高中多元化的函數(shù)解題思路方法初探

（湖南省南縣第一中學(xué)高二 湖南南縣 413200）

引言

函數(shù)是函數(shù)關(guān)系式的概括性表達(dá)。筆者翻閱了相關(guān)資料，了解到我國是進(jìn)行函數(shù)研究較早的國家之一。筆者在高中階段的學(xué)習(xí)里不止一次地發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)面對函數(shù)學(xué)習(xí)、解題存在困擾，無法透析核心知識，也抓不住解題的思路和方法。與老師溝通后，筆者總結(jié)了當(dāng)前高中函數(shù)解題的若干問題和思路方法，以期為后續(xù)高中生函數(shù)解題提供參考。

一、當(dāng)前高中函數(shù)解題的問題

1.題目較為抽象

高中函數(shù)相關(guān)題目的典型特征是內(nèi)容十分抽象。由于函數(shù)題目重視考察原理，而這些原理在現(xiàn)實生活中往往鮮有涉及。如一次函數(shù)，從定義上看，X、Y需要滿足很多約束條件才能稱為一次函數(shù)。但現(xiàn)實生活中，很多與數(shù)學(xué)函數(shù)相關(guān)的知識都不是絕對理想化的，即便簡單的拋物線曲線變化也受到風(fēng)力、空氣阻力的影響。面臨函數(shù)題目時，學(xué)生很難通過常規(guī)的聯(lián)想尋找到解題思路。抽象性是當(dāng)前高中函數(shù)解題的主要困擾[1]，筆者在接觸函數(shù)類題目之初也曾面臨類似的困惑。

2.解題思路不開闊

高中學(xué)生的學(xué)習(xí)依然帶有中小學(xué)階段的若干特征，即強調(diào)對知識原理的理解，運用上重視程度不足。在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中筆者了解到，函數(shù)帶有多變性特點，這種特點的基礎(chǔ)來源于函數(shù)知識本身的復(fù)雜性。高中生在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，如果只掌握一類知識，很可能受到結(jié)構(gòu)化解題思路的影響，一旦題目出現(xiàn)變化，難以有效理解，解答上也會受到影響。比如我們很多同學(xué)在學(xué)基本初等函數(shù)的時候，也許還比較容易理解，但是一旦以基本函數(shù)構(gòu)造復(fù)合函數(shù)，難度一下拔高。邏輯能力稍弱且又沒有掌握正確方法的同學(xué)，遇到相關(guān)復(fù)合函數(shù)的題型，經(jīng)常有無從下手之感[2]。

3.題目知識點過多

知識點過多也是當(dāng)前高中函數(shù)學(xué)習(xí)的主要挑戰(zhàn)之一。在學(xué)習(xí)和解題時筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，函數(shù)往往以復(fù)合的形式存在。單調(diào)函數(shù)、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)多見于同一個題目中，知識內(nèi)容過于豐富。面臨這類題目，筆者以及同學(xué)們普遍感覺思路混亂，需要抽絲剝繭，層層遞推，進(jìn)行反復(fù)思考后才能找到解題的突破點。此外，有部分函數(shù)知識以應(yīng)用類題目的形式出現(xiàn)，融合了高中數(shù)學(xué)的其他板塊內(nèi)容，這也給解題帶來了難度。

二、多元化的函數(shù)解題思路方法

1.圖形結(jié)合法

圖形結(jié)合法是筆者常用的一種函數(shù)解題方法。該方法的基本特色是以圖像表達(dá)題目已知條件的核心信息，將這些信息進(jìn)行提煉后給予集中表達(dá)，可以幫助高中生更好的獲取解題思路。

如：已知函數(shù)f(x)=logax+x-b，其中a＞0且a≠1，試求2＜a＜3，3＜b＜4，x0為函數(shù)零點且 n＜x0＜n+1，n∈N* 時，n 的大小。

