淺析高中數學小題中有關構造函數問題

宋英軍

【摘 要】為同學們總結有關函數導數中小題的部分題型的解題思路，幫助其擺脫對函數導數的陰影，特對函數導數中的部分小題做出一些個人的總結，希望對同學們有些許幫助。

【關鍵詞】高中數學；構造函數；由條件推導新函數

根據各種有關函數構造小題，本人將其分為兩大類：⑴有關函數奇偶性的簡單函數構造問題。⑵單純的復雜函數構造問題。由于例題過于繁雜，本人便不一一列舉。不過，在講述解題方法之前，本人先對其所用的基本公式進行一下說明，以便于之后的總結。

由于目前高中對函數介紹較少，對于函數導數的運算主要應用以下幾個公式：

1.函數導數的加減法運算公式；

2.函數導數的乘法運算公式；

3.復合函數的求導公式。

為了便于做出總結，特在此將函數導數的除法運算公式做一些改動。改動并證明如下：fxgx′=f′xgx-fxg′xgx2fx

gx-1′=f′xgx-1+fxg′xgx2=f′xgx-1+fxgx-1′可知，函數導數的乘法運算公式與除法運算公式實質性等同。

類型一：有關函數奇偶性的簡單函數構造問題；

1.（高考）奇函數中的構造函數問題的顯性應用

常見條件：①fx在R上可導；②fx+f-x=2Ax2在R上恒成立；③f′x-2Ax在0，+∞或-∞，0為正或為負。

構造過程：fx+f-x=2Ax2fx-Ax2=-f-x-A-x2。所以，fx在R上為奇函數。令gx=fx-Ax2，則g′x=f′x-2Ax，即得新函數gx為所求函數。

2.（拓展）偶函數中的構造函數問題的顯性應用

常見條件：①fx在R上可導；②fx-f-x=2Ax在R上恒成立；③f′x-2A在0，+∞為正或為負。

構造過程：fx-f-x=2Axfx-Ax=f-x-Ax。所以，fx在R上為偶函數。令gx=fx-Ax，則g′x=f′x-2Ax，即得新函數gx為所求函數。

3.（拓展）隱性應用

眾所周知，兩個奇函數相加仍為奇函數，偶函數亦然。而x的奇次方為奇函數，x的偶次方為偶函數。如果上述的奇函數與x的奇次方相加，偶函數與x的偶次方相加，即可構造出更加復雜的函數。但因其難度太大，在此便不做具體說明。

類型二：單純的復雜函數構造問題

1.（高考）冪函數與未知函數的乘法問題

常見條件：①fx在R上可導；②xf′x+Afx在0，+∞或-∞，0或R上為正或為負。

構造過程：令gx=xAfx，得g′x=xAf′x+AxA-1fx=xA-1xf′x+Afx。即得新函數gx為所求函數。

2.（高考）指數函數與未知函數的乘法問題

常見條件：①fx在R上可導；②f′x+Afx在0，+∞或-∞，0或R上為正或為負。

構造過程：令gx=eAxfx，得g′x=eAxf′x+AeAxfx=eAxf′x+Afx。即得新函數gx為所求函數。

3.（高考）正余弦函數與未知函數的乘法問題

由于此類問題形式簡單而種類繁多，我將以表格形式列出。表格如下：

4.（高考）三項式問題

常見條件：①fx在R上可導；②Ax+Bfx+xf′x在0，+∞或-∞，0或R上為正或為負。

構造過程：因為Ax+Bfx+xf′x=xf′x+Afx+Bfx=xf′x+Bfx+Axfx，所以猜測新函數gx=eAxxBfx，得g′x=eAxxB-1Ax+Bfx+xf′x。故新函數gx為所求函數。

以上便是本人對小題中函數構造的全部見解，希望對同學們有些許幫助。

【參考文獻】

[1]五年高考，三年模擬.組卷網