中學統計素養的評估與啟示
——基于近5年浙江省中考題的分析

陳碧芬，Max Stephens，張維忠

(1.浙江師范大學 教師教育學院，浙江 金華 321004；2.墨爾本大學 教育學院，維多利亞 墨爾本 3010)

公民的統計素養的重要性，得到了越來越多的關注。我國義務教育階段和高中階段的數學課程均將“統計與概率”作為獨立的內容領域，統計學也于2010年成為一級學科。這些都足見統計與概率的重要性。中考作為學生學習的重要評估載體，究竟考查了統計與概率的哪些內容？對學生提出了什么樣的要求？對這些問題的探索不僅能反映中考“統計與概率”問題的現狀，為積累命題的已有經驗與改進命題提供線索，還能反映命題專家眼中關于“統計與概率中什么是重要的”這一問題的觀點，為深化“統計與概率”領域的課程與教學改革提供啟示。也正是基于上述目的，本研究對浙江省2013年至2017年12個地市的60份數學中考試卷中的“統計與概率”試題進行了分析與討論。需要說明的是，浙江各市之間有聯合統考的情況，即2個及2個以上地市的中考試題是同一份。這里是按市來統計的，即若兩個市的試卷一樣，統計時仍按2份試卷。

一、試題分析的理論框架

試題可以從考查的內容、認知要求等方面加以分析。中考作為初中階段最為重要的評價方式之一，既要考查學生對課程標準所要求的數學學習內容的掌握情況，在考查內容上體現一定的覆蓋面，又要體現一定的認知要求，以實現中考試題的區分度。另外，相較于其他學習領域，“統計與概率”與現實生活的關系更為緊密[1]，因此，將“統計與概率”的試題置于什么樣的情境下加以考查也是非常重要的。

1.知識內容

試題的知識覆蓋率，即試題中涉及的知識點數量占課標中的知識點數量的百分比，是檢測試題內容效度的一個重要方面。內容效度不是一種量化的分析，主要是基于某種依據做出邏輯分析。試題知識內容應是考查內容的合理抽樣，力求覆蓋學科的重要基礎知識。

由于中考試題是根據知識點與認知要求雙向細目表選擇或編制的，因此，本研究采用張維忠、陳虹兵的統計方法，即按最小的知識點進行統計，經他們統計發現：《課標(2011)》中初中學段“統計與概率”領域包括39個統計方面的知識點和7個概率方面的知識點。[2]根據同樣的方法統計《課標(實驗)》中此領域的知識點，發現其包括42個統計(抽樣與數據分析)方面的知識點和7個概率方面的知識點。

2.認知水平

中科院院士、中國統計學會副會長陳希孺先生指出：“統計學是有關收集和分析帶隨機性誤差的數據的科學和藝術。分析著重在數量化，而隨機性的數量化，是通過概率表現出來，由此可以看出統計學與概率論的密切關系……大體上說，二者的關系是：概率論是統計學的理論和方法的依據，而統計學可視為概率論的一種應用。”[3]從基礎教育的學習特點而言，統計學習是概率學習的載體與切入點，這也是許多基礎教育研究者用“統計教育”一詞來涵蓋統計與概率兩塊內容的一個重要原因。Karatoprak等人認為，學校統計教育的結果包括三個不同的水平：統計識記、統計推理和統計思想。[4]因此，本研究將試題的認知水平也劃分為上述三個層次，并參考Chance等人[5][6][7]的研究，具體包括如下內容：

水平1：統計識記。旨在考查學生對統計與概率基礎知識與基本技能的掌握，包括對概念、術語、符號的理解，會計算描述集中趨勢的量和刻畫離散程度的量、事件發生的概率等，能夠整理數據，用各種方式表征數據(如統計圖或統計表)并能互相轉化，會制作統計圖表等。

水平2：統計推理。旨在考查學生是否能理解和解釋統計過程，并能完全解釋統計結果，包括在數據分析的基礎上給出實際意義、說明結論的合理性或者做出推斷。問題通常包括兩個及兩個以上統計概念之間的關系(如集中與離散)或者聯系數據與概率之間的關系。這一類題已經有明確的推斷工具，經過計算后，可得出結論。其最終目的并不在于計算，而是通過計算說明為什么是這個結論。