該題目的信息給足了，可以根據(jù)已知條件建立一個坐標(biāo)系，構(gòu)畫函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)圖像獲取一個基本的解題方向。函數(shù)圖像如圖1所示。首先假設(shè)函數(shù)y=logax，z=-x+b，已經(jīng)條件中給明2＜a＜3，3＜b＜4，即是說，在y=logax且x的值為2時，y函數(shù)定義域內(nèi)必然至少有一個值是小于1的。在函數(shù)圖像中也可以發(fā)現(xiàn)這一部分，且其交叉點在（2，3）之間。據(jù)此可以得出結(jié)果，當(dāng)x0為函數(shù)零點，同時滿足 n＜x0＜n+1，n∈N* 時，n的值為2。

圖1 函數(shù)的圖像

2.了解題目主要考察內(nèi)容

了解題目考察的主要內(nèi)容是進(jìn)一步實現(xiàn)解題的關(guān)鍵。筆者在高中函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，謹(jǐn)記老師關(guān)于解題的教導(dǎo)，即“了解出題人的意圖”。解題之前，先分析題目要考察的核心知識，以此作為解題的基本思路。

如：已知函數(shù)y=2x2-mx-m2，求證對于任意實數(shù)m，該函數(shù)與x軸總有交點；另求證若該函數(shù)圖像與x軸有兩個公共點A，B，且點A的坐標(biāo)為（1，0），求點B的坐標(biāo)。

這個題目考察的重點為二次函數(shù)及其定義域。解題時，可以直接抓住二次函數(shù)的特點。第一問，令y=0， △＞=0，m總有解，因此該函數(shù)與x軸總有交點。第二問，已知A的坐標(biāo)為（1，0），則x=1，滿足方程2x2-mx-m2=0，得：m=-2或1，分別代入2x2-mx-m2=0。當(dāng)m=-2時，得x=1和 -2，另一交點為B（-2，0）；當(dāng)m=1時，解得：x=1和-1/2，另一交點為B（-1/2，0），完成解題。

3.尋找創(chuàng)新思路

思路的創(chuàng)新也是高中函數(shù)解題的重要方式之一。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)的抽象性注定了函數(shù)解題的復(fù)雜性。而嘗試解析不同問題，應(yīng)明確一個基本原則“萬變不離其宗”。對函數(shù)知識進(jìn)行充分學(xué)習(xí)，掌握其基本原理，再以原理為導(dǎo)向，進(jìn)行復(fù)雜函數(shù)的探索，尋找更多的切入點和思路。

如：已知函數(shù)y=x2-4x+1。設(shè)函數(shù)與x軸的交點為A（x1，0），B（x2，0），求x12+x22的值。

該題目考察的核心問題是一次函數(shù)的定義域。可以通過一次函數(shù)相關(guān)知識直接設(shè)法解題，也可以通過其他思路尋找解題辦法，比如運用韋達(dá)定理。在韋達(dá)定理下，x1+x2=4， x1*x2=1，x12+x22的值可以用計算式（x1+x2）2-2x1*x2表達(dá)。在該計算式下，又可以獲取計算等式：x12+x22=（x1+x2）2-2x1*x2，計算得到x12+x22=16-2*1=14，完成題目的解答。

此外，部分題目考察的知識點較多，還可以采用分步解析法，將知識拆分成若干部分，分別思考解題方法，再進(jìn)行總結(jié)，避免雜糅的知識點影響解題思路。

結(jié)語

在高中學(xué)習(xí)、解題過程中，筆者以及筆者的同學(xué)們都曾受到函數(shù)解題的困擾。通過分析高中多元化的函數(shù)解題思路方法，學(xué)習(xí)了解相關(guān)知識，對函數(shù)解題的問題進(jìn)行總結(jié)，可以發(fā)現(xiàn)三個主要問題，即題目較為抽象、學(xué)生解題思路不開闊、題目知識點過多。多元化視角下，可以采用圖形結(jié)合法、了解題目主要考察內(nèi)容、尋找創(chuàng)新思路、進(jìn)行分步解析等，提升函數(shù)解題的效率和學(xué)習(xí)的總體水平。