能量均分定理的一種證明

周薇 李德華

摘要：本文用系綜理論證明了能量均分定理，說明能量均分定理對于互作用粒子系統(tǒng)也是正確的。進一步澄清了能量均分定理中自由度的含義。

關鍵詞：能量均分定理；自由度；系綜理論；哈密頓量

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）42-0195-02

在大學物理或熱學課程中，能量均分定理是一項非常重要的教學內(nèi)容，且有廣泛的應用，因此，對能量均分定理的正確闡釋和嚴格證明有著十分重要的意義。

一、常見的兩種表述及證明方法

一般教材和文獻中有兩種常見的表述[1]，其一：在溫度為T的平衡狀態(tài)下，分子的每一個自由度都具有kT的平均能量（也有表述為平均動能）。另一種表述為：處在溫度為T的平衡態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中每一個平方項的平均值均為kT。對比這兩種表述很容易產(chǎn)生一個誤解，即粒子能量中每一個平方項對應一個自由度，而經(jīng)典力學中的自由度定義為確定一個物體的位置所需的獨立坐標數(shù)，這個數(shù)目一般與粒子能量平方項數(shù)并不一致。這個問題往往成為理解能量均分定理的困擾。

現(xiàn)有的教材及文獻[2-4]中對能量均分定理的證明，多采用針對近獨立粒子系統(tǒng)的玻爾茲曼統(tǒng)計理論， 然而能量均分定理對于有相互作用的粒子系統(tǒng)亦是成立的，因此更嚴格更廣泛的證明應該采用適用于粒子之間存在相互作用的系綜理論來進行。

二、系綜理論證明能量均分定理

設N個自由度為r的互作用粒子組成的系統(tǒng)的哈密頓量為H（q，p），如果把所有的相空間坐標q，p用x替代，x應包括所有動量與坐標（i=1，2…，2rN）。下面先計算x的平均值，其中x和x為任意兩個坐標或動量

=xρ（x）dx （1）

這里沒有考慮全同粒子的不可分辨性，但不影響證明結果。采用微正則系綜，則

ρ（x）= E≤H（x）≤E+ΔE 0 H（x）≤E， H（x）≥E+ΔE （2）

式（2）中Ω是厚度為ΔE的能量層內(nèi)的狀態(tài)總數(shù)。將式（2）代入式（1），并考慮到E是定值，=0，所以

=xdx

=xdx

=ΔExdx （3）

=ΔEx（H-E）？搖dx

-（H-E）dx

式（3）中最后一步用了分部積分，其中第一項對除了x的2Nr-1個變量積分。x取極值，相應的點在能量曲面上，因此H=E，第一項為零。令λ=，則

=-ΔE（H-E）dx （4）

利用數(shù)學公式

Fα，xdx=dx

+Fα，gα？搖？搖-Fα，fα？搖？搖

可以得到

=-ΔE（-1）dx

=λΣ （5）

式（5）中Σ是能量曲面內(nèi)的狀態(tài)總數(shù)，那么厚度為ΔE的能量層內(nèi)的狀態(tài)數(shù)Ω=ΔE，所以

=λ=

再利用玻爾茲曼關系S=klnΣ，可得

=k=λkT （6）

式中λ=只有當i=j時等于1，其余為零。

下面的討論用到哈密頓正則方程

=-，= （7）

若x為坐標q，則

=-=-=kT （8）

若x為坐標p，則

==kT （9）

式（9）中p正是某一運動方向的動能的兩倍（比如mυ），對于三維運動粒子平均動能為

=kT （10）

現(xiàn)在來分析式（8）的意義，對于三維運動粒子，此式可以改寫為

-=3kT （11）

假設系統(tǒng)內(nèi)粒子的相互作用勢能ε∝r，將力表達為勢能梯度，則得到

-===α=3kT （12）

若α=2，即對于平方形式的勢能有

=kT （13）

式（10）和式（13）說明平均動能和平均勢能具有相同的大小，且對每一方向都有kT。

哈密頓量如果只包括平方項可以表示為

H=ap+bq （14）

利用全微分可得

dH=（2aipidpi+2biqidqi）

=dp+dq

可以看出

=2aipi，=2biqi （15）

將式（15）代入式（14）得

H=p+q （16）

所以

==fkT （17）

式中f表示哈密頓量中平方項的數(shù)目，如式（16）中f=2Nr。這說明哈密頓量中每一個平方項的平均能量為kT。

用正則系綜理論同樣可以證明上述結論。

三、總結

在系綜理論中，不存在獨立粒子，由N個坐標為 r的粒子組成的系統(tǒng)，其運動狀態(tài)由Nr個廣義坐標和Nr個廣義動量確定，決定一系統(tǒng)的運動狀態(tài)所需的獨立變數(shù)為2Nr，如果把這個廣義坐標和廣義動量的總數(shù)稱為自由度數(shù)，這樣定義的自由度的數(shù)量與獨立的平方項數(shù)量是一致的。這在一定程度上澄清了能量均分定理兩種表述的關系，明確了自由度的各種含義。當然文中所指能量均分定理只針對動能和勢能均為平方項能量的特殊情況。對于非平方相，需要用廣義能量均分定理來求解。

參考文獻：

[1]徐勞立.關于能量均分定理的討論[J].物理與工程，2005，15（6）：61-62.

[2]汪志誠.熱力學·統(tǒng)計物理[M].第二版.北京：高等教育出版社，1993：244-246.

[3]朱曙華.關于能量均分[J].湖南理工學院學報（自然科學版），2003，16（2）：37-40.

[4]翁甲強.能量均分定理證明的探討[J].廣西師范大學學報（自然科學版），1998，16（3）：6-9.