水平3：統計思想。旨在考查學生是否理解為什么及怎樣做統計調查。具體包括：知道和理解整個調查過程(從問題提出到數據收集，再到數據分析及測試假設等)，理解如何使用模型來模擬隨機現象，理解估計概率的數據是怎樣產生的，知道如何、何時及為什么運用已有的推斷工具，能夠理解和利用問題情境，并能批判和評價調查過程或一個統計研究。

若一個題目(如解答題)是由兩個及以上小題組成的，每個小題均作為一個獨立的分析單元加以分析。

3.試題情境

Gal認為，大多數成人是統計信息的“消費者”而非“生產者”，報紙、雜志等公布的統計信息都會為了突出想要的結果而選擇相應的收集數據、整理和處理數據及分析數據的方法。成人應能對各種情境中的統計信息、與數據相關的觀點以及隨機現象進行解釋和批判性評價。[8]因此，有些信息必定會被“隱藏”起來，即情境中判斷統計結果或統計推斷的信息會不夠充足或有干擾。對這種能力的要求在課標中亦有體現。如《課標(實驗)》中提出，“能對數據的來源、處理數據的方法，以及由此得到的結果進行合理的質疑”；《課標(2011)》中提出，“了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法。”情境中信息的開放程度，對學生理解統計調查過程和統計結果等都會有影響。本研究根據情境的開放程度，將試題背景分為無情境、封閉性情境與開放性情境三種類型。無情境指的是脫離實際問題的單純的數的研究，如給出一組數據，要求計算平均數等。封閉情境指的是有實際的問題情境，但所給的信息是解決問題所必需的、充足的、沒有干擾的。開放性情境指的亦是實際的問題情境，但對于問題解決來說，信息要么是不夠充分的，要么是有干擾性的，即需要讀者在情境中選擇或補充信息。

分析中，由本文三位作者在充分討論分析框架的基礎上單獨操作，比對分析結果，一致性程度達到93.1%，這表明分析框架有效。然后就不一致的條目進行討論，達成一致意見后形成最終數據。

二、分析結果

1.知識內容

表1給出了各地區知識點的年平均覆蓋率及每年各地區知識點的平均覆蓋率。知識點的年平均覆蓋率最高的是舟山和嘉興(29.2%)，最少的是溫州(14.8%)，且所有地區的年平均覆蓋率都在30%以下。再看每年各地區試題中知識點的平均覆蓋率都低于30%，2017年的地區平均覆蓋率最高(26.5%)，2016年最少(20.9%)，但每年相差不大。然而，葛慧、孔凡哲等人對10份省級中考數學試題的分析發現，知識覆蓋率平均達到了83%[9]，這說明浙江省所有地市在“統計與概率”領域考查的知識覆蓋率偏低。

表1 浙江省各地區試題知識點數量及平均覆蓋率

表2 各知識點在60份試卷中考查的份數及所占百分比

進一步分析60份試卷中的各知識點發現(見表2)：所有試卷都有一題是關于“求事件發生的概率”的，涉及“用頻數直方圖解決實際問題”的有53份，“計算平均數(包括加權平均)”的有48份，“畫頻數直方圖”的有40份，“用扇形圖解決實際問題”的有39份，“樣本估計總體”的有38份，“找出中位數”的有33份，“找出眾數”的有23份，“頻數分布表”的有22份，“計算方差”的有19份，“用折線圖解決實際問題”的有18份，其他知識點都在10份以下。以上這些知識在概率方面考查最多的是用列表法或樹形圖計算事件發生的概率，即用列表法或樹形圖列出所有情況，再用“概率=所求情況數與總情況數之比”求事件發生的概率。但是，對概率的意義、事件、抽樣等概念的考查很少。在統計方面主要涉及描述數據的方法及分析數據的方法、計算及作圖技能，而對統計量意義與選擇、根據結果進行預測、對日常生活中的某些數據發表自己看法等的考查很少。出現這些情況可能有幾個原因：一是難評價，例如預測、發表觀點等答案的主觀性強，難以量化考核；二是篇幅限制，例如統計的內容需要真實的情境，字數較多，但是試題篇幅有限，容不下那么多的內容；三是難實施，例如統計概率中的重復性實驗等。

2.認知要求水平

表3 各認知水平的試題數及百分比

從表3可以看出，考查的統計識記的題目占絕對優勢(79.7%)，統計推理的試題次之(17.8%)，統計思想的試題最少(2.5%)。可見，試題主要考查統計的基礎知識與基本技能的掌握。這可能與統計推理和統計思想相對難以考查有關，但也在一定程度上反映出出題者認為的“統計與概率中什么是重要的”觀念，即基礎知識和基本技能是學生應該掌握的、重要的內容。

