求解非齊次線性方程組中克拉默法則的運用

呂曉蝶

摘 要：非齊次線性方程組是線性代數中一個最基本的概念，它是高等代數的基礎。而非齊次線性方程組的求解又是線性代數的基本內容和理論基礎，是數學研究的中心問題之一。本文介紹了非齊次線性方程組中克拉默法則的運用，并通過例題解析如何利用克拉默法則求解非齊次線性方程組。

關鍵詞：非齊次線性方程組；矩陣；克拉默法則

對于方程個數與未知量個數相等的線性方程組，我們稱它的系數矩陣的行列式是該線性方程組的系數行列式。方程個數與未知量個數相等且系數行列式不為零的線性方程組一定有解，且只有一個解，此解可用該方程組的常數項和系數組成的行列式表示出來，這就是下面定理的克拉默法則[1]

定理1 可設矩陣A=（aij）n×n，且|A|≠0，則線性方程組

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2……………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

有唯一解：x1=■，x2=■，…，xn=■，

其中dj（j=1，2，…n）是把|A|中第j列換成方程組的常數項其余列不變的n階行列式，即

a11 … a1，j-1 b1 a1，j+1 … a1na21 … a2，j-2 b2 a2，j+2 … a2n┇ ┇ ┇ ┇ ┇an1 … an，j-1 bn an，j+1 … ann

例1[2]解方程組

x1+x2+x3+x4=1x1+2x2+3x3+4x4=5x1+4x2+9x3+16x4=25x1+8x2+27x3+64x4=125

解：因為這個線性方程組的系數行列式是

1 1 1 12 2 3 41 4 9 61 8 27 64

是一個4階范德蒙行列式，所以

|A|=（2-1）（3-1）（4-1）（3-2）（4-2）（4-3）=12≠0，

從而可以應用克拉默法則求解該非齊次線性方程組，又由

d1=1 1 1 15 2 3 425 4 9 16125 8 27 64=-12

同理可得，d2=48，d3=-72，d4=48。即方程組的唯一解為

x1=-1，x2=4，x3=-6，x4=4

例2 討論當？姿為何值時，下面的非齊次線性方程組有唯一解，并求出該唯一解。

？姿x1+x2+x3=1x1+？姿x2+x3=？姿1x1+x2+？姿x3=？姿2

解：因為D=？姿 1 11 ？姿 11 1 ？姿=（？姿-2）2（？姿+2）

所以當D≠0，即？姿≠1且？姿≠-2時，方程組有唯一解。

又D1=1 1 1？姿 ？姿 1？姿2 1 ？姿=-（？姿-1）2（？姿+1）

D2=？姿 1 11 ？姿 11 ？姿2 ？姿=（？姿-1）2，

D1=？姿 1 11 ？姿 ？姿1 1 ？姿2=（？姿-1）2（？姿+1）2，

因此該方程的解為

x1=■=-■，x1=■=■，x1=■=■

注意：應用克拉默法則求解非齊次線性方程組必須具有方程的個數和變量的個數一樣多與系數行列式不為這兩個條件。

參考文獻：

[1]涂道新，張光裕.線性代數.高等教育出版社，2008.

[2]何亞麗.線性代數。科學出版社，2011.