直觀想象素養的內涵與結構探究

吳立寶，劉哲雨，康 玥

(1.天津師范大學 教師教育學院，天津 300387；2.天津師范大學 教育科學學院，天津 300387；3.天津市南開中學，天津 300100)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(簡稱《課程標準(2017年版)》)明確提出“數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析”六大核心素養。[1]筆者從數學三大特征的視角探討這六大核心素養的層次關系[2]，只有正確認識和把握數學學科核心素養的內涵和結構，才能在數學教學中更好地培養學生的數學核心素養。本文以直觀想象素養為切入點，展開數學學科核心素養探究，探討直觀想象素養的內涵與結構，旨在促進學生養成直觀想象素養，從而整體提高數學學科核心素養。

一、直觀想象素養：歷史脈絡與價值意義

1.直觀想象的歷史脈絡

20世紀60年代，我國中小學數學教育便形成了以“雙基”(基礎知識和基本技能)和“三大能力”(運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力)為基礎的優良教育傳統。2003年，《普通高中數學課程標準(實驗)》(簡稱《課程標準(實驗)》)明確提出五大能力：空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力。[3]空間想象能力既屬于20世紀60年代“三大能力”范疇，又屬于21世紀“五大能力”范疇，凸顯出其在學生數學素養體系中的重要價值。

2012年初，教育部頒布的《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課程標準(2011年版)》)明確指出：“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。……還要特別注重發展學生的應用意識和創新意識。”[4]馬云鵬教授認為，《課程標準(2011年版)》中提到的這10個關鍵詞就是義務教育階段學生所必須具備的數學學科核心素養。[5]“空間觀念”與“幾何直觀”的價值得到充分認可。

《課程標準(2017年版)》提出的“直觀想象”這一數學學科核心素養，來自“空間想象能力”，是對《課程標準(2011年版)》中的“空間觀念”與“幾何直觀”兩個關鍵詞的新發展，具體體現在《課程標準(2017年版)》中對直觀想象的描述：“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。”

從《課程標準(2017年版)》的描述中，可以發現“幾何直觀”“空間想象”“空間形式”“圖形”等關鍵詞，這顯然是從幾何學的視角來描述直觀想象的。從直觀想象素養的外延來看，《課程標準(2017年版)》突出強調借助空間形式，來認識現實世界事物的位置關系、形態變化與運動規律；突出利用幾何圖形來描述、分析和解決數學問題；強化建立形與數的聯系，從而構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。因此，在《課程標準(2017年版)》中，無論是直觀想象的內涵還是外延，均呈現出顯著的幾何特征。

2.直觀想象的價值意義

“直觀想象”作為數學學科六大核心素養之一，與數學學科其他核心素養(數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算和數據分析)的關系非常密切。數學抽象、邏輯推理與數學建模等數學學科核心素養，在其形成過程中均離不開直觀想象素養。直觀想象是學生進行數學推理和構建抽象數學結構的思維基礎，有利于學生形成數學運算、數據分析與邏輯推理的思路。直觀想象是構建抽象的數學結論和進行邏輯推理的思維加工機制，是現實世界通向數學結論的橋梁，是不同數學結論之間的重要通道，更是數學結論回到現實世界的人類智慧紐帶。

若缺少直觀想象素養，則難以獲得抽象的數學知識；沒有直觀想象，就難以有數學高度抽象的概念命題。數學直覺的產生與頓悟，是以直觀想象為中介的，直觀想象是橫亙現實世界與數學之間的不可或缺的橋梁。

二、直觀想象素養：概念分析與內涵延拓

基于前文對直觀想象進行的歷史溯源和文獻分析，結合《課程標準(2017年版)》中對直觀想象的表述，延拓直觀想象的操作性定義，初步探討直觀想象素養的形成過程與心理加工過程。本研究可為貫徹《課程標準(2017年版)》與數學學科核心素養的實施落地提供參考。

1.直觀想象的概念分析

《課程標準(2017年版)》的“直觀想象”含有兩個關鍵詞：“幾何直觀”和“空間想象”。“幾何直觀”主要是指利用圖形進行問題的描述和分析，“空間想象”是指通過直接感知周圍環境，學生得到對二維平面和三維空間圖形及其性質的理解。在高中階段，更加強調空間幾何圖形之間的相互關系、圖形變換以及坐標表征。從這里可以看出，學生直觀想象素養的形成，需要依托空間形式特別是幾何圖形，進行數學化的思考和想象。

