《圓的內接四邊形》案例分析

（綏陽林業局第一中學 黑龍江東寧 157212）

一、教材學情分析

本文從圓內接三角形的概念正向遷移到圓內接四邊形的概念，起到承上啟下的作用。初中生已經初步了解圖形的相關知識，已經有一定的分析和探究能力，采用合作探究式的主體參與教學模式，可以發揮他們的主觀能動性，讓他們積極參與到教學中來。

二、創新之處

1.利用《幾何畫板》采取了讓學生動手畫一畫、量一量的方式，使學生通過對直觀圖形的觀察歸納和猜想，自己去發現結論，并用命題的形式表述結論。既調動了學生學習數學的積極性和主動性，增強了學生參與數學活動的意識，又培養了學生的動手實踐能力、觀察能力、歸納能力和自學能力。

2.引入了數學開放題，教師在指導學生學習概念和原理時，只給他們一些事實和問題，讓學生積極思考，獨立探索，自己發現并掌握相應的原理和規則，對此本教學案例中圓的內接四邊形的概念、性質等均沒有直接給學生，而是在教師創設的問題情境中讓學生發現而獲得。

三、教學目標

1.知識目標：使學生理解圓內接四邊形和四邊形的外接圓的概念，理解圓內接四邊形的性質定理；并初步學會應用性質定理進行有關命題的證明和計算。

2.借助計算機技木，培養學生在數學學習中的動手實踐能力。

3.通過讓學生充分感受發現問題和解決問題帶來的愉悅，培養學生的數學創新意識和數形結合的思維。

四、教學重、難點

重點：圓的內接四邊形的性質定理

難點：圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角。

五、課時安排：

一課時

六、教學手段：

多媒體

七、教學過程

復習舊知

（1）在⊙O上，任取三個點A、B、C，然后順次連結、得到的是什么圖形？這個圖形與⊙O有什么關系？

（2）由圓內接三角形的概念，能否得出什么叫圓的內接四邊形呢（類比）？

推進新知

1.概念學習

（1）什么叫圓的內接四邊形?

（2）如圖1，說明四邊形ABCD與⊙O的關系。

2.合作探究

（1）前面我們己經學習了一類特殊四邊形----平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質，那么要探討圓內接四邊形的性質，一般要從哪幾個方面入手？（從角、邊、對角線入手）

（2）打開《幾何畫板》，讓學生動手任意畫⊙O和⊙O的內接四邊形ABCD及其外角（教師適當指導）

（3）量出可度量的所有值（圓的半徑和四邊形的邊、內角、外角、對角線），計算對角之和、對邊之和、對角線之和、周長、面積。

（4）改變圓的半徑大小，這些量有無變化？由（3）通過計算觀察得出的某些關系有無變化？

（5）在圓上移動四邊形的一個頂點，這些量有無變化？由（3）計算觀察得出的某些關系有無變化？移動四邊形的四個頂點呢？移動三個頂點呢？

（6）通過以上試驗得到對角是互補的，用命題的形式表述由剛才的實驗得出來的結論。（讓學生口答）結論：圓的內接四邊形的性質定理：圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角。

（7）證明猜想

已知：如圖2，四邊形ABCD內接于⊙O.求證：

∠BAD＋∠BCD＝180°，∠ABC＋∠ADC=180°，

∠ECD=∠A。

（8）知識運用

①嘗試解疑

問題1：已知：如圖3，AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，與△ABC的外接圓交于點D。

求證：DB=DC。

問題2：如圖4，⊙O1和⊙O2都經過A，B兩點，經過點A的直線CD與⊙O1交于點C，與⊙O2交于點D，經過點B的直線EF和⊙O1交于點E，與⊙O2交于點F。

證明：CE∥DF

方法：（學生分組討論下列問題）

第一：要證明兩條直線平行可以用那些定理？

第二：本題中我們要讓CE∥DF需要什么？

第三：在無法證明時，你能在圖形中找到圓內接四邊形嗎？怎樣找？（連接AB）圖4

②課堂練習

已知：在圓內接四邊形ABCD中，已知∠A=50°，∠D-∠B＝40°，求∠B、∠C、∠D的度數。

如圖5，AD是△ABC外角∠EAC的平分線，AD與三角形的外接圓交于點D，AC、BD相交于點P，問：你根據已知條件能得出什么結論？

第一：課堂小結--學生總結

第二：布置作業--如教材中有這樣一個平面幾何題“證明：順次連接四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形。”將它改造為“畫出一個四邊形，順次連接四邊形四條邊的中點，觀察所得的四邊形是什么樣的特殊四邊形，并加以證明。”

八、教學反思

優點：這一教學案例是培養學生創新意識的初中數學課堂教學的嘗試，在經歷了觀察、分析、推測、計算、篩選、決策的過程中，使學生思維能力得到了發展，在自主合作探究的學習過程中，嘗到了探索的樂趣，體驗了成功的喜悅，并獲得了戰勝困難積極向上的心理體驗。

不足之處：

1.教學內容安排過多，時間分配不合理；

2.教師引導學生的語言應更具有啟發性和更簡潔；

3.探究類試題應引導學生加強對基本概念和基本原理的理解，如課堂時間不足，可放到數學興趣小組的任務當中。