相對誤差對相關(guān)系數(shù)影響的統(tǒng)計特性

丁 勇

（南京醫(yī)科大學(xué)康達學(xué)院 理學(xué)部，江蘇 連云港 222000）

0 引言

相關(guān)和回歸是統(tǒng)計學(xué)研究的重要內(nèi)容。在實際工作中，受各種因素的影響，原始數(shù)據(jù)不可避免地存在一定的誤差，這些誤差對計算的結(jié)果會產(chǎn)生一定的干擾，因此需要對誤差的影響進行分析和研究。查閱文獻發(fā)現(xiàn)，關(guān)注誤差對回歸分析影響的研究非常多，例如經(jīng)典的最小二乘法、最小一乘法都是針對誤差對回歸的影響[1-5]；而關(guān)注誤差對相關(guān)分析影響的研究則很少[6，7]。

相關(guān)系數(shù)是研究變量之間相關(guān)程度的重要指標，在理論研究和實際工作中得到了大量的應(yīng)用[1,2,8]，例如，相關(guān)系數(shù)作為變量之間的距離，在多元統(tǒng)計分析中，廣泛應(yīng)用于聚類分析、主成分分析等。因此，研究數(shù)據(jù)誤差對相關(guān)系數(shù)的影響有重要意義。本文在一個變量有相對誤差的情況下，探討相對誤差對簡單相關(guān)系數(shù)（又稱pearson積差相關(guān)系數(shù)，以下簡稱相關(guān)系數(shù)）的影響。

1 公式與性質(zhì)

1.1 公式推導(dǎo)

記 r 為 x=(x1，x2，…，xn)和 y=(y1，y2，…，yn)的相關(guān)系數(shù)，則[1，2]：

考慮x、y兩個變量其中之一有誤差，由于對稱性，不妨設(shè) y有相對誤差：；這里εi~N(0，σ2) 且相互獨立。記 ε=(ε1，ε2，…， εn) ，則由樣本標準差和總體標準差的關(guān)系可知：

從而可以把σ近似看成是y的平均相對誤差（以下簡稱相對誤差）。

記r*為x=(x1，x2，…，xn)和的相關(guān)系數(shù)，則：

由此可知，r*是由ε確定的隨機變量，上式比較復(fù)雜。為了較簡單明了地分析相對誤差對相關(guān)系數(shù)的影響，本文從總體特性的角度進行分析。從理論上獲悉r*的統(tǒng)計分布再推導(dǎo)總體均數(shù)E(r*)比較困難，為簡單起見，考慮如下的近似公式：

由 數(shù) 理 統(tǒng) 計 知 識 可 知[1]：E(εi)=0 ，E(εiεj)=E(εi)E(εj)=0(i≠j) ，且，所 以，從 而，故有。這里E(X)為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，χ2(1)為自由度為1的卡方分布。由數(shù)學(xué)期望的 性 質(zhì) 可 知[1]E[(xi-ˉ)yiεi]=(xi-ˉ)yiE(εi)=0 ，E[(yi-ˉ)，又因為，所以從而，因此：

式（1）為有相對誤差數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)的總體均數(shù)的近似公式，與數(shù)據(jù)有相對誤差相對應(yīng)，考慮相關(guān)系數(shù)的相對總體均數(shù)：

當ˉ=0，且σ2較小時，式（2）為：

當n≥2、σ≤20%時：

1.2 誤差對相關(guān)系數(shù)影響的統(tǒng)計特性

由式（2）可得如下相對誤差對相關(guān)系數(shù)的影響的3個統(tǒng)計特性：

性質(zhì)2：相對誤差σ值越小，對相關(guān)系數(shù)的影響也越小；當σ=0 時，|=|r|；

性質(zhì)3：相對與性質(zhì)1誤差對相關(guān)系數(shù)的影響和有誤差數(shù)據(jù)的二階原點矩與二階中心矩的比值有關(guān)，其值越小，影響越小；因為，故當yˉ=0 時，，此時，y的大小對相關(guān)系數(shù)沒有影響。

2 模擬研究

2.1 數(shù)據(jù)

式（1）、式（2）是近似公式，其精度如何？由近似公式得到的性質(zhì)是否和實際情況相符？下面通過一組數(shù)據(jù)進行計算機模擬考察和驗證。在實際應(yīng)用中，考慮到相對誤差不會太大，故設(shè)相對誤差界為20%。

表1 某交通點大氣污染情況的測定數(shù)據(jù)

表1是某交通點大氣污染情況的16個測定數(shù)據(jù)[9]，第1列為汽車流量（輛/小時）數(shù)據(jù)，第3列為大氣中NO2含量（毫克/立方米）數(shù)據(jù)，這兩者的相關(guān)系數(shù)為r=0.8304，第2列為汽車流量減去它的平均值得到的中心化數(shù)據(jù),由數(shù)理統(tǒng)計知識可知，兩個變量或其中之一做線性變換時，它們的相關(guān)系數(shù)不變[1]，所以它與大氣中NO2含量（毫克/立方米）數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)也為r=0.8304。由于本例的相關(guān)系數(shù)大于0，故在以下的討論中，省去相關(guān)系數(shù)的絕對值。