《課程標準(2017年版)》指出，直觀想象素養的本質是基于幾何圖形展開想象的思維能力，其作用主要體現在感知事物的空間形態與變化，尤其是事物之間的位置關系與運動規律。描述中將直觀想象更多指向了幾何領域，而非整個數學領域。“圖形與幾何”或“幾何”只是中學數學內容的一部分，并且，由于不同學段、不同領域的數學內容都蘊含著直觀想象元素，把直觀想象僅僅局限于幾何領域是不夠的，需要對其概念進行延拓。

2.直觀想象的內涵延拓

數學形象思維的基本形式主要有三種：數學表象、數學直感與數學想象。直觀想象屬于數學形象思維的范疇，是運用形象思維來理解和解決數學問題的一種素養。基于數學思維的視角和前文的分析，筆者用數學形象思維來界定數學直觀想象素養。直觀想象，是指學生個體借助頭腦中的已有數學表象去感知事物的形態與變化，運用數學形象思維產生新的數學表象的過程。

依據不同的數學表象形式，直觀想象可以分為圖形直觀想象和圖式直觀想象。圖形直觀想象側重于幾何領域知識，與《課程標準(2017年版)》對直觀想象的界定基本一致；圖式直觀想象側重于代數、分析、概率、統計等領域知識。換句話說，直觀想象是基于已有的數學表象和數學直感，運用形象思維來解決數學問題的綜合能力。

3.直觀想象的形成過程

直觀想象的形成過程分為兩個階段：數學直觀階段和數學想象階段。

(1)數學直觀

人們通常通過接觸現實世界客觀事物而獲得的感性認識，這具有一定的局限。[6]也就是說，通過對現實世界客觀事物的直接接觸，獲得的感性認識可能是本質的，也可能是非本質的。在胡塞爾哲學中，直觀是本質性的。在由感性直觀向范疇直觀的擴展中，發揮奠基作用的是本質性的直觀，而不是一般的感性認識。由生動的直觀發展到抽象的思維，是認識事物的真實過程。直觀想象素養的數學教學，對數學直觀的內涵理解與胡塞爾對直觀的內涵理解是一致的，都認為“直觀是本質性的”。

從學習內容來看，數學直觀分為圖形直觀和圖式直觀兩部分，前者側重于幾何領域，后者側重于代數、統計與概率等領域；從學習層次來看，數學直觀分為數學表象與數學直感兩部分。數學表象是學生頭腦中已有的各種數學圖像、數學圖表、數學圖形、數學概念以及數學符號等。這些已有的數學表象都可以作為學生學習新知識、解決新問題的“直觀”。我們對數學表象的認識與理解不應該是封閉的、靜止的，而應該是動態的、發展的。作為獨立存在的個體，每位學生都有不同的發展需求和不同的智慧特征，其頭腦中所形成的數學表象必定是有差別的。

一方面，數學表象的形成依賴于學生“現實生活”所接觸的“最佳原型”。最佳原型的表現形式是多種多樣的，例如借助教育技術領域的多媒體畫面展現生動的數學原型[7]；另一方面，數學表象的形成還可以借助學生頭腦中已有的數學概念及結構關系完成再造表象，如“珠算式腦算法”利用珠算形象在腦中浮現進行腦算的方法。珠算式腦算法也是數學表象思維方法在現實中運用的范例，而算盤就是“腦算法”的最佳原型。依據學情，強化對數學概念及結構關系的現實生活最佳原型的探尋，是形成數學表象和直觀想象素養的先決條件。

學生基于已有的數學表象，對有關數學表象或者問題的特征判別，就是數學直感。數學直感屬于形象思維，與數學抽象思維不同，數學形象思維的判斷活動不必以數學概念為中介，甚至不必以數學語言為中介，只需要將頭腦中的一般數學表象與具有對應特征的事物的感性映象進行比較，并快速直接地做出判別；有時甚至直接跳過想象階段，是顯性意識的加工行為。

(2)數學想象

想象就是對過去經驗和已有記憶表象的加工改造，利用原有的表象構成新意象或觀念的心理過程[8][9]，想象是人腦對已有表象進行加工改組，形成新形象的心理活動[10]，是思維的一種特殊形式，接近通常所說的“形象思維”。[11]綜上所述，數學想象的共同特征包括：數學想象是基于已有的數學表象的心理過程；數學想象是經過加工改造形成新的數學表象的過程。因此，數學想象就是在學生的頭腦中對已有的數學表象經過整合與重構，產生新的數學表象的思維過程。