從表3還可以發現，2015年統計思想的試題(5.5%)稍高于其他年份，可能與《課標(2011)》中明確提出了“數據分析觀念”這一核心概念后第一年中考有關。與《課標(實驗)》中的“統計觀念”相比，《課標(2011)》更明確地強調了“了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法”，即不僅要知道有多種分析數據的方法，還強調對方法的“選擇”。2015年3道試題中的兩題為“用適當的方法預測嘉興市2015年社會消費品零售總額”(有兩個地區的試題是一樣的)，一題為“在端午節到來之前，學校食堂推薦了A、B、C三家粽子專賣店，對全校師生愛吃哪家店的粽子做調查，以決定最終向哪家店采購。下面的統計量中，最值得關注的是( )”。前兩題是選擇什么樣的數據分析工具由樣本來估計總體，后一題是在具體情境中如何選擇合適的統計量。

3.試題情境

表4 各類情境的試題數及百分比

從表4可以看出，大多數題目(89.9%)都是有情境的，但是也有不少試題(10.1%)是缺乏情境的，也沒有出現開放性情境的試題。進一步分析發現，如“數據-2，-1，0，1，2的方差是( )”這樣無情境的試題每年都有。除此之外，所有的試題都可以從情境中找到足夠的、沒有干擾的相關信息，從而得到明確的答案。如：

小明隨機調查了若干市民租用公共自行車的騎車時間t(單位：分)，將獲得的數據分成四組，繪制了如下統計圖。 請根據圖中信息，解答下列問題：

(1)這次被調查的總人數是多少？

(2)試求表示A組的扇形圓心角的度數，并補全條形統計圖；

(3)如果騎自行車的平均速度為12 km/h，請估算，在租用公共自行車的市民中，騎車路程不超過6 km的人數所占的百分比。

圖1 公共自行車騎行情況統計圖

此題明確了數據收集的方法是“隨機調查”；給出的處理數據和描述數據的方法是：將獲得的數據分成四組，并繪制了頻數直方圖和扇形統計圖；最后要求回答三個問題：第1題解答主要應用頻數與頻率，將條形圖中B組的數據與扇形圖中B組的百分比聯系起來即能解決問題；第2題應用的統計知識也是頻數與頻率，根據第1題得到的調查總人數，結合頻數直方圖中A組的數據就可以得到相應的百分比，再結合圓心角知識就可以解決；由于知道調查總人數及其他三個組的人數，C組的人數很容易可以知道，再補全頻數直方圖即可；第3題的解答所需要的信息，題中也非常明確，首先根據路程與速度的關系，可以得到滿足要求的騎車時間范圍，再結合扇形圖或頻數直方圖的數據，即可得到答案。這3個問題的解答都能在題目中找到相關的、足夠的信息，題目中的信息對問題的解決沒有干擾。

沒有開放性情境的試題可能是因為開放性情境需要學生對數據進行選擇或補充，而不同的選擇方法會得到不同的結論。閉卷考試也不允許學生通過查找資料等方式來補充信息，這對學生答題和量化考核來說都是難點。另外，無情境的和封閉性情境的試題更多考查的是學生的統計基礎知識和基本技能，難以考查其統計觀念或數據分析觀念。這可能也是導致統計推理和統計思想的試題在中考中較少出現的原因。

三、啟示

分析近5年的試題發現，各年試題在知識內容、認知要求及情境設置上，整體上沒有太大的差異。每年的試題都考慮了課標中的重要知識點，如描述數據與分析數據的方法；考慮了不同認知要求水平的試題，但基本上處于低認知要求水平；大多試題包含了情境，但無情境的試題也不少，且沒有開放性情境的試題。基于以上分析，未來統計素養的評估至少需關注以下方面的問題：

1.命題應關注對核心內容要素的考查

Niemi等指出，在建構有效的評價體系時，試題的內容應基于課程標準，并至少要覆蓋課程標準知識領域中的核心觀念(big ideas)和重要原理法則(key principles)。[10]數學評測內容應是具有良好結構的知識、應用性較強的概念和原理，能夠體現學生的知識水平和理解能力，而不是偏重記憶、零散枝節的知識。兩個版本課標的內容標準都規定了每一領域具體的核心內容要素。《課標(實驗)》中特別提出了要培養學生的“統計觀念”，且規定抽樣的必要性、樣本估計總體、描述數據的方法、概率的意義及簡單事件發生的概率等，是初中階段學習的主要內容。《課標(2011)》中提出了核心概念“數據統計觀念”，并且認為統計與概率的主要內容為“收集、整理和描述數據，包括簡單抽樣、整理調查數據、繪制統計圖表；處理數據，包括計算平均數、中位數、眾數、方差等；從數據中提取信息并進行簡單的推斷；簡單隨機事件及其發生的概率。”因此，評價考查時應盡量做到覆蓋這些知識內容。

