非齊次線性方程組在投入產出問題中的應用

呂曉蝶 陳滔

摘 要：線性方程組是數學研究的核心問題之一，而非齊次線性方程組又是線性方程組的基本內容，在生活實踐中非齊次線性方程組廣泛的應用于經濟學上的投入產出問題，本文詳細介紹了經濟學上的投入產出問題，并通過建立模型的方法來求解該問題。

關鍵詞：非齊次線性方程組；投入產出問題；數學模型

一、問題背景

在一個地區或國家的經濟系統中，各企業（各部門）既有消耗又有生產，也可以說既有投入又有產出。生產的產品供給給系統和各部門外以滿足需求，同刷也消耗了系統內各部門的所提供的產品（當然，還有其他的諸如人力消耗等因素），消耗的目的是為了生產；生產的結果必然要1創造出新的價值，用于獲取利潤和支付工資。顯然對每一個部門來說，新創造的價值和物資消耗等于它生產的總價值。這就是投入和產出的之間的平衡關系。

由俄裔美國經濟學家W.Leontef在20世紀30年代初期首先提出并成功地建立了研究國民經濟的投入產出的數學模型，這一方法就是投入產出法以其重要的應用價值迅速被各國經濟學界和決策部門采納。W.Leontief也因此在1973年獲得若貝爾經濟學獎。

二、實際問題

我們可以用一個城鎮的三個企業作為經濟系統，來說明投入產出法在經濟分析上的應用。

某城鎮有三個主要的企業：電廠，煤礦和地方鐵路作為它的經濟系統。生產價值1元的電，需要消耗0.40元的煤費，0，05元的電費和0，10元的運輸費；生產價值1元的煤，需要消耗0.25元的電費和0.35元的運輸費；而提供價值1元的鐵路運輸服務，則需要消耗0.45元的煤費，0.10元的電費和0.10元的運輸費。在某一周內，除了這三個企業的彼此需求，電廠還得到25000元的訂單，煤礦還得到50000元的訂單，而地方鐵路得到30000元的運輸需求。試問：

1.這三個企業在這一周內各應生產多少產值才可以滿足內外需求？

2.除了外部需求，試求出這周內各企業之間的消耗需求，同時求出各企業新創造的價值（即產值中除去各企業消耗所剩下的部分）。

三、模型建立

設煤礦，電廠和地方鐵路在這周內生產的總價值分別是（元），則可以建立下列非齊次線性方程組。

0x1+0.40x2+0.45x3+500=x10.25x1+0.05x2+0.10x3+2500=x20.35x1+0.10x2+0.10x3+3000=x3 （1）

線性方程組（1）的意義是：每個等式以價值形式說明了對每一個企業可有：

中間產品（作為系統內各企業的消耗）+最終產品（外部需求）=總產品

也可以稱線性方程組（1）是分配平衡方程組。

另一方面，如果設z1，z2，z3（元）分別是煤礦，電廠和地方鐵路在這周內的新創價值。則亦可建立下列非齊次線性方程組

0x1+0.40x2+0.45x3+z1=x10.25x1+0.05x2+0.10x3+z2=x20.35x1+0.10x2+0.10x3+z3=x3 （2）

線性方程組（2）的意義是：每個等式以價值形式說明了對于每一個企業都有：

對系統內各企業產品的消耗+新創價值=總價值

稱線性方程組（2）是消耗平衡組。

四、模型求解

可將線性方程組（1）改AX+Y=X寫成矩陣形式為

其中

在經濟學中將矩陣稱為直接消耗矩陣，A中的元素aij稱為直接消耗系數。向量X稱為產出向量，向量Y是最后需求向量[2]。

由AX+Y=X得（E-A）X=Y （3）

這是一個關于x1，x2，x3的非齊次線性方程組，解線性方程組（3）得

因此可知在這周內，煤礦，電廠和地方鐵路的總產值分別是114458元，65395元，85111元才能滿足內外需求。

又由于得到了系統各個企業的總產值（即產出量），我們可以直接利用消耗系數矩陣進行每個企業分別用于企業內部和其它企業的消耗計算：

上面等式右端矩陣的每行給出了每個企業分別用于企業內部和其它企業的消耗（即中間產品）。進一步利用線性方程組（2）可求得各企業新創造的價值z1=45784，z2=29427，z3=29789。

本文詳細介紹了經濟學上的投入產出問題，并通過建立模型的方法來求解該問題。首先介紹了問題背景，是在某個地區，有三個互相關聯的企業（如電廠，煤礦和地方鐵路）這三個企業在一周內都要完成所得到的訂單，求出這三個企業在這一周內各應生產多少產值才可以滿足內外的要求，和求出這三個企業新創造的價值（即產值中除去各企業消耗所剩下的部分）通過題目給出的條件建立數學模型，求解該模型，最后就可以得到問題的結果。這就是求解線性方程組在實際應用的基本思路和方法，這也是解決現實生活中基本問題的思路和方法。