數學想象，以數學表象為基本材料，以數學直感為基本手段，以形成新的數學表象為加工結果。數學想象是數學表象與數學直感在頭腦中的有機融合，是對數學表象的特征推理。這種特征推理是似真推理(或合情推理)的基本成分，它與邏輯推理不同。邏輯推理是一種按照邏輯規律的嚴格推理，基于大家公認的一些事實和命題，按照邏輯規則推演出一個新命題的思維過程。[12]而數學想象是一種不嚴格的推理，或者說是一種形式相似的推理，其結果不一定都是正確的，因此數學想象的結論需要進一步驗證。數學想象的結果是形成了新的數學表象，因此數學想象意味著新發現，是形成學生創造性思維的重要環節。

對應上文中的數學表象分類，數學想象也可分為圖形想象和圖式想象。圖形想象就是以空間形象直感為基礎，對數學圖形表象進行加工與改造，反映為事物數量關系的幾何表征。圖式想象是以學生頭腦中的數學直感為基礎，通過對數學圖表與模式表象的加工與改造，完成對數學圖表與模式進行的形象特征推理的過程。圖式想象的關鍵在于抓住數學對象的結構框架進行形象特征推理。數學直感是這種推理的基本成分，具體包括圖式的識別、補形、相似和轉換，甚至也包括事物數量關系的解析表現。圖式想象涉及的范圍很廣，它通常與邏輯推理共生并存，同時又是邏輯推理的先導。中小學數學教學中常用的“數形結合法”，其本質為圖形想象與圖式想象相結合，體現了直觀想象的核心內涵。隨著教學媒體的發展，多媒體教學軟件可以動態演示數學想象的過程，生動創設數學想象的情境，為學生創造更多的參與觀察和歸納的機會，最終輔助學生形成數學猜想，獲得頓悟。[13]

三、直觀想象素養的結構模型

在分析直觀想象素養形成過程的基礎上，構建出基本結構模型：現實生活原型→數學表象→數學想象→新的數學表象(如圖1所示)，包含四個層次，形成了三次直觀，且層層遞進。第一層次為現實生活原型，這是直觀想象的起點，蘊含徐利治先生提出的“返璞歸真”的思想，他認為了解一種理論的最好方法是找出研究那種理論的具體原型[14]，即尋找最佳案例，然后以例帶類，處于單一具象特稱判斷階段。第二層次是基于現實生活原型的數學表象，屬于原型直觀階段，此時尚未脫離現實生活原型，處于多元具象特稱判斷階段。第三層次是基于原型直觀形成的數學表象，借助數學直感、再造想象，然后展開數學想象，屬于表象直觀階段，處于構想具象特稱判斷階段。第四層次是保留想象最本質的特征，并形成新的數學表象，這是直觀想象的最高級形式，處于抽象全稱判斷階段。

圖1 數學直觀想象的層次分析圖

在中小學中，數學歸納推理就是數學直觀想象的典型范例，即單一具象特稱判斷(個別地看)、多元具象特稱判斷(重復地看)、構想具象特稱判斷(想象地看)、具象全稱判斷(抽象地看)、抽象全稱判斷(一般地看)。[15]數學直觀想象是歸納推理與邏輯推理的緊密結合，是從形象思維到邏輯思維的跨越，是頓悟的過程。從單一具象特稱判斷到多元具象特稱判斷，從多元具象特稱判斷到構想具象判斷，從構想具象特稱判斷到具象全稱判斷，構成了第一次直觀，即原型直觀階段。基于原型直觀形成的具象全稱判斷，借助數學直感進一步一般化，進入抽象全稱判斷階段，形成了第二次數學直觀，即表象直觀階段。在此基礎上，借助想象，最終形成新的數學表象，這是第三次數學直觀，即想象直觀階段。

在數學課堂教學活動中，對學生直觀想象素養的培養，有利于學生養成正確運用圖形、圖表和模型來思考現實問題的習慣，有利于提升數形結合的能力，更有利于形成借助圖形、圖表和模型完成分析、推理和論證的綜合能力。借助直觀想象素養，學生可以掌握發現問題、分析與解決問題的能力，即實現數學的深度學習[16]，有助于深刻體會數學的創造過程，強化數學創新能力，形成邏輯思維能力，提升空間想象能力，最終實現數學的學科核心素養。

本文通過梳理直觀想象發展脈絡，基于《課程標準(2017年版)》關于直觀想象的表述，將直觀想象的內涵進一步延拓到整個數學領域，構建出直觀想象的結構模型，為數學直觀想象素養的測評提供了重要的參考。[17]教師應基于現實生活原型，培養學生的直觀想象素養，進一步增強學生運用數學直觀和數學想象思考問題的意識，提升了數形結合的能力，使學生更加深刻地感悟數學的本質，逐步形成數學創新意識、數學創新能力、數學創新思維與數學創新精神。