具備引導學生分析、思考能力，引導學生由數學史向理論升華，對問題有更深刻的理解。

3在教學中引入數學思想史應該注意的問題

3.1 培養學生客觀地看待新現象、新事物。在教學中引入數學史的目的不僅局限于對實變函數的發展史的了解，而重在通過對典型事例的分析以及解決問題思路、方法等的了解和掌握， 使學生進一步理解非典型事物與事理， 進而用以解決特殊問題。因此應避免就事論事， 缺乏深層次的理論思考。要引導學生體會和認識到實變函數論的產生是由于新現象和新事物的刺激，以及數學家勒貝格能夠客觀、正確地認識這些新現象和新事物的結果。

3.2 要發揮學生的主體作用，培養學生獨立思考和獨立研究能力。學生是整個學過程的最關鍵因素。在實變函數課堂上向學生介紹為克服黎曼積分的不足而創立了勒貝格積分的這段數學史，不但可以提醒學生要從不同角度思考問題，培養他們的逆向思維能力，同時還可以鼓勵學生從已經學過的數學知識中，探尋數學家們思考問題的思路都符合哪些抽象法則，這樣學生就會進行深入的思考，從而培養他們獨立思考和獨立科研的能力。

4 總結

日本數學家米山國藏說過：“在學校學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終生受益”。在實變函數這門具有高度抽象、思維嚴密和邏輯性強等特點的課程中，有針對性的引入數學思想史，營造一個積極思考的環境，使學生通過對數學史、數學發展趨勢等知識的了解，加深對數學思想、數學方法的體會和理解，變枯燥無味的教學為生動有趣，使學生熱愛數學。在教學過程中，學生不僅加深了對課本知識的理解，同時又可以獲得置身其中思考的機會，使他們學會數學的理性思維，便于逐漸形成善于質疑、樂于探究、勤于動腦、努力求知的研究態度。既能使實變函數課程的教學達到更好的教學效果，提高教學質量，又能使教學相長，師生共同進步。

（作者單位：東北大學秦皇島分校數學與統計學院）