從試題分析看，試題考查的知識點主要集中于描述數據與處理數據的方法、求簡單事件的概率等統計知識與技能上，對抽樣、統計方法的意義及選擇、在數據基礎上的推斷、簡單隨機事件及概率的意義等方面考查較少。因此，今后命題應盡可能覆蓋《課標(2011)》中的核心內容。考慮到試卷容量的有限性，可以將一些知識點整合到一個題目中。比如，在計算一組數據的平均數后，可以要求學生給出其實際意義等。

2.命題應更關注對統計推理與統計思想等高認知水平的考查

評價應反映統計學科的價值，比如應強調數據及數據探索而非數學計算。[11]統計學的基本思路是：根據所關心的問題尋求好的方法，對數據進行分析和判斷，得到必要的信息去解釋實際背景。[12]根據這一思路，首先，統計學往往要問的是“采用的方法是不是有道理，是不是還有更為合理的方法”，這是統計思想。其次，需要運用分析得到的信息去解釋實際背景，這是統計推理。因此，有關統計的學習和評價，除了應包含統計識記外，還應該包含統計推理和統計思想。

在《課標(實驗)》的內容標準中提到：根據具體問題，能選擇合適的統計量表示數據的集中程度；根據統計結果做出合理的判斷和預測，體會統計對決策的作用；對日常生活中的某些數據發表自己的看法。《課標(2011)》中提到：理解平均數的意義；能解釋統計結果，根據結果做出簡單的判斷和預測。這些表述說明，初中階段的“統計與概率”課程應包含統計推理和統計思想。因此，中考中應有適當的試題考查統計推理和統計思想。

然而，在試題分析中發現，大多數題目的重心主要在于數學計算，如計算(加權)平均數、眾數、中位數、方差(標準差)等，很少有試題要求在計算統計量后說明其實際意義，或者要求學生根據問題情境選擇合適的方法，或對結果進行合理性解釋等。進一步說，若中考考查的重點放在技能、程序和計算上，那么教師的教學重點甚至是全部精力就會放在技能、程序和計算上。然而，這些并不能提高學生的統計推理和思考能力。[13]實際上，在試題中體現統計推理和統計思想并不是很難。比如，在編制考查學生統計量計算的試題時，可以根據實際情境讓學生選擇合適的統計量，或者要求學生解釋統計量在實際問題情境中的意義等。

3.試題情境的設置應增加開放性情境

相比其他領域來說，統計和概率與現實生活的聯系更為密切，而且學生必須在情境中才能理解統計結果。[14]史寧中也指出，脫離實際問題的單純的數的研究是數與代數的內容，不是統計的內容。[15]《課標(實驗)》也強調：對基礎知識和基本技能的考查，要注重考查學生對其中蘊含的數學本質的理解，考查學生能否在具體情境中合理應用。但從試題分析中可以看到，10%左右的試題是沒有情境的、單純統計量的計算題。

其他的有情境的試題中蘊含的信息足以解決問題，且沒有干擾的信息。實際上，現實中的很多情境根據發布者的需要對信息是有刪減的。如招聘廣告上的信息：本公司月平均工資3000元，如果有加班的話，月平均工資會達到5000元以上。這兩個數據對應聘者來說是有干擾的，首先用平均數來說明工資情況是否合適；其次，是否每個職工都有加班的機會。但這些問題的解決對初中學生來說只要理解平均數在實際問題中的意義即可，這是課標的要求。

數學中考作為義務教育階段的總結性評價，各界人士都非常重視，也被稱為初中數學教學的“指揮棒”。有很多教師都反映：由于中考中“統計與概率”題目基本上都是這幾種情況，所以在教學的時候只要把幾種題型都練習到，學生在這個領域得分還是比較容易的。“統計與概率”的試題考查內容、認知要求、形式等會直接影響教師的教和學生的學。因此，在命題時，應該考慮到統計學科本身的特點，體現統計學科的價值。