數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用研究

廖婧

摘 要：數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性極高，因此將數(shù)形結(jié)合思想靈活運(yùn)用，不僅便于解題，而且激發(fā)學(xué)生想象力以及創(chuàng)新能力，但采用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)必須了解題目本質(zhì)，把握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，將數(shù)學(xué)公式、概念靈活轉(zhuǎn)換成圖形，方能提高解題效率。本文著重講述數(shù)形結(jié)合的概念以及實(shí)例，以期拓展數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)

新課改背景下，數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)增多，且難度加大，解題方式多元化，而數(shù)形結(jié)合的靈活運(yùn)用可以使抽象的數(shù)學(xué)問題簡化，以直觀的圖形形式呈現(xiàn)給學(xué)生，以輔助的方式引領(lǐng)學(xué)生探索答案。此方式不僅提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，而且有效加強(qiáng)思維創(chuàng)新以及想象能力，最關(guān)鍵的是將復(fù)雜的題目大幅簡化，減輕學(xué)生壓力，增加正確率。

一、數(shù)形結(jié)合的概念以及解決問題的對(duì)象

所謂數(shù)形結(jié)合，是指把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，了解問題條件以及所需結(jié)果的內(nèi)在聯(lián)系，不僅理解其代數(shù)關(guān)系，還需掌握幾何聯(lián)系，將代數(shù)關(guān)系以空間形式呈現(xiàn)，并從中探索出解題思路，進(jìn)而獲得答案。總而言之，其本質(zhì)在于將代數(shù)問題幾何化，抽象問題具體化。

目前，數(shù)形結(jié)合思想已廣泛運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)，例如：將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何模型，從模型中提取參數(shù)范圍并求解；代數(shù)問題是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用效果最顯著的問題，根據(jù)圖形分析問題實(shí)質(zhì)，了解斜率、截距、極值等數(shù)據(jù)，甚至從結(jié)構(gòu)位置關(guān)系判斷代數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求解。

二、數(shù)形結(jié)合方法的意義

（一）激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。抽象的數(shù)學(xué)問題會(huì)導(dǎo)致部分學(xué)生感到沉悶，甚至產(chǎn)生畏難情緒，這是由于他們無法掌握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，沒有解題思路。但圖形屬于直觀形式，將復(fù)雜問題簡單化，而且相比代數(shù)或者函數(shù)等數(shù)學(xué)內(nèi)容，圖形會(huì)帶給學(xué)生熟悉感，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的解題興趣，所謂興趣是學(xué)習(xí)的老師，因此，學(xué)生會(huì)更樂于迎接困難，鉆研問題。

（二）提高數(shù)學(xué)分析能力。眾所周知，絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)均為抽象的數(shù)字，而幾何知識(shí)只占據(jù)小部分，但若將數(shù)形結(jié)合思想代入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅將數(shù)學(xué)知識(shí)形式轉(zhuǎn)化，同時(shí)加強(qiáng)學(xué)生的空間想象力，尋求不同的解題方法，腦海中創(chuàng)建問題模型，提高數(shù)學(xué)分析能力。

（三）通過實(shí)踐表明，高等院校的數(shù)學(xué)課程經(jīng)常將復(fù)雜的知識(shí)內(nèi)容拆分為細(xì)小單元，找到幾何化思路，激發(fā)學(xué)生自主實(shí)踐能力，從繪畫圖形中尋找問題本質(zhì)，而教師在教學(xué)過程中融合數(shù)形結(jié)合思想可以凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力以及變化，并利用圖形意義為數(shù)字理論提供適當(dāng)解釋以及補(bǔ)充，同時(shí)也展現(xiàn)高等數(shù)學(xué)所具備的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。例如：高等數(shù)學(xué)知識(shí)中包含中值定理，大量的推導(dǎo)公式加深學(xué)生的理解難度，而結(jié)合圖形說明中值定理的概念意義并引導(dǎo)學(xué)生提出問題，不僅加強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時(shí)降低教師的主體地位，提高學(xué)生的主體地位，進(jìn)而讓學(xué)生擁有克服困難的自信心。

三、結(jié)合實(shí)例來分析數(shù)形結(jié)合的實(shí)際運(yùn)用問題

（一）概率問題中的數(shù)形結(jié)合思想解決方案。韋恩圖可以將包含關(guān)系清晰反映，概率問題中經(jīng)常會(huì)遇見集合問題，因此，如果我們能夠善于利用韋恩圖梳理問題的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而獲得事件概率，則相比傳統(tǒng)的公式推理，復(fù)雜的計(jì)算流程，此數(shù)形結(jié)合手段更加清晰易懂，且便于學(xué)生解決難題，減少運(yùn)算失誤。

（二）數(shù)列極限問題

眾所周知，《高等數(shù)學(xué)》教材中的數(shù)列極限知識(shí)點(diǎn)通常會(huì)描述定性知識(shí)，再進(jìn)行定量描述，換言之，屬于無窮問題。該知識(shí)點(diǎn)具有極高的抽象性，學(xué)生難以憑借空間想象理解無窮的概念，因而，該章節(jié)成為高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵難點(diǎn)。但隨著數(shù)形結(jié)合思想的提出，教師可以通過幾何描述直觀呈現(xiàn)極限意義，進(jìn)而有利于學(xué)生深入理解極限本質(zhì)。當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)。數(shù)列Xn無限逼近常數(shù)a，換句話說，即便常數(shù)a的領(lǐng)域無限小，只要n超過某一極限值，那么Xn便會(huì)落在以u(píng)為中心的某個(gè)臨界范圍內(nèi)，如圖1所示。

從圖中可以了解到極限本質(zhì)上是動(dòng)態(tài)逼近，我們可以抽取出某個(gè)靜止?fàn)顟B(tài)講述內(nèi)在含義，例如：實(shí)現(xiàn)繪畫出以a為區(qū)域中心，任意數(shù)值b為半徑的區(qū)內(nèi)（a-b，a+b），我們一定可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列Xn中從某項(xiàng)開始的后續(xù)所有項(xiàng)均位于該區(qū)間內(nèi)，我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式|Xn-a|

高等數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)知識(shí)的高級(jí)課程，其內(nèi)容更具抽象性，學(xué)生難以理解。如果將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題，不僅簡化解題流程，而且加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高邏輯思維能力以及減少失誤率，本文以概率問題以及數(shù)列極限問題為例，詳細(xì)分析數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用，以期推動(dòng)數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展。

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