2.2 模擬研究

本文將汽車流量作為x，大氣中NO2含量作為y，此時取相對誤差σ分別為0.05、0.10、0.15和0.20（表2第1列），再由εi~N(0，σ2)產(chǎn)生有相對誤差的隨機數(shù)，分別進行了10000次模擬，得到10000個x和y*的相關(guān)系數(shù)r*，統(tǒng)計其中r*＞r的個數(shù)（表2第2列，記為m），計算r*的均值和標準差（表2第4列）以及r*與r比值的均數(shù)與標準差（表2第7列），為便于和近似公式比較，表2第3列和第6列給出了公式（1）和公式（2）的結(jié)果。

表2 大氣中NO2含量數(shù)據(jù)有相對誤差時10000次模擬結(jié)果

顯然，當沒有誤差時，r*=r，從而=r*=r，式（2）也表明，當相對誤差σ為0時，=r；當數(shù)據(jù)有相對誤差時，由式（2）可知，要小于r，表2第3列結(jié)果驗證了這一點，＜r=0.8304 ，且當σ增大時，變得更小。是r*的平均值，＜r的一個可能原因是當相對誤差σ存在時，r*＞r的個數(shù)會減少，表2第2列的結(jié)果驗證了這一點。以上結(jié)果與前述的性質(zhì)1和性質(zhì)2的結(jié)論是一致的。

為比較y值的影響，取大氣中NO2含量數(shù)據(jù)為x，汽車流量數(shù)據(jù)為y，此時=19.7638，比表2的要大的多。類似上述的模擬方法，可得表3的各模擬結(jié)果。表3第2列與表2第2列欄類似，隨著誤差σ增大，r*＞r的個數(shù)越來越少，相比表2的個數(shù)還要少；表3第3列與表2第3列欄類似，隨著誤差σ增大而變小，相比表2的數(shù)值還要小。

表3 汽車流量數(shù)據(jù)有相對誤差時10000次模擬結(jié)果

表4 汽車流量中心化數(shù)據(jù)有相對誤差時10000次模擬結(jié)果

圖1

2.3 近似公式的精度

由表2、表3和表4的第3列、第4列和第6列、第7列可知，與r*的均數(shù)的均數(shù)都比較接近，且標準差較小，說明近似公式有較好的精度，本文進一步以均方根誤差（root-mean-square error）為精度評價的量化標準，由于與僅差一個常數(shù)，為簡便起見，只對進行比較，記顯然，當σ=0 時，r*=r，從而=r，所以此時RMSE=0 ；另外4種σ的情況，計算機模擬的計算結(jié)果列于表2、表3和表4中第5列，一個有趣的現(xiàn)象是，RMSE與σ成正比關(guān)系（下頁圖2，圖中R2為決定系數(shù)），表4的RMSE小于σ的3.6%（圖2中☆數(shù)據(jù)），表2的RMSE小于σ的6%（圖2中*數(shù)據(jù)），表3的RMSE小于σ的21.5%（圖2中o數(shù)據(jù)）的值越小，RMSE與σ比值就越小；三種情況都表明，RMSE遠遠小于誤差σ，這進一步說明近似公式有較高的精度。由于的精度與的精度是一致的。由于近似公式有較好的精度，由此得到的3個性質(zhì)與實際情況相符也就順理成章了。與僅相差一個常數(shù)，因此

圖2 均方根誤差RMSE與相對誤差σ的關(guān)系圖

3 討論

從復(fù)雜的現(xiàn)象中，排除次要因素的干擾，梳理出重要線索，抓住主要矛盾，有助于分析事物間的本質(zhì)聯(lián)系。本文從總體特性的統(tǒng)計規(guī)律出發(fā)，利用簡單的近似公式，較好地找到了相對誤差對相關(guān)系數(shù)影響的主要因素。

從變量數(shù)據(jù)散點圖的幾何直觀來看，數(shù)據(jù)點越分布在回歸直線附近，變量的相關(guān)性越好。眾所周知，數(shù)據(jù)的誤差會對相關(guān)系數(shù)產(chǎn)生影響。一般來說，當誤差使數(shù)據(jù)點靠近（遠離）回歸直線時，相關(guān)系數(shù)會增加（減少）。由于誤差是隨機的，因此，誤差有可能使相關(guān)系數(shù)（絕對值）增加，也可能使相關(guān)系數(shù)（絕對值）減少。本文研究表明，從統(tǒng)計規(guī)律來看，誤差的影響大多數(shù)情況是不利的，會使變量的相關(guān)性變差。

對于相對誤差，一般會認為數(shù)據(jù)變量的絕對值越大，誤差會越大，從而對相關(guān)系數(shù)的影響也越大。本文研究得到一個重要的結(jié)論是：數(shù)據(jù)的二階原點矩的與二階中心矩的比值對相關(guān)系數(shù)有較大的影響。誤差會對相關(guān)系數(shù)產(chǎn)生影響，但僅有誤差，影響的作用并不大，公式（3）說明了這一點，誤差和二階矩比值的共同作用，特別是二階矩的比值較大時，會對相關(guān)系數(shù)產(chǎn)生較大的影響，圖1給出了直觀的說明。數(shù)據(jù)均值為0時，二階矩的比值達到最小值1，此時數(shù)據(jù)大小對相關(guān)系數(shù)沒有影響。因此，數(shù)據(jù)相對誤差對相關(guān)系數(shù)的影響，除了誤差和數(shù)據(jù)的大小，還要考慮數(shù)據(jù)是否對稱分布、均值為0。在實際問題中，可以把二階矩的比值作為一個評價指標，當該指標數(shù)值較小時，相關(guān)系數(shù)的值比較穩(wěn)定，受誤差的影響較小。