《圓的內(nèi)接四邊形》案例分析

（綏陽(yáng)林業(yè)局第一中學(xué) 黑龍江東寧 157212）

一、教材學(xué)情分析

本文從圓內(nèi)接三角形的概念正向遷移到圓內(nèi)接四邊形的概念，起到承上啟下的作用。初中生已經(jīng)初步了解圖形的相關(guān)知識(shí)，已經(jīng)有一定的分析和探究能力，采用合作探究式的主體參與教學(xué)模式，可以發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性，讓他們積極參與到教學(xué)中來(lái)。

二、創(chuàng)新之處

1.利用《幾何畫板》采取了讓學(xué)生動(dòng)手畫一畫、量一量的方式，使學(xué)生通過(guò)對(duì)直觀圖形的觀察歸納和猜想，自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并用命題的形式表述結(jié)論。既調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性，增強(qiáng)了學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的意識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力、觀察能力、歸納能力和自學(xué)能力。

2.引入了數(shù)學(xué)開放題，教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念和原理時(shí)，只給他們一些事實(shí)和問(wèn)題，讓學(xué)生積極思考，獨(dú)立探索，自己發(fā)現(xiàn)并掌握相應(yīng)的原理和規(guī)則，對(duì)此本教學(xué)案例中圓的內(nèi)接四邊形的概念、性質(zhì)等均沒有直接給學(xué)生，而是在教師創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)而獲得。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生理解圓內(nèi)接四邊形和四邊形的外接圓的概念，理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理；并初步學(xué)會(huì)應(yīng)用性質(zhì)定理進(jìn)行有關(guān)命題的證明和計(jì)算。

2.借助計(jì)算機(jī)技木，培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的動(dòng)手實(shí)踐能力。

3.通過(guò)讓學(xué)生充分感受發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題帶來(lái)的愉悅，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)形結(jié)合的思維。

四、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理

難點(diǎn)：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。

五、課時(shí)安排：

一課時(shí)

六、教學(xué)手段：

多媒體

七、教學(xué)過(guò)程

復(fù)習(xí)舊知

（1）在⊙O上，任取三個(gè)點(diǎn)A、B、C，然后順次連結(jié)、得到的是什么圖形？這個(gè)圖形與⊙O有什么關(guān)系？

（2）由圓內(nèi)接三角形的概念，能否得出什么叫圓的內(nèi)接四邊形呢（類比）？

推進(jìn)新知

1.概念學(xué)習(xí)

（1）什么叫圓的內(nèi)接四邊形?

（2）如圖1，說(shuō)明四邊形ABCD與⊙O的關(guān)系。

2.合作探究

（1）前面我們己經(jīng)學(xué)習(xí)了一類特殊四邊形----平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質(zhì)，那么要探討圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，一般要從哪幾個(gè)方面入手？（從角、邊、對(duì)角線入手）

（2）打開《幾何畫板》，讓學(xué)生動(dòng)手任意畫⊙O和⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD及其外角（教師適當(dāng)指導(dǎo)）

（3）量出可度量的所有值（圓的半徑和四邊形的邊、內(nèi)角、外角、對(duì)角線），計(jì)算對(duì)角之和、對(duì)邊之和、對(duì)角線之和、周長(zhǎng)、面積。

（4）改變圓的半徑大小，這些量有無(wú)變化？由（3）通過(guò)計(jì)算觀察得出的某些關(guān)系有無(wú)變化？

（5）在圓上移動(dòng)四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，這些量有無(wú)變化？由（3）計(jì)算觀察得出的某些關(guān)系有無(wú)變化？移動(dòng)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)呢？移動(dòng)三個(gè)頂點(diǎn)呢？

（6）通過(guò)以上試驗(yàn)得到對(duì)角是互補(bǔ)的，用命題的形式表述由剛才的實(shí)驗(yàn)得出來(lái)的結(jié)論。（讓學(xué)生口答）結(jié)論：圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。

（7）證明猜想

已知：如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O.求證：

∠BAD＋∠BCD＝180°，∠ABC＋∠ADC=180°，

∠ECD=∠A。

（8）知識(shí)運(yùn)用

①嘗試解疑

問(wèn)題1：已知：如圖3，AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，與△ABC的外接圓交于點(diǎn)D。

求證：DB=DC。

問(wèn)題2：如圖4，⊙O1和⊙O2都經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線CD與⊙O1交于點(diǎn)C，與⊙O2交于點(diǎn)D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線EF和⊙O1交于點(diǎn)E，與⊙O2交于點(diǎn)F。

證明：CE∥DF

方法：（學(xué)生分組討論下列問(wèn)題）

第一：要證明兩條直線平行可以用那些定理？

第二：本題中我們要讓CE∥DF需要什么？

第三：在無(wú)法證明時(shí)，你能在圖形中找到圓內(nèi)接四邊形嗎？怎樣找？（連接AB）圖4

②課堂練習(xí)

已知：在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知∠A=50°，∠D-∠B＝40°，求∠B、∠C、∠D的度數(shù)。

如圖5，AD是△ABC外角∠EAC的平分線，AD與三角形的外接圓交于點(diǎn)D，AC、BD相交于點(diǎn)P，問(wèn)：你根據(jù)已知條件能得出什么結(jié)論？

第一：課堂小結(jié)--學(xué)生總結(jié)

第二：布置作業(yè)--如教材中有這樣一個(gè)平面幾何題“證明：順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形。”將它改造為“畫出一個(gè)四邊形，順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)，觀察所得的四邊形是什么樣的特殊四邊形，并加以證明。”

八、教學(xué)反思

優(yōu)點(diǎn)：這一教學(xué)案例是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的嘗試，在經(jīng)歷了觀察、分析、推測(cè)、計(jì)算、篩選、決策的過(guò)程中，使學(xué)生思維能力得到了發(fā)展，在自主合作探究的學(xué)習(xí)過(guò)程中，嘗到了探索的樂趣，體驗(yàn)了成功的喜悅，并獲得了戰(zhàn)勝困難積極向上的心理體驗(yàn)。

不足之處：

1.教學(xué)內(nèi)容安排過(guò)多，時(shí)間分配不合理；

2.教師引導(dǎo)學(xué)生的語(yǔ)言應(yīng)更具有啟發(fā)性和更簡(jiǎn)潔；

3.探究類試題應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)基本概念和基本原理的理解，如課堂時(shí)間不足，可放到數(shù)學(xué)興趣小組的任務(wù)當(dāng)中。